数列单元复习的教学探究

唐文波

数列是高中数学的重要内容之一，每年的高考中所涉及的考题分值约为15或17分，题型含一道选择（或填空）题及一道解答题。难度一般较易或中等，也有作为压轴题出现的情况。数列考点众多。新课标作如下陈述，数列考查：（1）数列的概念和简单表示法：①了解数列的概念和几种简单的表示法（列表、图像、通项公式）;②了解数列是自变量为正整数的一类函数;（2）等差、等比数列：①理解等差、等比数列的概念;②掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和公式;③能在具体问题情境中，识别数列的等差或等比关系，并能用有关知识解决相应问题;④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。仔细分析，基本题型是：①求解数列通项公式;②数列前n项和公式;③求等差、等比数列的基本量;④等差、等比数列特殊性质的考查;⑤数列函数性质的考查。解决数列问题的方法驳杂，这些方法都是基本数学思想的现实体现：函数方程思想、转化与化归思想、一般到特殊的思想、数形结合思想、分类讨论思想。其中尤以函数方程思想的考查为重。在新高考背景下，数列知识是构造创新性命题、不确定性命题的重要内容。因此，基础性、灵活性、可组合性越来越成为高考中数列命题的特点。

基于此，我们按照“研读课程标准” “解读高考题目，分析考查内容” “划分单元”的思路，完成了数列单元复习教学的规划设计。见下图①

下面，我们详谈各单元教学的具体实施过程。

一、基础考点的过关（以数学知识系统为主线组织的主题类单元）——目的：准确识记基础知识，掌握基本方法，提高解题能力。教学重点：典型例习题的学习，借题铺“点”，题后及时反思，利用思维导图法完善知识系统。实施教学时，需要注意两个方向：1.例习题的选择：题目应体现考点知识间的逻辑关联，递进出现。题目普及基本解法，也兼顾特殊解法技巧的推介。2.引导学生完成数列基本知识的思维导图的绘制：关键词的确定、注意导图分支的逻辑递进、留白（方便补充信息）的安排。应该认识到思维导图能以直观形象的方式表征知识，有效呈现知识的关联，体现教师思维过程，引导学生进行思维训练，帮助其从了解、模仿、自主引用到开放性运用，反映学生认知的基本过程。3.突出数列是特殊函数，引导学生用函数的思想研究数列问题。（见图②）

二、高考原题（或变式）的研究（以数学思想方法为主线组织的方法类单元）——目的：分析高考命题规律，明确重要考点，做好基础题型方法的总结，熟练掌握题型解决技能，完成解题思维导图的绘制。教学重点：运用高考原题引导学生掌握基础题型的通解通法，具备较强的解题能力。安排学生演练变式题，勤总结促反思。反思的内容要全面深刻，含知识系统的自我完善，掌握通解通法的时候，关注特殊的解题方法技巧，拓展思维广度及深度时，加深对数学思想方法的理解。此单元的重点在解题教学，要引导学生观察题目条件，学会选择合适的解题方法，掌握通解方法中的关键点，突破难点。对于学生在解题过程中出现的问题，要及时呈现、矫正、反思。（见图③）

解题教学时，建议引入思维导图帮助解题。下面是运用思维导图解决数列问题的一个范例：（见图④）

思维导图使思维直观化，将题目信息全面展示，帮助学生根据问题需求，参照过往解题的经验，积极检索题目所涉及的知识，相关的基本解题方法，作出选择、既组织自己的思想，也组织他人的思想，整合经验，发散思维，解题时先类比模仿，再自主引用成功经验，之后才能开放性地运用数学思想方法来更高效地解决数学问题。

三、新高考背景下的命题研究（以数学核心素养为主线组织素养类单元及以数学发展历史为主线组织HPM类单元）——目的：针对新高考形势下，命题规则稳中有变，题目形式变化，对数学史、数学知识在现实生活中的应用，跨学科整合都有越来越多的体现。研究命题的规律，既为应对高考提供知识准备、心理准备，也为以后的教学调整方向。教学重点：教师应用相应的典型题目对新高考要求进行解读，并作相关资料的整理。分类、归纳、重组变式。（见图⑤）

附题：HMP是History and Pedagogy of Mathematics的缩写，源自1972年在英国Exeter举行的第二届国际数学大会上的一个研究组，专门研究数学史与数学教育之间关系的组织。HPM主要研究内容包括数学史与教学法、数学史与学生认知发展规律，基于数学史的教学设计、数学与其他学科的关联，多元文化的教学等。

四、单元主题设计教学的实践情况

1、与以往的复习相比，单元主题设计下的教学目标更明确，课堂设计前后一致，逻辑连贯。教学过程中，借助思维导图，将教学任务、阶段任务完成情况直观呈现，师与生的教与学配合相宜，课堂时效得到提高。每堂课主题唯一，但完成主题任务的方式多样，教师可根据学生的反馈，及时作出教学调整。一堂课，知识要求、能力要求在多样化的教学活动中得到体现。

2、自2021级的高三复习开始，我对自己所带的两个历史方向的班级进行了复习阶段的单元主题设计教学实验，并对实验进行了数据分析。研究表明，实施单元主题设计教学后，学生的数学思维水平有所提高。几次大型考试成绩说明：相较学生的初始成绩，实施单元主题教学后，学生的成绩缓慢增长，间或有起伏，但总体趋好。与之相应的是，学生的课堂参与渐显主动，能较好地围绕课堂主题，配合老师的教学设计，积极思考，提出自己的见解，增强了归纳分析的能力。每堂课下来，学生的课堂总结都有亮点：通法的理解，特殊条件的多角度解读等，体现了其学习能力在逐步提高，也显示了单元复习教学的有效性。对教师而言，作好单元设计，需大量搜集、整理、消化优质学科资源，如：数学史料、学术文献、精品课例、优选试题等。在此过程中，促进了教师的专业成长，拓宽了视野，也为其职业前景规划提供了更多的思考方向。

3、反思：①单元教学主题设计，应注重学生体验，培养思维能力。复习阶段，用好学生以往的学习经验，应适时增加數列问题的背景材料的阅读（材料以数学史料为主）。帮助学生体验数列问题与现实生活息息相关，从数列知识的发展中，探询知识延展的脉络，知来处，明去向，帮助学生从感性认知向数学理性思维发展。课堂反思的设计，要有目的性，如数列求和的方法有多种，要求学生反思的应是：不同求和方法的适用条件，求和方法使用时的关键点？这样的反思才能促进学生深入思考。②重视教法设计，提升能力结构：运用思维导图作教学设计布局，直观明了，将自主学习、合作交流、变式训练融入教学，引导学生深入把握学习内容，促进其阅读、理解、分析、计算、推理、归纳、总结。③优化问题设计，培育思维品质：教师要加强对经典数列问题的分析，根据考题要求，立足考点，将经典问题进行解构重组，变式叠出，形变而意定。如数列问题的考查中强调函数思想的应用，就可从等差数列的通项与一次函数的解析式关系，等差数列前n项和与二次函数的解析式的关系上入手，编制层次递进的题目，帮助学生把握关键，提升学生转化化归的思想。

总之，当前的高考复习，应立足于高中教学内容，联系学生已有的知识背景，遵守新高考命题规则。复习时应加强教研组的团体协作，作好相关知识材料的收集、选读、整理、编辑。新试题的背景材料要出新，可从古籍、现实生活、前瞻论题中选材。而高考考题万变不离其宗，不可被题目的背景材料所惑，抓本质、抓重点、核心考点一直是那些基本内容，而数学思想方法的灵活运用才是关键。单元教学的设计中抓好问题设计，层层递进，促进学生构建知识网络，循环更新，在解题教学中体验数学思想方法，形成解决问题的能力，完善学生素养。教师以发展的眼光关注教学策略与教学实施的关系。当然思维导图在教与学中的引入，可帮助师生找到适合自己认知规律，又兼具个人特色的教（或学）的策略，实现师生教与学的双向提升。

重庆第七中学校 重庆市沙坪坝区 400030