罗素悖论是否有解

一、悖论的含义

悖论又称逆论或反论.即对一个命题用公认的推论方法去论证，命题的两面可以同时推导出来，也就是说它既像是正确的，却又被证明是错误的，令人难以判断，这就是悖论.著名哲学家陈嘉映教授在《语言哲学》一书中指出悖论总是包含两个要素：一个是自指，一个是否定.因此，在“我说的这句话是谎话”“所有话语都是谎话”“有些话语是谎话”“所有话语都是真话”“我这句话以外的所有话语都是谎话”这几句话中，前两句话暗含了悖论而后两句话则没有.因为“所有话语”中的“所有”包括了这句话本身，也就是说这句话是带有自指性的.而“所有话语都是真话”之所以不包含悖论，是因为它不包含否定的情况.

古今中外有许多著名的悖论，其中最经典的悖论包括罗素悖论、说谎者悖论、康托尔悖论等.在很长的一段时间里，悖论被认为是诡辩或是游戏，它对人类认知的价值并没有得到认可.事实上，悖论的成因极其复杂，不仅涉及数学和逻辑学知识，更与人类思维的精密性和深刻性相关.解决悖论要建立在对逻辑和哲学进行深入研究的基础之上，在解悖的过程中往往可以让人们产生全新的思路和观念.

二、罗素悖论及其逻辑分析

19世纪下半叶，德国数学家康托尔提出了著名的集合理论.这一理论对数学界产生了深刻的影响，其严密性得到了广泛的认可.在1900年的国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称，集合理论使得数学达到了绝对的严格性.然而，不久之后，这个所谓完美的集合理论就被发现是有漏洞的.1901年前后，英国哲学家、逻辑学家、数学家罗素针对康托尔的集合论提出了质疑，震惊了整个数学界，这就是著名的罗素悖论.

罗素悖论的定义：把所有集合分为两类.第一类集合指所有包含集合自身的集合;第二类集合为所有不以自身为元素的集合.假设第一类集合所组成的集合为[M]，第二类所组成的集合为[N]，于是有[M={A∣A∈A}，N={A∣A∈A}]，那么，[M∈N]的同时岂不是又得出[N∈N]？但是如果[M∈N]，那么根据第一类集合的定义，必有[N∈N]，但是[N]中任何元素都满足[A∉A]，于是得出结论：因为[N∈N]，所以[N⊄N]，这就出现了矛盾.反之，如果[N∈N]，那么根据第一类集合的定义，可得出[N∈M]，但是显然[N∩M=∅]，所以[N∉N]，这依然有矛盾.罗素悖论的定义其实就是围绕着“某些事物的类型是不是这些事物中的成员”这个问题展开的，因为无论回答是或否都是不合逻辑的，所以必然陷入矛盾之中.

为了更好地说明这个问题， 罗素后来又提出了一个通俗版本的理发师悖论.在某个小城镇里，有一位理发师打出了一个广告：“本理发师技艺高超，但是，本人只为城中所有不给自己刮脸的人服务，欢迎大家前来！”自然，小城镇中来找这位理发师刮脸的人都是那些不给自己刮脸的人，最起码在他们接受理发师服务的时候，他们是没有给自己刮脸的.但是没过多久，问题就出现了，理发师的胡子长长了，那么此时他到底是否应该给自己刮脸呢？如果理发师不给自己刮脸，那他就是那些不给自己刮脸的人中的一员，是符合理发师制定的服务对象的要求的，可当他拿起刮胡刀为自己刮脸的时候，他又不符合“不给自己刮脸”的条件了.试问理发师应不应该为自己刮胡子呢？罗素悖论在很大程度涉及了数学的基础问题，但它与语言哲学也密不可分，息息相关.

三、罗素悖论的消解方案

悖论的出现似乎对逻辑的可靠性提出了很大的质疑，引发了数学界、逻辑学界乃至哲学界学者们的探讨和争议.1901年，罗素悖论更是引起了数学界的第三次危机.此后，包括罗素本人在内的众多学界精英都投入到了解决悖论的研究之中，并给出了众多解决方案，但却始终难以得到普遍的认可.即使在21世纪的今天，关于罗素悖论的研究仍然是学界一个日久弥新的问题.

（一）罗素的类型论

类型论是罗素为了解决悖论而提出的，这个理论也是罗素的著作《数学原理》的主要思想.罗素认为康托尔的集合论出现的问题不仅仅是数学问题，也包含了逻辑问题，本质上就和说谎者悖论相似.想要解决悖论问题，就必须从逻辑入手，在消除悖论的同时保持数学的原样.

逻辑悖论涉及数学上的几个基本概念，比如说命题、类、基数……罗素把它们归结为命题和命题函项，命题函项或者说函数是数学中的概念.在数学概念中，命题是指一个有真假值的表达式或是语句，而命题函项则是指那些含有变量的表达式，当变量确指某个确定的数或者值的时候，这个函数表达式就成为一个具体的命题，函项本身用[F（a）]、[F（b）]等表示.类型论中的“类型”指的就是某个函项的意义域.意义域是指一些元素组成的集合，当该函项的变元取这个意义域中的任意一个元素作为值时，所得到的命题都有意义，即可判断真假.根据这个定义，函项中的变量或者变元都只能取意义域中的某个值（也就是类型中的某个值），但是变元的值并不能根據自己的意愿随意选取，变元本身不能反过来先预设函项的值.函项变元的取值受到限制并且分为不同的类型，因此便产生了类型论的分层问题.用日常生活语言来理解，就是把函数中的变元对应到实在的简单对象上，比如说，用[a、b]来替代满足某个句子的词语，例如，满足句子“     是红色的”中的“红旗”“鲜血”.

另外，根据罗素的理论，若两个实体都可以对应一个函项变元的值，它们就属于同一类型.比如，句子“[X]是著名的作家”可以看作是一个函项，该函项的变量[X]在实际交际的语言中可以对应不同的实体，我们可以说“莫言是著名的作家”，也可以说“沈从文是著名的作家”，因此“莫言”和“沈从文”具有同样的类型.我们不难看出，对于某个函项，在其变元的值被与之同类型的对象相互替换时，该函项或者命题本身依然是有意义的，但是如果与不同类型的对象进行替换，得出来的命题便失去了意义.比如，如果我们把“莫言”和“作家”进行替换，原命题就变为“作家是著名的作家”，这是毫无意义的循环语句.罗素指出：“这是一个浅显的事实，但不幸的是，几乎所有的哲学都企图忘掉它.”

（二）类型论面临的困难

类型论虽然在一定程度上规避了悖论的产生，但是在实际应用中也面临着诸多困难.罗素本人也承认，类型论“在很大程度上还是初创的、混乱的、模糊的”.其中一个很大的问题就在于类型论的核心思想是避免出现恶性循环.但是类型论的表述本身却会破坏“避免恶性循环”的规定，因为类型论中的“函项”和“类型”是没有限制的.由于一个关于函项本身的命题也就是一个函项，毫无疑问，根据罗素的理论，这就变成了“恶性循环”.如此，类型论连本身的表述问题都难以解决.

当然，有人认为上述问题是可以通过规定解决的，但事实上，“类型”本身的问题更加棘手.由上文得知，函项中变元的值如果被具有同类型值的对象替换，这个命题或者函项依然有意义，反之则会得到无意义的命题.这个结论在被用于与“类型”本身相关的函项时就会产生问题，比如，命题“铅笔和橡皮具有同一类型”，如果把橡皮换成“便宜”，那么命题“铅笔和便宜具有同一类型”就会被判断为没有意义的假命题.现在若把橡皮用变元[X]替代，原函项就变成了“铅笔和[X]具有同一类型”.在数学语言中，这一推导出的函项本身是成立的，因为可以对“橡皮”加以肯定，而对“便宜”加以否定.在日常生活中，影响我们判断的往往还有一个重要因素——语境，但这里就不加详述了.

（三）从语言的本质属性解悖

对悖论消解的研究大多需对数学逻辑公式加以改进，常借助于人工语言.然而人工语言很难解决元语言问题.自然语言是最根本的语言，如果从自然语言入手，通过研究语言的本质属性而对悖论加以解释，也许能为解悖打开一扇门.

数学界往往把悖论分为两种：逻辑悖论和语义悖论.著名的说谎者悖论是语义悖论的代表，而罗素悖论是逻辑悖论的代表.事实上，这种划分也只是约定俗成的.国内目前也有学者对这两种悖论展开了深入的研究，有些结论值得参考.2009年，北京大学学报刊发的《悖论的语言结构递归否定》一文，对悖论的自然语言展开了探讨.谈到通过对悖论语言进行分析，发现所有的悖论无论是逻辑悖论还是语义悖论，其产生往往有三个条件：第一是层阶条件（存在不同的语言阶层，如对象元和元语言）;第二是重指条件（存在指称不同层阶语句的重指词或词组，如“这句话”）;第三是递归否定条件，重指的两个句子形成循环否定或递归否定.罗素的解决方案区分了层阶的高低，并且通过规避限制重指，但没有涉及第三个条件，也就是对递归的否定.递归和层阶是语言的基本属性，以上三个条件只要否定一点即可消除悖论，因而对悖论消解的研究也可以试着从消除递归否定入手.比如说对“理发师悖论”可以这样分析：城镇里的人如果给自己理发→理发师就不给他理发.由于理发师属于城镇里的人，于是就有：如果理發师给自己理发→理发师就不给自己理发，即：理发师给自己理发→理发师不给自己理发，这是一个假命题.于是就形成上面的递归否定式“[X]→[X]假”.同样地，罗素本身提出的集合论悖论也可以用递归否定来解释.

1901年前后，罗素悖论的提出动摇了康托尔的集合理论，震惊了整个数学界，悖论的产生涉及逻辑、数学、语言以及哲学等各个领域.对类型论、公理集合理论以及语言递归的否认都在一定程度上解决了罗素悖论，但是迄今为止还未得出完美的解决方案.在解悖之路上，我们要克服自身认知的片面性和思维的局限性，在不断求索中进步.