在解题教学中如何引导学生运用化归思想

陈娟娟

应用化归思想的关键就是在观察、分析、分类、对比、转化等的基础之上，把复杂的问题条理化、清晰化、简单化.教师要注重培养学生运用化归思想的意识，帮助学生梳理解题思路，掌握解题技巧，提高数学解题能力.

一、引导学生运用化归思想寻找解题的线索

在遇到题目时很多学生之所以无从下手，往往是因为对题目的分析不够深入，未能挖掘出其中有价值的信息.而化归思想的应用能帮助学生寻找到解题的线索，从已知条件中发现数量关系，从而获得解题思路.教师可以首先引导学生辨别题目的类型，回忆与此相关的知识点，将题目中隐藏的信息挖掘出来，然后引导学生展开想象，寻找解题的线索，运用化归思想从不同的角度将问题转化.

例1.已知直线（a-2）y=（3a-1）x-1，（1）求证无论a为何值，直线总过第一象限;（2）为使这条直线不过第二象限，求a的取值范围.

解析：教师首先可以让学生把已知条件简化，帮助学生从中找到一些灵感，给出提示：大家能否将第一问转化成无论a为何值，直线必然经过一个x和y都大于0的点，也就是求一个关于a的方程的解呢？于是，学生把直线解析式变形为方程（3x-y）a=x-2y+1，令等式两边都等于0，即3x-y=0，x-2y+1=0，解得x=0.2，y=0.6，所以直线必过第一象限.对于第二问，教师可以让学生思考：第二象限的点具有什么特征？学生意识到要使第二象限中的点[x<0]、[y>0]，则必须满足[k>0]、[b<0]的条件，于是将函数化简为[y=3a-1a-2x-1a-2]，此时还要考虑分母是否为0，若[a-2=0]，则直线为[x=15]，经过一、四象限;若[a-2≠0]，则函数要满足[k=3a-1a-2>0，b=-1a-2<0]，解得[a>2]，所以综上所述，当[a≥2]时，直线不过第二象限.

二、引导学生运用化归思想建立新的数学关系

运用化归思想的一个要点就是要利用题目中的线索建立新的数学关系，将函数、方程、图形等各种数学表达方式灵活转化，实现化难为易.因此，教师要帮助学生整理已知条件中的数量关系，把知识点转化为相应的关系式，然后引导学生通过转化、变形等方式求出最终结果.

例2. 已知x、y∈R*，且[1x+9y=1]，求[x+y]的最小值.

解析：教师可以提示学生：如何把[1x+9y=1]与[x+y]结合起来建立新的数学关系？学生顿时有想法：将[x+y]转化为新的关系式[x+y=1·（x+y）=（1x+9y）·（x+y）=yx+9xy+10]，又因为x>0，y>0，根据基本不等式可得[yx+9xy≥2yx·9xy]，化简得[x+y=yx+9xy+10≥16]，当且仅当x=-4，y=12时等号成立，此时[（x+y）min=16].

学生通过从题目中挖掘相关信息，运用化归思想建立新的关系式，成功运用简便方法达到了解题的目的.化归思想的应用既简化了解题过程，又有助于培养学生的数学思维能力.

三、引导学生运用化归思想总结解题的技巧

运用化归思想不仅是为了解答题目，更重要的是要培养学生总结归纳、举一反三的能力，达到活学活用、触类旁通的效果.一方面，教师要在习题练习中有意识地培养学生的化归能力，给学生提供不同类型的题目，让学生掌握化归思想的应用方法;另一方面，教师要督促学生及时总结、归纳题型，可以借助小组讨论、专题练习等活动引导学生运用化归思想探索解题的技巧和规律.

比如，在教学《等比数列》后，教师可以先布置相应的练习题，然后引导学生在解题完成后对题目进行归类总结：等比数列的习题大致分为三类，第一类是有关求公比，求第n项的通项公式类型问题，这类题型基本需要通过转化等比数列各项之间的数量关系即可求出;第二类是求等比数列的前n项和的问题，解答这类问题既要运用等比数列的前n项和公式，又要把握好[an]和[Sn]之间关系来进行转化;第三类是非常规数列问题，此类题型难度较大，灵活性强，常需要灵活运用化归思想，将问题转化为等比数列问题进行求解.

總而言之，化归思想在高中数学解题中应用广泛.教师要注意培养学生运用化归思想的意识和能力，提升学生的分析、转化能力.

（作者单位：安徽省宿松中学）