解答古典概型问题的方法

陈燕华

解答数学问题需要选择合理的方法，方法得当，就能达到事半功倍的效果;方法不得当，容易陷入解题困境，或出现半途而废的情况.那么，解答古典概型问题有哪些方法呢？

一、列举法

有些古典概型问题较为简单，我们可将事件中可能出现的情况一一列举出来，得出所有可能出现的基本事件的个数以及基本事件的总数，从而求出古典概型的概率.

例1.（1）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为[a]和[b]，则方程[ax2+bx+1=0]有实数解的概率是_____.

（2）标有数字1，2，3，4的四张卡片，随机从4张卡片中抽取2张，确保其数字之和是偶数的概率为_____.

解析：（1）若方程[ax2+bx+1=0]有实根，则必有[Δ=b2-4a≥0].

若[a=1]，则[b=2，3，4，5，6];若[a=2]，则[b=3，4，5，6];若[a=3]，则[b=4，5，6];若[a=4]，则[b=4，5，6]若[a=5]，则[b=5，6];若[a=6]，则[b=5，6].

那么事件“方程[ax2+bx+1=0]有实根”包含基本事件共[5+4+3+3+2+2=19]，

所以该事件的概率为[1936].

（2） 因为从4张卡片中任取出2张一共有6种情况，分别为 （1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.其数字之和为偶数的情况一共有2种，分别为 （1，3），（2，4），所以抽取2张卡片数字之和为偶数的概率为[13].

列举法是求古典概型问题最常用的方法.在列举基本事件时，我们有时要用到分类讨论思想，应做到对分类情况不重、不漏，完整得出结果.

二 、树状图法

对一些特殊的古典概型问题，直接利用列举法求解容易出错，可通过画树状图来分析问题.从树状图中，我们可以直接看出列举的结果，从而有效地避免运用列举法常犯的重复与遗漏错误.

例2.用3种不同的颜色给如图1所示的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂1种颜色.（1）求3个矩形颜色都相同的概率;（2）求3个矩形颜色都不相同的概率.

解析：设3个矩形从左到右依次为矩形1、矩形2、矩形3.用3种不同的颜色给题目中所示的3个矩形随机涂色，可能出现的结果如图2所示.由图2知基本事件共有27个.

（1）记“3个矩形颜色都相同”为事件A，由图2知事件A的基本事件有3个，故[P（A）=327=19].

（2）记“3个矩形颜色都不相同”为事件B，由图2知事件B的基本事件有6个，故[P（B）=627=29].

画树状图求古典概型的概率，可以使问题的求解过程变得形象直观且快捷有效，体现了数形结合思想的应用.

三、利用逆向思维

对于较为复杂的古典概型问题，我们若直接求解比较困难，可运用逆向思维，先求其对立事件的概率，再用对立事件的性质求解.正可谓正难则反.

例3.（1）某单位要在4名员工（含甲、乙两人）中随机选2名到某地出差，则甲、乙两人中，至少有1人被选中的概率是         .

（2）盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为____.

解析：（1）在4名员工（含甲、乙两人）中随机选2名，共有6种可能，其中甲乙两人都未被選中只有1种可能，

所以甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是[1-16]=[56].

（2）其对立事件为：两次抽的卡片号码都为奇数，共有2×2=4种抽法.而有放回的两次抽取卡片共有3×3=9种基本事件，因此所求事件的概率为[1-49=59].

对于一些含有“至多”“至少”等关键词的概率问题，正向求解繁琐、容易出错，我们若反其道而行，先求其对立事件，然后根据对立事件的性质[P（A）=1-P（A）]，可使问题得以突破.

解答古典概型问题有很多技巧，以上三种是常用的、基本的方法.每一种方法有其优点和缺点，同学们在解题中要灵活地利用其优点，回避其缺点，从而使问题得以简化，提升解题的效率.

（作者单位：江苏省海门实验学校 ）