用矛盾的观点探析转化与化归思想

摘 要：数学的转化与化归思想巧妙地利用了哲学的矛盾论，将矛盾双方由对立转化为相互统一，充分发挥双方的优势，使问题得到最佳的解决，体现了数学的和谐统一美。本文探析了数学解题过程中特值法、一般化思想、函数思想、正难则反思想、主次元地位转化、化异求同等方法的理論依据和基本步骤。

关键词：对立与统一;转化与化归;特殊与一般;函数方程与不等式;正难则反;主次地位

老子说“有无相生，难易相成，长短相形，高下相倾，音声相和，前后相随”;“祸兮福之所倚，福兮祸之所伏”。世界上一切事物都包含着相互对立又相互统一的两个方面，即矛盾双方共处一个共同体中。因为它们不仅有相互排斥、相互对立的斗争性，又有着相互吸引、相互联结的同一性，所以矛盾双方相互渗透、相互包含，并在一定条件下可以相互转化。数学的转化与化归思想便是巧妙地利用了矛盾的这些特性，在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段通过转化，进而使问题得到解决。有代表性的转化主要有：正难则反、主次地位、化异求同等。下面简单探析这些转化的产生因何缘起哲学思想的矛盾论。

一、正难则反：当题目的正面出现情况较为复杂或者带有“至多”、“至少”等词及否定性命题时，可先从反面求解再取反面答案的补集即可。

例1.（2017全国卷Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）

A. B. C. D.

分析：正面求解要分类讨论，比较繁。如果意识到大小对立且概率相等，除此外即是两次号码相等，而号码相等的情况比较清楚，个数为5.因为基本事件的总数是52=25，因此满足条件的事件A的个数为，于是

例2.已知集合若三个集合中至少有一个不是空集，则实数a的取值范围为

分析：“至少有一个不是空集”包含7种不同情况，而它的反面是“都是空集”，只需由不等式组得，再取补集即可。

可见事物中矛盾双方正强则反弱，正难则反简，对待这种问题避强攻弱方为上策。

二、主与次的转化：在含有多个变元的命题中，将其中一个作为主元，其它变元看作常量，从而起到减元并简化运算或改变思考角度的目的。正如矛盾论所言，主与次是对立的。在解一道题时将哪个变元视为主元，都是为了解决矛盾，简化过程，因此选择必须恰当。

例3.已知函数。

（1）讨论f（x）的单调性及最值;

（2）当t=2时，若函数f（x）恰有两个零点求证：

分析：（1）是导函数应用的基本题型。对于（2）证明零点满足某个性质时，实际上是需要对零点在数值上进行精确求解或估计，需要对零点进行更高要求的研究

因为f（x）恰有两个零点所以，

即化简为

设则

零点的变化与t有关，而于是需证明上式大于零，易得，故重点考虑分子，于是设函数所以h（t）在递增，因此成立。

在多个变元中寻找它们之间的关系，结合已知条件和目标要求，在不同阶段集中探讨某个主变元，各个击破。通过构造新的函数，多次求导分析，需要灵活运用函数思想、化归思想。同时也需要较强的抽象概括能力、综合分析能力和解决问题的能力。

参考文献

[1]陈余根.漫谈高中数学教科书（苏教版）新增内容中的矛盾内涵[J].中学数学，2012（07）：61-62+64.

[2]孙晓俊.从对错误的反思中体悟数学思想方法[J].中学数学杂志，2010（09）：10.

[3]陆海泉.从全国高考数学试题看特殊化思想方法的操作与应用[J].中学教研，2002（02）：28-31.

作者简介： 薛宗华， 男， 1969年7月，汉族， 福建省仙游县，本科，中学高级教师，研究方向：中学数学教学