极限思想的产生与发展

李芳

极限是微积分中的基础概念，所谓极限思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，极限思想是微积分的基本思想之一，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数、定积分等都是借助于极限来定义的，极限思想方法为人类认识“无限”提供了强有力的工具，是近现代数学的一种重要思想。

一、极限思想的萌芽

在我国，著名的《庄子·天下篇》一书中记有：“一尺之锤，日取其半，万世不竭，”墨家著作《墨子·经天下》中也有“非半弗，则不动，说在端”的论述，这说明，在很早，我国人民对无限的可分性与连续性就已有了相当深刻的认识，将极限思想应用到数学中的是我国魏晋时期的数学家刘徽，刘徽在《九章算术注》中多次用极限思想处理问题，刘徽正是以“割圆术”为理论基础，得出徽率，到公元5世纪，南北朝时期的大数学家、科学家祖冲之（429-500年）在《缀术》一书中，同样运用“割圆术”推算出：3.1415926<π<3.1415927.

在国外，古希腊巧辩学派的安提芬（Antiphon，公元前480年一公元前411年）在研究画圆为方的问题时想到用边数不断增加的内接正多边形来接近圆的面积，当多边形的边数不断加倍时内接正多边形与圆周之间存在的空隙就被逐渐“穷竭”，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克斯（Eudoxus of Cnidus，公元前400年-公元前347年）创立了求几何体面积和体积的一般方法——穷竭法，他指出：“如果从任何量中减去一个不小于它的一半的部分，从剩余部分中再减去不小手它的一半的另一部分，继续下去，则最后将留下一个小于任何给定的同类量的量”，运用穷竭法，欧多克斯证明了“圆面积与直径的平方成正比例”“球的体积与直径的立方成正比例”等结论，他的穷竭法中也蘊含了极限思想，继欧多克索斯之后，阿基米德（Archimedes，公元前287年一前212年）使用穷竭法求出了一系列几何图形的面积，他用足够多的“内接”和“外切”扇形逼近螺线所围成的平面图形，这和我国的“割圆术”所用到的理论大相径庭，但都用到了极限思想，他巧妙地把欧克多索斯的穷竭法与希腊数学家谟克利特（约公元前460年一公元前370年）的原子论观点结合起来，通过严密的计算，解决了求几何图形的面积、体积、曲线场等计算问题，他采用了无限逼近的方法，将需要求积的量分成许多微小单元，再用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较，他的无穷小概念到17世纪被牛顿作为微积分的基础，阿基米德的杰出成就丰富了古代数学的内容。

二、极限思想的发展

极限思想的进一步发展与微积分的严格化联系密切，在很长一段时间里，许多人都曾尝试“彻底”地解决微积分理论基础的问题，但都未能如愿以偿，这是因为数学的研究对象已从常量转变为变量，而人们习惯于用不变化的常量去思考、分析问题，对“变量”特有的概念理解还不十分清楚，对“变量数学”和“常量数学”的区别和联系还缺乏了解，对“有限”和“无限”的对立、统一关系还不明确。