棣莫弗的数学成就

张祖民

棣莫弗（DeMoiver，Abraham），1667年5月26日生于法国维特里，勒弗朗索瓦，1754年11月27日卒于伦敦，他是最早给出棣莫弗公式（1722年）的学者，也是数理统计学的先驱，《机会的学说》是他早期的概率论著作，在该著作中，他详细介绍了第一次定义独立事件的乘法定理，还给出了n！的近似公式，并用该公式导出正态分布的频率曲线，将其作为二项分布的近似曲线。

棣莫弗的才能及成就受到了人们广泛的关注，据说，哈雷将棣莫弗的重要著作《机会的学说》呈送给牛顿，牛顿对棣莫弗十分欣赏，后来有的学生向牛顿请教概率方面的问题时，他这样说：“这样的问题应该去找棣莫弗，他对这些问题的研究比我深入得多”，这足以说明牛顿对棣莫弗的才能及成就的认可。

一、概率论方面的成就

G·卡尔达诺（cardano）、P·费马（Ferman）、B·帕斯卡（Pascal）等人都是概率论早期的研究者，他们所研究的主要是关于相互独立随机事件的概率——机会方面的问题，讨论如赌博、有奖抽彩过程中的机会，渐渐地，人们要求解决与大量事件集合有关的概率或期望值问题，如奖券的总数很大，已知每一张奖券中奖的机会都相等，那么抽取1000张、10000张奖券中奖的概率有多大呢？人们希望了解，如果要保证中奖的可能性达到90%，那么至少应该购买多少张奖券。

若随机事件（如随机地抛掷硬币）中，某一事件出现（如抛掷硬币时出现正面）之概率为P，n表示所有随机事件的总数，m是某一事件出现的数目，那么该事件出现的次数（m）与全体事件的次数（n）之比将会呈现什么规律呢？这是17世纪概率论中一个十分重要的问题。

1713年，雅格布·伯努利（Jacob Bernoulli）的遗著《猜度术》出版，在书中，他表示，在一定范围内进行多次反复的试验，则上述问题的概率为0.9999;甚至将实验次数增加至5708次、36966次，上述问题的概率为0.99999…，最后，雅格布·伯努利指出：“无限地连续地进行重复性的试验，我们终能正确地计算出任何事件的概率，并从偶然现象之中看到事件本身存在的秩序，”但是，他并未具体说明这种偶然现象中的秩序是什么，这一工作就是由棣莫弗完成的。

在雅格布·伯努利的《猜度术》出版之前，棣莫弗就对概率论进行了广泛而深入的研究，1711年，他在英国皇家学会的《哲学学报》上发表了“论抽签的原理”，该文于1718年用英文出版时被翻译成《机会的学说》，并将其扩充成一本书，他在书中并没讨论上述雅格布·伯努利讨论的问题，1738年再版《机会的学说》时，棣莫弗才对解决上述问题的方法作了详细的说明。

棣莫弗在《机会的学说》（1738年版）中称，他很早就考虑过多次反复试验中的预期概率问题，他曾在1733年11月13日所写的一篇拉丁文论文中指出：“坦率地说，这是在关于机会的学问中最困难的问题，”

在对概率问题的研究中，棣莫弗发现：重复n次独立的伯努利试验，在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果的发生与否互相对立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。

棣莫弗将他的成果大量地应用于解决诸如此类的问题，棣莫弗，拉普拉斯积分极限定理及中心极限定理還可用来解决反过来的统计问题：已知在一定范围内存在的期望的概率，求某一事件出现的概率，或者求满足一定概率条件所需要的试验次数等。

棣莫弗的《机会的学说》在概率论的发展中起着承前启后的作用，尤其是在二项分布、正态分布函数、中心极限定理等方面，为概率论的发展开辟了新的方向，对他来说，最重要的是解决了这样的哲学问题：在人们以为是纯粹偶然的事件中，可以寻找出其内在的规律和必然，正如他在该书中所指出的那样，尽管机会具有不规则性，由于机会无限多，随着时间的推移，不规则性与秩序相比将显得微不足道，他认为，这种秩序自然是从“固有设计中”产生出来的。

在《机会的学说》中，棣莫弗得到了泊松分布的一种特殊情形，并将母函数用于对正态分布的讨论中;在研究差分方程时，他将循环级数方法应用于差分方程的求解中，此外，他在这部著作中还对赌博中涉及的概率问题进行了深入探讨，他的许多方法尤其是母函数方法在概率论的发展中占有十分重要的地位。

二、统计方面的成就

棣莫弗是1 8世纪将概率论应用于人文、社会科学研究的重要人物之一，他在这方面的工作与哈雷的工作密切相关，哈雷在1693年就制定了确定保险年金的理论，在他所统计的数据的基础上，棣莫弗于1725年出版了《年金论》一书。

《年金论》不仅改进了以往众所周知的关于人口统计的方法，而且在假定死亡率所遵循的规律以及银行利息不变的情况下，推导出了计算年金的公式，从而为保险业提供了合理处理有关问题的依据，这些内容被后人奉为经典，他的《年金论》在欧洲产生了广泛的影响，先后出版了7次之多，1725年、1743年、1750年、1752年、1756年分别用英文出版，1776年出版了意大利译本，1906年出版了德文译本。

三、复数方面的成就

棣莫弗在概率、统计方面的工作对数理统计学有着重大的影响，尤其是现今以他的名字命名的中心极限定理，数学家们发现，一系列的重要统计量，在样本量N-∞时，极限分布都有正态的形式，这构成了数理统计学中大样本统计的基础，如今，他的大样本方法在统计方法中占据了很重要的地位，在复数理论的发展中，棣莫弗定理显得十分重要，它是早期复数理论中最有意义的关键公式，因此，棣莫弗的工作可以说是复数发展的重要源头。