南宋数学家秦九韶

李绍严

秦九韶，字道古，普州安岳（今四川安岳）人，于南宋嘉泰二年（1202年）出生，景定二年（1261年）在梅州（今广东梅县）去世。

秦九韶自幼生活在家乡，18岁时曾“在乡里为义兵首”，后随父亲移居京部，秦九韶非常聪明，而且好学，其父任职工部郎中和秘书少监期间，掌管营建、图书，使得秦九韶有机会阅读大量的典籍，并得以拜访当时天文历法和建筑等方面的专家，请教有关天文历法和土木工程方面的问题，秦九韶学识渊博、多才多艺，当时有人评价他“性极机巧，星象、音律、算术，以至营造等事，无不精究”，“游戏、毬、马、弓、剑，莫不能知，”

淳祐四年（1244年）八月，秦九韶以通直郎出任建康府（今江苏南京）通判，十一月因母丧离任，回湖州守孝，在此期间，他专心致志地研究数学，于淳{;占七年（1247年）九月完成数学名著《数书九章》，由于在天文历法方面颇有研究和成就，秦九韶曾受到皇帝召见，阐述自己的见解，并呈献了“数学大略”（即《数书九章》）。

《数书九章》一书共18卷81题，是秦九韶从他收集的大量资料中精选出来的较有代表性的问题，按用途分为大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易九类：

（1）大衍类，一次同余组的解法，大衍求一术;

（2）天时类，历法推算，雨雪量的计算;

（3）田域类，土地面积;

（4）测望类，勾股、重差等测量问题;

（5）赋役类，田赋、户税;

（6）钱谷类，征购米粮及仓储容积;

（7）营建类，建筑工程;

（8）军旅类，兵营布置和军需供应;

（9）市易类，商品交易和利息计算，

该书内容十分丰富，上至天文、星象、历律、测候，下至河道、水利、建筑、运输，以及各种几何图形和体积，还包括钱谷、赋役、市场、牙厘的计算和互易，许多计算方法和经验常数直到现在仍有很高的参考价值和实践意义，被誉为“算中宝典”，该书的著述方式大多由“問曰”“答曰”“术曰”“草曰”四部分组成，“问曰”是指从实际生活中提出问题;“答曰”是指给出答案;“术曰”表示阐述解题原理与步骤;“草曰”表示给出详细的解题过程。

《数书九章》已是国内外公认的一部世界数学名著，此书不仅代表了当时中国数学的先进水平，也代表了中世纪世界数学的最高水平，我国数学史家梁宗巨评价道：“秦九韶的《数书九章》（1247年）是一部划时代的巨著，内容丰富、精湛绝伦。”

秦九韶在数学上的主要成就是系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，达到了当时世界数学的最高水平。

一、大衍术

大衍术又称大衍法，实际是一套求解一次同余式组的完整程序。

（7）把“方”向右移一位，“上廉”移二位，“下廉”移三位，“隅”移四位，以“负方”除“正实”，算得十位上的商为4.如图5（7）。

（8）以十位上的商4乘“益隅”，并入“下廉”得-3240000.以4乘“下廉”，并入“上廉”得-320640000.以4乘“上廉”，并入“方”得955 1360000.以4乘“方”，与“正实”相互抵消，即得方程的一个正根840.如图5（8）。

由以上运算，我们可以看出，秦九韶法的基本特点是随乘随加，具有很强的机械性，这套方法可以毫无困难地转化为计算机程序，在上例中，若得出商的第二个数字后，实未除尽，便可用同样的程序求出商的第三个数字，依此类推，若方程的根是无理数，可用此程序求出根的任意精度的近似值。

所以说，秦九韶完满地解决了求高次方程正根的问题，不过，他没有考虑一个方程的根是否会多于一个，1819年，英国数学家霍纳（W，G，Homer，1786年一1837年）在不了解秦九韶法的情况下，独立提出相同的方法，后被称为“霍纳法”，在西方广泛流传。

纵观《数书九章》中的例子，可以看出，该书明显受到《九章算术》的影响，仍然采用问题集的形式，但在谈解题方法之前，多附有“草”，即表明演算步骤的算草图式。

在《数书九章》中，除了前面提到的大衍求一术和正负开方术两项重要成就外，秦九韶还记载了不少其他方面的知识和结论，例如，他改进了线性方程组的解法，普遍应用互乘相消法代替传统的直除法，已同今天所用的方法完全一致;在开方问题上，他发展了刘徽开方不尽求微数的思想，最早使用十进小数来表示无理根的近似值;对于《九章算术》和《海岛算经》中的勾股测量术，他也作了很多研究;在几何方面，他还取得了另一项杰出成果：“三斜求积术”，即已知三角形三边之长求其面积的公式，秦九韶的公式相当于古希腊著名的海伦公式。

在《数书九章》中，秦九韶通过大量例题，如“古历会积”“治历演纪”“积尺寻源”“推计土功”“程行计地”等，展示了大衍求一术在解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题中的广泛应用，由于在许多问题中，模数并非两两互素，而中国传统数学没有素数概念，所以将模数化为两两互素是相当困难的问题，秦九韶所设计的将模数比为两两互素的算法，尽管还不完善，但仍比较成功地解决了这一难题，有人称之为“没有素数的素数论”。

秦九韶的哲学思想和数学思想显然与宋代儒学中的道学学派一致，他明确指出“数与道非二本也”，秦九韶在数学实践上的切身体会，使他对于数学的重要性有较为深刻的认识，他说，数学研究“大则可以通神明，顺性命;小则可以经世务，类万物，讵容以浅近窥哉！”他认识到“所谓通神明，顺性命，固肤末于见”，于是他将自己的才智专注于研究天文历法、生产、生活、商业贸易以及军事活动中的数学问题，“设为问答，以拟于用”，尽力满足社会实践的需要，并告诫人们要学好数学，精于计算，以避免由于计算错误而引起“财蠹力伤”等不良后果。

秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的数学家，他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史上光彩夺目的一页，对后世数学的发展产生了广泛的影响。