同为三角 解法各异

摘 要：解决高中数学中三角问题时，由于受到惯性思维的诱导，学生普遍将思路局限在三角的知识体系中，难以发散思维，转化视角，跳出三角的知识体系.三角题中的辅助角、换元、二次函数、导数基因，就是常见的类型，下面举列说明此类题型的解法.

关键词：辅助角;换元;二次函数;导数;思维惯性

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0015-01

例1 （2018全国卷）函数f（x）=cosx-sinx在x∈[-a，a]是减函数，则a的最大值是.

辅助角型 f（x）=cosx-sinx=2cos（x+π4），其减区间由2kπ≤x+π4≤2kπ+π，k∈Z，得2kπ-π4≤x≤2kπ+3π4，k∈Z.令k=0，则唯一一个由负到正的减区间为[-π4，3π4]，依题[-a，a][-π4，3π4]，解得0<a≤π4，所以a的最大值为π4.

例2 （大纲卷文）函数y=cos2x+2sinx的最大值是.

二次函数型 y=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx.令t=sinx，t∈[-1，1]，则y=-2t2+2t+1=-2（t-12）2+32.当t=12时，函数的最大值32.

例3 （大纲卷理）函数y=cos2x+asinx，在（π6，π2）内是减函数，求a的取值范围.

二次函数型 y=cos2x+asinx=-2sin2x+asinx+1.令t=sinx，t∈（12，1），则y=-2t2+at+1，此二次函数的图象开口向下，对称轴x=a4，所以a4≤12，即a≤2.

例4 （2016新课标）若函数f（x）=x-13sin2x+asinx在（-∞，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）.

A.[-1，1] B.[-1，13]

C.[-13，13]D.[-1，-13]

导数型 依题f ′（x）=1-23cos2x+acosx=-43cos2x+acosx+53≥0恒成立.

令t=cosx，t∈[-1，1]，则

f ′（t）=4t2-3at-5≤0在t∈[-1，1]恒成立，即f ′（-1）≤0且f ′（1）≤0，解得a∈[-13，13].

例5 （2018全国卷）已知函数f（x）=sin2x+2sinx，求函数的最小值.

导数型 f ′（x）=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2=2（2cosx-1）（cosx+1）.由f ′（x）>0，即cosx>12解得函数单调递增区间：（2kπ-π3，2kπ+π3），k∈Z.由f ′（x）<0，即cosx<12解得函數单调递减区间：（2kπ+π3，2kπ+5π3），k∈Z.若不考虑周期因素，函数有无穷多相等极大值，极大值等于最大值，即f（π3）=332.函数有无穷多相等极小值，极小值等于最小值，即f（5π3）=-332.

例6 求函数f（x）=（4-3sinx）（4-3cosx）的最小值.

换元型 f（x）=16-12（sinx+cosx）+9sinxcosx.令t=sinx+cosx=2sin（x+π4）∈[-2，2]，则sinxcosx=t2-12.则函数化为y=12（9t2-24t+23）.当t=43时，函数取最小值72.

参考文献：[1]梁宗明.三角题中的二次函数情缘[J].数理化解题研究，2017（10）：21.

[责任编辑：李 璟]