巧用数学知识揭秘扑克魔术

李大永

一位魔术师请观众从一副扑克牌中任意抽取出20张牌（不让魔术师看到被抽到的牌的正面）。魔术师将这20张牌均分成四份，然后逐一拿起每一份牌，并把牌的正面展现给观众看，之后请观众说出其中红花色牌（红桃和方片）的张数。然后魔术师将四份牌放在一起，请观众洗牌，并将牌在桌面上摆成一个圈。最后，魔术师俯下身将耳朵贴近这圈牌，做出认真倾听的动作，接着抬起身告诉观众：“我听到红色牌和黑色牌正在谈论它们相邻的牌是同色的还是异色的，所以我知道这一圈牌中相邻红色牌的对数与相邻黑色牌的对数哪个更多，而且还知道多多少。”

当魔术师说出结果后，观众翻开牌检验，发现魔术师果然说对了！难道魔术师真有特异功能吗？显然是不可能的！神秘现象背后必有不为人知的道理！

我们不妨先大胆地猜一猜，魔术师所知晓的信息是从哪里来的？

仔细分析魔术师的操作过程，去掉那些迷惑人的动作信息，其中关键的信息实际上只有两个：①总牌数20张;②观众反馈的红花色牌数。所以魔术师所知晓的信息只能来源于上述两个数据。

实际上，大家可以亲手试验一下，不需要扑克牌'我们可以运用数学知识来寻找问题的答案，只需用字母R、B来分别表示红牌和黑牌，20张牌太多了，可以少一些，方便试验。下面，我们不妨用6张字母牌试试，如图1所示，字母牌是4红2黑，相邻红牌对数为2，相邻黑牌对数为O;我们将其中一个红牌改为黑牌，这样就是3红3黑，如图2、图3、图4.

在图2中，相邻红牌对数为1，相邻黑牌对数为1;在图3中，相邻红牌对数为2，相邻黑牌对数为2;在图4中，相邻红牌对数0，相邻黑牌对数0.通过观察图2、3、4，我们容易发现，相邻黑牌和相邻红牌的对数总是一样的，另外，图2、3、4中的红色牌和黑色牌的张数也是相同的。结合图1的结果，我们不难发现一个规律：相邻红牌对数与相邻黑牌对数的差与红牌数与黑牌数的差是相等的。

现在的问题是：这个规律对于20张牌是成立的吗？如果是，那么为什么？如果是对于任意张数的牌，是否还存在这个规律呢？

如果采取试验的方式，显然情况太多了。我们把它转化成一个数学问题：

设红色牌和黑色牌分别有p张和q张，摆放成一圈后，相邻两张牌同为红色的組数为m，相邻两张牌同为黑色的组数记为n。那么问题就是要判断p-g=m-n是否总成立？但这还不算是纯粹的数学问题，因为研究对象——“牌”是非数学对象。因此，我们可以设红色牌的取值为1，黑色牌的取值为-1，这样，问题就可以表述为：已知一个圆形数阵中的数字只有1和-1，其中有p个数字是1，有g个数字是-1.若记圆形数阵中相邻两数同为1的组数为m，相邻两数字同为-1的组数为n，则判断p-g=m-n是否总成立？