巧用不等式确定阻值范围

黄继奎

在有关滑动变阻器型动态电路计算中，常会涉及在保证电路安全的情况下求解滑动变阻器的阻值范围问题。此类题由于综合性强、难度大，很多同学总是望而生畏。其实，解题中若能巧列不等式组则可快速求解。下面举例介绍。

类型一：滑动变阻器与用电器串联

例1（2019·山东·东营）如图1所示，测量小灯泡电功率的电路中，电源电压恒为6 V，电流表量程为0～0.6 A，电压表量程为0～3 V，滑动变阻器规格为“50 Ω 1 A”，小灯泡规格为“2.5 V 0.25 A”，若不考虑小灯泡阻值随温度的变化，小灯泡两端电压不允许超过额定值，闭合开关，则滑动变阻器的取值范围为 。

分析：由电路图可知，滑动变阻器与灯泡串联，电压表测灯泡两端的电压，电流表测电路中的电流。通过电流表、滑动变阻器和小灯泡的最大电流分别为0.6 A、1 A和0.25 A，由于在串联电路中电流处处相等，为保证上述各元件安全，则电路允许通过的最大电流为0.25 A，即通过电路中的电流I ≤ 0.25 A;加在电压表和小灯泡两端的最大电压分别为3 V和2.5 V，由于电压表两端的电压与小灯泡两端电压相同，为保证电压表和小灯泡的安全，则加在小灯泡和电压表两端的最大电压应为2.5 V，即加在小灯泡两端的电压U ≤ 2.5 V。利用欧姆定律和串联电路特点分别写出上述两个不等式中的电流和电压的表达式，表达式要用已知量和待求量R滑表示，再结合滑动变阻器连入电路的阻值R滑 ≤ 50 Ω，联立三个不等式求交集得解。

解：小灯泡的电阻[RL=U额I额=2.5 V0.25 A=10 Ω]，根据以上分析列不等式组如下：[URL+R滑≤0.25 AURL+R滑RL≤2.5 VR滑≤50 Ω]，  将已知量代入得：[6 V10 Ω+R滑≤0.25 A6 V10 Ω+R滑 ×10 Ω≤2.5 VR滑≤50 Ω]，解得：14 Ω ≤ R滑 ≤ 50 Ω。

点评：若滑动变阻器与用电器串联，且电压表测量用电器两端电压，当变阻器滑片P移动时，电压表与电流表的示数变化趋势相同，并且当一只电表的示数达到最大（或最小）值时，另一只电表的示数也相应达到某一最大（或最小）值。

类型二：滑动变阻器与用电器并联

例2（2019·江西）如图2所示，电源电压为8 V保持不变，电流表的量程为0～0.6 A，电压表的量程为0～15 V，R1=20 Ω，滑動变阻器R2的规格为“100 Ω  1 A”。

求：闭合开关S1、S2和S3，在不损坏电流表、电压表的情况下，求滑动变阻器R2的阻值取值范围。

分析：闭合开关S1、S2和S3，R3被短路，R1、R2并联，电压表测电源电压，电流表测干路电流，电流表的量程为0～0.6 A，则通过干路的电流I ≤ 0.6 A;由于在并联电路中，各支路电压和总电压相等，则加在滑动变阻器两端的电压始终为8 V，小于电压表的最大值15 V;滑动变阻器连入电路的阻值R滑 ≤ 100 Ω。根据上述分析可利用欧姆定律和串联电路特点列出电流的表达式，表达式要用已知量和待求量R滑表示，联立两个不等式求交集得解。

解：通过R1的电流为[I1=UR1=8 V20 Ω=0.4 A]。根据以上分析列不等式组如下：

[I1+UR滑≤0.6 AR滑≤100 Ω]  将已知量代入得：[0.4 A+8 VR滑≤0.6 AR滑≤100 Ω]  解得40 Ω ≤ R滑≤ 100 Ω。

点评：当滑动变阻器与用电器并联时，各支路两端电压和电源电压都相等，在滑动变阻器连入的电阻不为0的情况下，当变阻器滑片P移动时，电压表的示数总是等于电源电压，且电压表量程的最大值一定大于电源电压。可见解答此类题只需列出通过电流表所测电路的电流和滑动变阻器连入电路的阻值两个不等式即可快速求解。

（2019·甘肃·兰州改编）如图3所示的电路中，电源电压恒为6 V，灯泡L上标有“6 V  0.5 A”的字样，R1的阻值为6 Ω，滑动变阻器R2上标有“10 Ω  0.8 A”的字样，电流表A的量程为0～3 A，电压表V的量程为0～3 V，忽略温度对灯丝电阻的影响。求：闭合S，断开S1与S2时，在确保电路安全的前提下，滑动变阻器R2接入电路的阻值范围。

【答案】1.5～6 Ω

【提示】首先根据开关的通断明确电路连接方式为串联，进而明确两电表测量对象。然后根据“逐一保护法”确定电路中的最大电流为0.8 A，滑动变阻器R2两端的最大电压为3 V。由此表示出相对应的不等式分别为：I ≤ 0.8 A和U滑 ≤ 3 V。所对应的不等式表达式分别为：[UR1+R滑 ≤0.8 A];[UR滑R1+R滑 ≤3 V]，两式联立取交集可得解。