巧解旋转矩形

吕朋

轴对称、平移和旋转是初中阶段常见的三种图形变换，也是中考数学倒数第二题的必考内容. 本文以2019年沈阳市沈河区二模题为例，介绍此类问题的解法.

例 如图1，在矩形纸片 ABCD中，AB = 2，AD = 6，将纸片沿对角线AC对折，使得点D落在点P处.

（1）填空：∠BCA的大小是 .

（2）如图2，将折叠后的纸片沿着AC剪开，把△APC绕点A逆时针旋转α角 （0°≤ α ≤ 90°），得到△AP′C′，点 P，C分别对应点P′，C′，P′A交BC于点 E，P′C′交CD于点F.

①当α = 15°时，求证：AB = BE;

②填空：当点P′落在边BC上时，连接AF，则tan∠DAF的值为 ;

③填空：在②的条件下，将△AP′C′沿着AP′折叠至△AP′C′′处，点C′对应点C′′，AC′′交BC于点G，则线段BG的长度为 .

分析：（1）借助特殊角三角函数值即可求解;（2）根据“一线三直角”及相似三角形的知识解答即可.

解：（1）在Rt△ABC中，∠B = 90°，∴tan∠BCA =  =  = ，∴∠BCA = 30°.

（2）①当α = 15°时，由（1）得：∠BCA = 30°，则∠P′AC′ = ∠DAC = ∠BCA = 30°，

∴∠P′AC = ∠P′AC′ - ∠CAC′ = 15°，∴∠BAE = ∠BAC - ∠P′AC = 45°，

又∵∠B = 90°，∴△ABE是等腰直角三角形，AB = BE;

②如图3，当点P′落在边BC上时，可证得Rt△ADF ≌Rt△AP′F（HL），

∴∠DAF = ∠P′AF，

借助“一线三直角”可证△CFP′∽△BP′A，

∴tan∠P′AF =  = ，

在Rt△ABP′中，BP′ =  = 2，

∴CP′ = BC - BP′ = 6 - 2，

∴tan∠P′AF =  =  =  - ，∴tan∠DAF =  - .

③方法一：如圖4，过点G作GQ⊥AP′，垂足为点Q，

在Rt△AC′′P′中，∠C′′AP′ = 30°，

设GQ = x，则AQ = x，P′Q = 6 - x，

∵∠GP′Q = ∠AP′B，∠GQP′ = ∠ABP′ = 90°，∴△GP′Q∽△AP′B，

∴ =  = ，即： =  = ，

∴GP′ = x， = ，解得x = 6 - 6，

∴BG = BP′ - GP′ = 2 - x = 8 - 18;

方法二：如图5，过点G作GQ⊥C′′P′，垂足为点Q，

在Rt△GQC′′中，∠GC′′Q = 60°，

设C′′Q = x，则GQ = x，P′Q = 2 - x，可证得△GP′Q∽△P′AB，

∴ =  = ，即： =  = ，

∴GP′ = ，∴ = ，解得x = 6 - 4，

∴BG = BP′ - GP′ = 2 -  = 8 - 18;

方法三：如图6，过点C′′作C′′Q⊥BC，垂足为点Q，可证得△C′′P′Q∽△P′AB，

∴ =  = ，即： =  = ，

∴P′Q = 2，C′′Q = 2，

设BG = x，则GQ = 2 - 2 - x，可证得△C′′GQ∽△AGB，

∴ = ，即 = ，

解得x = 8 - 18.

即BG = 8 - 18.

点评：解题过程中运用了多种方法，涉及“A字型”相似、“X字型”相似、勾股定理、“一线三直角”模型、特殊的三角函数值应用以及函数思想，同学们要注意体会每种方法各自的特点.