图形规律问题解题策略

陆新亚

“找规律”是一个探究事物之间内在联系或变化趋势的过程。中考中常出现的图形规律问题，可以从数字规律或数形结合等角度寻找解决问题的策略。本文结合考题，和同学们一起探索这类问题的解题策略。

类型1：从算式中寻找规律

例1（2018·江苏徐州）如图1，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多个。（用含n的代数式表示）

【解析】方法一：观察图形，分别寻找每个图形中的正方形总个数和黑、白两色正方形个数的规律，从而解决问题。

第1个图形黑、白两色正方形共3×3个，其中黑色1个，白色3×3-1个;

第2个图形黑、白两色正方形共3×5个，其中黑色2个，白色3×5-2个;

第3个图形黑、白两色正方形共3×7个，其中黑色3个，白色3×7-3个;

......

依此类推，第n个图形黑、白两色正方形共3×（2n+1）个，其中黑色n个，白色3×（2n+1）-n个，即白色正方形5n+3个，故第n个图案中白色正方形比黑色正方形多4n+3个。

方法二：寻找后一个图形与前一个图形之间的联系和变化，发现增加的个数，从而寻找规律。

第1个图形白色正方形共8个，黑色1个，白色比黑色多7个;

第2个图形相比第1个图形，白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多7+4个;

第3个图形相比第2个图形，白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多7+4x2个;

......

依此类推，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多7+4（n一1）个，即4n+3个。

【点评】我们在求解这道题时，要先从特殊情况出发，用前三个具体数据逐步发现规律。既可以从代数规律角度研究，也可以结合图形去寻找规律。我们在寻找规律时，不一定要把具体数据算出来，而应该寻找每一种方法的规律。

类型2：从图形分割中寻找规律

例2下列图形都是由同样大小的▲按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个▲;第2个图形中一共有9个▲;第3个图形中一共有12个▲......按此规律排列，则第2019个图形中▲的个数为（）。

【解析】如下图，将图形分割，可以发现，后一个图形比前一个图形多3个▲，所以第2019個图形比第一个图形多2018个3，从而第2019个图形中▲的个数为6+3×2018=6060。故选D。

【点评】本题根据图形摆放的方式，将图形合理分割，寻找前后两个图之间的联系。也可以从代数角度出发，根据前三个图形的三角形个数是6、9、12，从而发现规律为3（n+1）。

类型3：寻找循环的周期

例3（2017·江苏连云港）如图2所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处;接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处......按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0间的距离是（）。

【解析】如图2，由题意得，⊙O的半径为2，A0A1=4，A0A2=23，A0A3=2，A0A4=23，A0A5=2，A0A6=0，A0A7=4......

∵2017÷6=336...1，

∴按此规律运动到点A2017处，A2017与A1重合，∴A0A2017=A0A1=4。

【点评】解题的关键是寻找循环的周期。只要计算前几个具体数据，当发现出现相同情况，循环的周期就找到了。

类型4：结合图形性质寻找规律

例4（2018·江苏淮安）如图3，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图像，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2;过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3......按此规律操作下所得到的正方形AnBnCnDn的面积是

【解析】∵直线l为正比例函数y=x的图像，∴∠D1OA1=45°，

由9规律可知正方形AnBnCnDn的面积为（2）n-1。

【点评】本题考查了正方形的性质、一次函数图像上点的坐标特征，根据一次函数解析式得到∠DOA=1145°，正确找出规律是解题的关键。

（作者单位：江苏省常州市北环中学）