代数式求值面面观

徐恒

代数式求值问题是初中数学的重要内容，也是历年中考常见的题型。我们如果根据其形式多样、思路多变的特点，能灵活运用恰当的方法和技巧，便很容易求解;反之，不但计算量大，而且容易出错。下面老师介绍几种常用的方法，供同学们参考。

一、整体代入法

整体代入法是当待求的代数式中字母的值不能或不容易求出时，可把已知条件作为一个整体，代入到待求代数式中求值的一种方法。我们通过整体代入，可以实现快速约分、降次，从而求代数式的值。

例1已知a+b=12，求代數式2a+2b-3的值。

二、变形代入法

当已知条件整体不能代入或代入不能够求出代数式的值时，可以将要求解的代数式变形，使得条件能够

整体代入，从而求出代数式的值。

例2若实数x满足x2-2x-1=0，

求代数式2x3-7x2+4x-2017的值。

解：由x2-2x-1=0，得x2-2x=1。

∴2x3-7x2+4x-2017=2x3-4x2-3x2+4x-2017=2x（x2-2x）-3x2+4x-2017=2x-3x2+4x-2017=-3x2+6x-2017=-3（x2-2x）-2017

=-3-2017=-2020。

三、化简代入法

当代数式比较复杂，条件不能直接代入求出代数式的值时，可以将要求解的代数式化简，使得条件能够直接代入，从而求出代数式的值。

四、三角函数求值代入法

先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再依据特殊锐角三角函数值求得x的值，代入代数式计算即可。

五、利用等式的基本性质

不解方程，根据等式的基本性质，求出代数式整体的值。

六、几何对称法

利用二次函数的对称性，得到相等关系，从而求出代数式的值。

例6已知当x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m-n+2=?0，则当x=3（m+n+1）时，求多项式x2+4x+6的值。

解：∵当x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，

∴二次函数y=x2+4x+6的对称轴

又∵二次函数y=x2+4x+6的对称轴为直线x=-2，

七、消元法

把条件等式中某一个未知数（元）视为常数，表示另外一个未知数（主元），代入代数式使得未知元减少，从而求得代数式的值。

例7已知实数m、n满足m-n2=1，求代数式m2+2n2+4m-1的最小值。

解：由m-n2=1，得

n2=m-1≥0，

∴m≥1，

∴m2+2n2+4m-1=m2+2（m-1）+4m

-1=m2+6m-3=（m+3）2-12≥4，

即代数式m2+2n2+4m-1的最小值为4。

初中数学重要的内容之一就是研究“式”的构造、变形和应用，上述七道例题特色鲜明，是初中阶段常见的求代数式值的题型，彰显着数学的思维、方法和技巧。学数学离不开解题，解数学题是一门艺术，即使面对所谓的小题，只要我们用心去思考、总结，就会有所发现、有所提高，甚至有所创造。

（作者单位：江苏省南京市鼓楼实验中学）