“三线八角”——平面几何的敲门砖

吕宗儒

中华文化，源远流长，从不少的古诗词中，我发现了数学的蛛丝马迹。“君住长江头，我住长江尾，日日思君不见君”，这就像两道凄美的平行线，永无相交。但是它们“共饮长江水”，此时，江水好似两线间的枢纽，沟通了两线，形成许多关联。它们形成了几个特殊的夹角，分别为：同位角，内错角，同旁内角。

你或许已经猜到了，这便是鼎鼎有名的“三线八角”模型。这个模型是初中几何一个很重要的知识点，在判定两直线平行以及探究角之间的数量关系上有着举足轻重的作用。今天，我带大家认识“三线八角”模型。

两条直线被第三条直线所截，共顶点处的角分别为对顶角和邻补角;不共顶点处有同位角、内错角，还有同旁内角。分清同位角、内错角和同旁内角的关键是找准截线和被截线。

如图1，直线AB、CD分别与直线EF相交，形成了8个角。

同位角：∠1的两边所在的直线是AB和EF，∠5的两边所在的直线是CD和EF，它们的公共边是EF，所以EF是截线，AB、CD是被截线，∠1与∠5分别在截线的同旁，被截线的同侧，故∠1与∠5是同位角。具备这一位置关系的角还有∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8。

内错角：根据定义可知，这两个角应该在“内”部，并且交错。因为截线只有一条，无所谓内外，所以这两个角一定是在被截线的内部，且在截线的两侧交错。不共顶点处的8个角中，具有上述位置关系的角是∠3与∠5、∠4与∠6。

同旁内角：根据定义可知，这两个角也应在“内”部，并且在同旁。因为截线只有一条，无所谓内外，所以这两个角一定是在被截线的内部，且在截线的同旁。不共顶点处的8个角中，具有上述位置关系的角是∠3与∠6、∠4与∠5。如果你细心观察，会发现同位角的基础图形是任意旋转的“F”字形，内错角的基础图形是任意旋转的“Z”字形，同旁内角的基础图形是任意旋转的“U”字形。在一些平面几何图形中，都可以发现它们的身影。

无论AB是否平行CD，这三种特殊角始终存在，且每种角都是两两出现，难舍难分，所以千万别说“∠1是同位角”，而应该说“∠1和∠5是同位角”。

找準了角，有什么用呢？难道是数学家闲得无聊给它们起名玩吗？显然不是，它们的用处大着哩！

如果AB∥CD，那么以下命题都成立：（1）同位角相等;（2）内错角相等;（3）同旁内角互补。

其中，（1）是一个基本事实，即公理，而（2）（3）则是其推论，是定理。在几何题中，它们都可以直接使用。反之，它们的逆定理为：

（4）同位角相等，两直线平行;（5）内错角相等，两直线平行;（6）同旁内角互补，两直线平行。

它们也是定理，也可以直接使用。

所以，这小小的“三线八角”模型，蕴藏着不小的内涵。这个模型是一把神奇的钥匙，能够打开平面图形的大门;它又是一块垫脚石，是几何知识的基石。在无数人的心目中，几何是枯燥的，具有空想色彩，而在真正热爱数学的人眼里，每一个符号、数字、模型都富含朝气蓬勃的生命，这也是数学的最终奥义。

同位角、内错角、同旁内角好似小精灵，簇拥着三条直线，构成美丽奇妙的“三线八角”模型。这就是“三线八角”，这就是平面几何的敲门砖！

教师点评

这篇数学习作记录了小作者对学习平面几何的敲门砖——“三线八角”模型的认识和感受。小作者把“三线八角”模型分析得细致入微，体现了他对数学知识的深刻理解，值得同学们学习借鉴。

（指导教师：王维松）