基于Vague集理论的完井方式多指标综合优选

朱志勇 韩国庆 吴晓东 项荟竹 王一爽 郑磊 赵瑞东

1.中国石油大学(北京)石油工程教育部重点实验室；2.北京中航油工程建设有限公司；3.中国石油勘探开发研究院

随着完井技术的不断发展，各种完井工艺都日趋成熟，选择合适的完井方式进行油气生产越来越被油田现场所重视。在完井技术发展初期，大多数完井方式的选择都是根据专家经验或定性分析进行的［1-2］；后来随着认识的不断提高，人们开始综合考虑产量、经济、技术和安全等多方面因素，通过数学方法来定量地实现完井方式的选择，提出了一系列系统化、模型化的完井方式优选方法，如模糊判别法、突变理论法、灰色关联法等［3-8］。但是在这些方法中，不论是进行模糊集的隶属度计算，还是进行评价指标的规范化处理时，均是从优属角度出发，仅考虑支持方面的证据，将原始数据转化为越大越优型的无量纲值，再进行后续的分析计算。这种以优属为目标处理原始数据、从单一方面进行判断的方法，缺乏对原始数据的全面考察，忽略了数据中的其他有用信息，未形成对已有数据的有效利用，对完井方式的认识存在不足。因而有必要建立新方法，全面分析利用已有数据，提升对完井方式的认识，实现更加精细准确的完井方式评价。

Vague集具有真、假双隶属函数，能够同时考虑支持与反对两方面证据，在处理模糊性的评价问题方面具有更强的表示能力。唐国强［8］、张海洋［9］在各自的完井方式优选研究中先后引入了Vague集，但二者的研究在Vague集构造方面均存在缺陷，构造过程中虽然计算了双隶属度，但两个隶属度均是基于最优值获得，因而未能真正实现正反两方面的考虑，也未能实现对数据的充分利用。笔者在深入研究Vague集理论的基础上，引入了更加科学合理的Vague集构建方法，分别基于评价值中支持的证据和反对的证据获得了评价指标Vague值的真、假隶属度，并在此基础上引入了更加全面的Vague值相似度量公式，建立了基于Vague值相似度量的完井方式Vague值优选模型。这一模型实现了对备选完井方式的多角度衡量，增加了对已有数据的利用程度，提高了对备选完井方式的认知水平，能够为完井方式的优选提供更为精确可靠的评价结果。

1 Vague集理论

Vague集的概念由Gau等［10］于1993年提出。Vague集是在模糊集的理论基础上建立并发展起来的，是模糊集的一种推广形式。Vague集的特点是基于支持与反对两方面的证据，引入真隶属度函数和假隶属度函数，以区间的形式表示隶属程度。Vague集给出了隶属度、非隶属度和犹豫度三个方面的信息，能够在表示支持程度和反对程度的同时，表示中立(犹豫)程度，这使得Vague集比普通模糊集在处理模糊性和不确定性等方面具有更强的表示能力，也使得引入Vague集的模糊综合评价模型的可靠性获得大大的提升［11］。

1.1 Vague集的概念

定义1［12］：设论域X，对于X中的任意一个元素(对象)可以用x来表示，X上的一个Vague集A用一对隶属函数tA(x)和fA(x)来 刻画：tA:X→[0,1]，fA:X→[0,1]， 且满足tA(x)+fA(x)≤1。 其中tA(x)称为Vague集A的真隶属函数，表示支持x∈A的证据的隶属度下界；fA(x)称为Vague集A的假隶属函数，表示反对x∈A的证据的隶属度下界；称π(x)=1−fA(x)−tA(x)为x相 对于Vague集A的犹豫度，显然0 ≤π(x)≤1，π(x)给出了元素x隶属于Vague集A的不确定性。

定义2［12］：设x∈U，称闭区间为Vague集A关于点x的Vague值，用以表示元素x对于Vague集A的隶属度。

由上述定义可知，与普通模糊集相比，Vague集A中的任一元素x的隶属度表示由一个单值变为了[0，1]上的一个子区间其中假隶属函数fA(x)的 反面1 −fA(x)表 示的是支持x∈A的证据的隶属度的最大可能程度，即支持x∈A的证据的隶属度上界［12］。这样，元素x的Vague值通过真假隶属度函数给出了支持x∈A的证据的隶属度上下界，称tA(x)为x∈A的正隶属度，1−fA(x)为x∈A的反隶属度。同时，支持x∈A的隶属度的上下界的差值，即犹豫度π(x)刻画了x∈A的不确定性：如果π(x)值较小，则表明能够相当精确地知道x是否属于Vague集A；如果 π(x)值较大，则表明关于x是否属于Vague集A的信息很少，难以确定x的隶属程度；进一步地如果π(x)=0，即1−fA(x)=tA(x)，则能够准确地知道x属于Vague集A的程度，此时Vague集退化为普通模糊集［13］。

1.2 Vague值的相似度量

Vague值的相似度量，即通过构造相似性度量公式，来反映两个Vague值之间的相似性。在Vague集理论中Vague值的相似度量是一个重要的研究内容，众多学者在相似度量方面做了大量的研究，提出了许多相似性度量方法。本文同张海洋［9］一样，在Vague值相似度量时使用邓唯昌等［11］提出的Vague值相似度量公式。邓唯昌等指出，对于Vague值在构造Vague值的相似度量时，应考虑以下因素：

(3)Vague值未知部分对支持度和反对度的影响，犹豫度说明了Vague值中的未知信息，邓唯昌等用和分别表示未知部分对支持度和反对度的影响。

考虑以上因素，邓唯昌等给出一种更为精确的相似度量方法：对于Vague值x和y，如果与y的相似度定义为：其他情况下，对任意x与y之间的相似度定义为：

2 完井方式Vague值优选模型

2.1 基本思路

引入Vague集理论，基于Vague值的相似度量建立完井方式Vague值优选模型，进行完井方式的多指标综合优选，建立Vague值优选模型的算法步骤见图1。

图1 Vague值优选模型的算法步骤Fig.1 Algorithm steps of Vague value selection model

2.2 构建综合评价体系

全面的评价指标体系和合理的评价指标处理方法，能够对备选完井方案进行科学、客观的评价，为正确选择完井方式提供可靠的依据。综合前人研究［5,8-9］，本文构建的综合评价体系和评价指标量化方法如下。

2.2.1 评价指标的选取

完井方式的选择受多种因素的影响，经过筛选和分类，建立了两级评价系统作为完井方式优选的综合评价体系，包括一级指标3个，二级指标8个(S1～S8)。选取的各级评价指标，以及构建的完井方式评价体系的层次结构如图2所示。

图2完井方式评价体系的各级评价指标及层次结构Fig.2 Evaluation indicators and hierarchical structure of well completion method evaluation system

2.2.2 评价指标的量化

在建立的完井方式评价体系中，各评价指标可以分为定量指标和定性指标两大类，其中定量指标是指可以通过理论公式或定义概念进行量化的指标，这类指标具体包括产能指标中的初始产量和累计产量，经济指标中的完井总成本、财务净现值以及动态回收期，上述定量指标对应的量化方法为：基于油井产能预测模型［14］和完井表皮计算模型［15］实现初始产量、累计产量的量化；基于油井经济评价模型［16］实现完井总成本、财务净现值、动态回收期的量化。定性指标是指无法使用理论公式或定义直接量化的指标，这类指标的量化主要基于模糊语言及统计原理实现，具体包括工程指标中的防砂效果、完井寿命以及风险指数，上述定性指标对应的量化方法为：基于集值统计处理方法［17］实现防砂效果、完井寿命的量化；基于事故风险树处理方法［18］实现风险指数的量化。

2.3 指标权重的确定

指标权重计算方法总体可以分为两种：主观法和客观法。本文为获得更加真实可信的完井指标权重，综合主观赋权法和客观赋权法，使用基于层次分析法(AHP)和熵权法的层次-熵权法确定各完井指标的权重［9,19］。所谓层次-熵权法是指，分别对指标进行层次分析法和熵权法的权重值计算，然后应用最小信息熵的原理将两种方法的权重值进行结合，得到组合权重值的权重计算方法。其中，层次分析法基于主观经验来体现指标的重要程度，反映指标属性对权重的影响；熵权法利用数据本身的变化激烈程度或不均匀程度来衡量指标的重要程度，反映指标值差异对权重的影响；通过最小信息熵原理将二者结合后获得的组合权重，将既不完全偏向主观也不完全偏向客观，从而更加合理可信。

2.4 构造Vague值评价矩阵

使用建立的由8个评价指标构成的综合评价体系对n种备选完井方式进行评价，根据评价指标量化结果，得到评价矩阵A，即由第i个评价对象的第j个指标的量化值aij构成的矩阵。

在此基础上，本文引入非负单值数据转化为Vague值数据的转化公式［20］作为Vague集的构建方法，将完井方式的评价值转化为Vague值形式，构造由Vague值表示的评价矩阵。

数据转化过程中需区别考虑评价指标类型，将完井优选评价指标分为成本型和效益型两大类，其中成本型指标包括：完井总成本、动态回收期、风险指数；效益型指标包括：初始产量、累计产量、财务净现值、防砂效果以及完井寿命。

对于成本型指标，使用Vague值的反序转化公式为

可以看出，上述转化公式在构造Vague值时，同时考虑了最优值、最劣值两个基准，并在分别考察评价值中支持的证据和反对的证据的基础上，获得了评价指标Vague值的真、假隶属度。因此这一Vague值构造方法切实增加了对评价值数据的利用程度，真正实现了从正反两方面对完井方式进行评价，进而有效提高了对备选完井方式的认知水平。

其中

2.5 获得理想完井方式

选择各个完井指标下最理想的Vague值构成一个理想方案，通过各备选完井方案与理想方案［11］的相似度大小选择最佳方案。

2.6 相似度量

第j个评价指标下，备选完井方案与理想方案的相似度由相似度量公式获得。

考虑不同指标具有不同的重要程度，对各个指标下的相似度基于指标权重加权求和，获得总相似度，整体衡量备选完井方式与理想完井方式的相似度。比较各备选方案的总相似度，完井方式与理想完井方式的相似度越大，该完井方案越优。

3 应用实例

3.1 基础数据

选取某区块一口实际水平井进行完井方式优选，该井的储层为孔隙型砂岩储层，井壁稳定性较好，有较为严重的出砂现象，井眼曲率半径中长。结合该井的基本条件，备选的完井方式有：套管射孔完井(A1)、割缝衬管完井(A2)、绕丝筛管完井(A3)、裸眼砾石充填完井(A4)和管内砾石充填(A5)。进行完井方式优选涉及的基础参数见表1。

表1完井方式优选基础参数Table 1 Basic parameters of well completion method selection

3.2 指标量化

通过对指标的量化处理，得到了以下5个备选完井方式(A1～A5)的8个评价指标(S1～S8)的指标值，结果见表2。根据评价指标量化值，可以得到8指标评价体系下5种完井方式的评价矩阵。

3.3 权重确定

根据该井的基本条件逐级建立相应的层次分析矩阵，获得各指标的层次分析权重；依据量化获得的评价矩阵，由熵权计算方法得到各指标的熵权权重；最后将二者结合获得组合权重。其中最终的组合权重见表3，各部分权重计算结果见图3。组合权重综合了层次分析权重与熵权权重，使得最终的指标权重中既包含了主观的经验认识，也涵盖了客观的数学评价，既不完全偏向主观也不完全偏向客观，从而更加合理可信。

表2备选完井方式评价指标值Table 2 Evaluation indicator values of candidate well completion methods

表3 评价指标的组合权重Table 3 Combined weights of evaluation indicators

3.4 Vague值评价矩阵及理想完井方式

根据单值数据向Vague值数据转化的公式对原始数据进行转换(指数P取2)，得到用Vague值表示的备选完井方式评价矩阵，并构造出Vague值表示的理想完井方式A0，如表4所示。

3.5 相似度量

完成各备选完井方式与理想完井方式的相似度量。首先应用Vague值相似度量公式，计算备选完井方式与理想完井方式在各指标下的相似度，结果如图4所示。

图3评价指标权重雷达图Fig.3 Radar map of the weights of evaluation indicators

表4备选完井方式及理想完井方式的Vague值评价矩阵Table 4 Vague value evaluation matrix of candidate well completion methods and ideal well completion method

对各指标下的相似性基于指标权重加权求和，整体衡量备选完井方式与理想完井方式的相似度，获得总相似度见表5。将各备选方案与理想完井方案的总相似度按照从大到小的顺序排列，获得各备选方案的优先序，最终得到最优的备选方案为裸眼砾石充填完井(A4)。

3.6 单值优选模型对比

图4各指标下备选完井方式与理想完井方式的相似度Fig.4 Similarity between candidate well completion methods and ideal well completion method against each indicator

表 5备选完井方式与理想完井方式的总相似度Table 5 Total similarity between candidate well completion methods and ideal well completion method

基于上述的指标值及权重计算结果，使用文献［5］中提出的单值优选模型进行完井方式的优选，将优选结果与Vague值优选模型的结果进行对比，结果如图5所示。可以看出，当前情况下单值优选模型对备选完井方式的区分度较差，5种备选完井方式中有3种得到了较高的评分，且彼此分数相近，模型结果不足以支撑完井方式的优选；而基于Vague集的双值优选模型获得的最优完井方式的评分明显高于其他完井方式，且各备选方案评分差异较大，对备选完井方式具有更好的区分度。

图5单值模型与Vague值模型的结果对比Fig.5 Result comparison between single value model and Vague value model

4 结论

(1)以Vague集理论为基础，建立了基于Vague值相似度量的完井方式Vague值优选模型。示例表明，建立的Vague值优选模型能够实现完井方式的多指标综合优选，其结果是合理有效的；同时，相较于常规的单值优选模型，Vague值优选模型能够更深入地挖掘原始数据中的有效信息，增加对已有数据的利用程度，有效提升对备选完井方式的认识水平，对备选完井方式具有更好的区分度，从而能够为完井方式的优选提供更加客观可靠的指导。

(2)评价指标体系的建立和评价指标处理方法的选择对完井方式的优选影响重大，需要综合考虑多方面因素，建立全面的评价指标体系和科学的评价指标处理方法。本文考虑生产产量、经济效益、工程技术3方面的因素，建立了评价指标体系和相应的评价指标处理方法。对于有其他考虑因素的完井优选工作，如环保因素等，可根据需要重新构建评价指标体系、补充指标量化方法，从而实现对备选完井方案的全方位评价，为完井方式的优选提供科学合理的依据。

(3)权重反映了各评价指标在进行完井方式评价时的重要程度，权重的确定关系到模型最终的评价结果。在权重确定过程中需要从多角度考虑，以保证给出的权重值科学可靠。本文综合主观赋权法和客观赋权法，采用基于层次分析法(AHP)和熵权法的层次-熵权法确定了各完井指标的权重，使得最终的指标权重中既包含了主观的经验认识，也涵盖了客观的数学评价，具有一定的借鉴意义。