关于三线八角的新视角新解法

陈民

摘要：三线八角，既是重点，也是难点，对这一知识掌握的好与坏将直线影响到平行线判定与性质的学习。如何识别三类角？当面对一个稍微复杂的图形时，很多学生就无从下手，恐惧袭心，缴械投降。其实，破解它是有方法可依、有思路可循的。看线段抓截线，看两侧找两被截线，配对两点的方位角，三类角便极速鱼贯而出。

关键词：线段;截线;被截线;三类角

中图分类号：G633.6     文献标识码：B    文章编号：1672-1578（2020）23-0172-01

两条直线被第三条直线所截，构造出八个角，一般称为“三线八角”（见图1）。其中没有公共顶点的角可分为三类：同位角、内错角、同旁内角。它们位置形状特征分别是同侧且同方的“F型”、两侧且内部的“Z型”、同侧且内部的“U型”。从结构图可看出，三线中必有一条线段，线段所在线为公共边即截线。线段两端点连着两线即非公共边，所在线为两条被截线。显而易见，线段之所在是截线之所在，线段成为快速解题的关键。由此归纳出找三类角的口诀：

一看线段，找公共边（截线）

二看两侧，找另两边（两被截线）

三看构图，照对字母

找三类角的最难题目类型为在复杂图中指出所有的同位角、内错角和同旁内角，下面介绍破解妙法：

在几条相交的被截直线‘多余地出现且直线有时又退化成射线或线段的变式图形中，为了方便快速识别三类角，我们不妨把同顶点、同方位的角汇集为一个集合，并把同一集合的所有元素角的非公共边合一（可取一边代表），这时复杂图形就简化为简单图形，三线的位置恢复常态，八角的关系就更加清晰了，问题更易解决。

例如：将图2简化成图3，①∠MEG、∠NEG与∠1同顶点同方位，汇集为一个集合{∠NEG，∠1，∠MEG}，同时∠MEF、∠NEF与∠4汇集为一个集合{∠MEF，∠NEF与，∠4}，非公共边ME、NE、EB合一并取边EB为代表。

②∠PFE与∠5同顶点同方位，汇集为一个集合{∠PFE，∠5}，∠PFH与∠8同顶点同方位，汇集为一个集合{∠PFH，∠8}，非公共边PF、DF、合一并取边DF为代表。

巧用集合角的特点，快速配对出同类角。因为集合元素角同顶点同方位，所以两个集合之间的角元素进行两两配对所形成的角种类必定一样。比如：如图2，显然∠4与∠5形成同旁内角，那么可知∠4所在的集合元素角与∠5所在集合的元素角两两配对都形成同旁内角。也即所有以E为顶点的右下方位角（如∠4）与所有以F为顶点的右上方位角（如∠5）两两配对都形成同旁内角（如∠4与∠5）。那么图2的同旁内角有哪些呢？因为：简化图3的右侧以E为顶点右下方的角{∠MEF，∠4，∠NEF}与以F为顶点右上方的角{∠PFE，∠5}两两配对得出同旁内角有{∠MEF与∠PFE，∠NEF与∠PFE，∠4与∠PFE，∠MEF与∠5，∠NEF与∠5，∠4与∠5}，还有左侧的∠3与∠6。所以，图2的同旁内角共有：∠MEF与∠PFE，∠NEF与∠PFE，∠4与∠PFE，∠MEF与∠5，∠NEF与∠5，∠4与∠5，∠3与∠6。

【例1】如图4，指出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。

分析：一般，线段所在就是截线所在。解答这类题目的关键是找两端都有连接线的线段，这样的线段所在线可看成截线。图4是一个含有几个变式三线八角图的复杂图形，可按截线逐一抽出简化图，寫出需要的方位角集合，并两两配对得出三类角。

在图4中，共有三条线段，线段AB、AC、BC所在线都是截线。分别以AB、AC、BC为截线抽出简化图5、图6、图7。

如图5：AB为公共边、截线，EF、BC代表非公共边、被截线

①同位角：{∠MAF，∠MAC}与{∠ABC，∠ABP}两两配对得{∠MAF与∠ABC，∠MAC与∠ABC，∠MAF与∠ABP，∠MAC与∠ABP}

②内错角：{∠BAE，∠BAN，∠BAD}与{∠ABC，∠ABP}两两配对得{∠BAE与∠ABC，∠BAN与∠ABC，∠BAD与∠ABC，∠BAE与∠ABP，∠BAN与∠ABP，∠BAD与∠ABP}

③同旁内角：{∠BAC，∠BAF}与{∠ABC，∠ABP}两两配对得{∠BAC与∠ABC，∠BAF与∠ABC，∠BAC与∠ABP，∠BAF与∠ABP}

如图6：AC为公共边、截线，BC、EM代表非公共边、被截线

①同位角：{∠DAN，∠DAE，∠DAB}与{∠C}两两配对得{∠DAN与∠C，∠DAE与∠C，∠DAB与∠C}

同理，两两配对得出，②内错角：{∠CAF与∠C，∠CAM与∠C}③同旁内角：{∠CAN与∠C，∠CAE与∠C，∠CAB与∠C}

如图7：有内错角∠PBC与∠C，同旁内角∠ABC与∠C。

综上所述，就可以得到以下答案：

解：①同位角：∠MAF与∠ABC，∠MAC与∠ABC，∠MAF与∠ABP，∠MAC与∠ABP;

②内错角：∠BAE与∠ABC，∠BAN与∠ABC，∠BAD与∠ABC，∠BAE与∠ABP，∠BAN与∠ABP，∠BAD与∠ABP，∠CAF与∠C，∠CAM与∠C，∠PBC与∠C;

③同旁内角：∠BAC与∠ABC，∠BAF与∠ABC，∠BAC与∠ABP，∠BAF与∠ABP，∠CAN与∠C，∠CAE与∠C，∠CAB与∠C，∠ABC与∠C。

参考文献：

[1] 七年级数学（人教版版）.