特征值法在坐标测量机三维探测误差计算中的应用

李品

摘要：坐标测量机是在现代智能制造行业中广泛应用的几何量测量设备。最大允许探测误差MPEP是评价坐标测量机测量精度的一项重要指标。在设备验收检测和复检检测工作中，设备的三维探测误差P（Probing Error）应不超过设备标明的最大允许探测误差MPEP。因此，对于三维探测误差的可靠的校准测量，以及科学高效的数据处理具有重要的意义。文章对三维探测误差的计算方法从一种新型的数学模型出发，使用特征值法来实现三维探测误差校准测量原始记录数据的计算，为三维探测误差的校准测量提供理论和实践的参考。

Abstract： Coordinate measuring machine is a geometric quantity measuring equipment widely used in modern intelligent manufacturing industry. The maximum allowable detection error MPEP is an important indicator for evaluating the measurement accuracy of coordinate measuring machines. In the equipment acceptance inspection and re-inspection inspection， the three-dimensional detection error P （Probing Error） of the equipment should not exceed the maximum allowable detection error MPEP marked by the equipment. Therefore， reliable calibration measurement of three-dimensional detection errors and scientific and efficient data processing are of great significance. The calculation method of the three-dimensional detection error is based on a new mathematical model， and the eigenvalue method is used to calculate the original recorded data of the three-dimensional detection error calibration measurement， which provides a theoretical and practical reference for the calibration measurement of the three-dimensional detection error.

关键词：三维探测误差;特征值法;二次型最值

Key words： three-dimensional detection error;eigenvalue method;quadratic maximum

中图分类号：TH721                                      文献标识码：A                                  文章编号：1006-4311（2020）24-0242-02

0  引言

將被测物件固定在坐标测量机的操作台上，一般的接触式的3D桥式坐标测量机的探头会在沿着坐标测量机设备的X，Y，Z轴移动，每一个轴上都有微米级的位移传感器实时监控探头的位置。在测量前，首先建立空间直角坐标系，确定空间直角坐标系的原点的相对位置和X，Y，Z轴正方向相对位置，当探头接触到被测物体的某一特定位置时，计算机就采样三个位置传感器的数据，然后还需要考虑探头的角度等多种因素，综合各项因素就可以得到物体表面上的点的空间直角坐标的数据。这个过程不断重复，就可以产生出物体表面上的点的空间直角坐标数据的集合，从而可以通过数据处理来描述物体的表面几何特征。

1  三维探测误差的测量结果的精度指标

三坐标测量机是一种高精度的测量设备，关于如何评定它的精度指标，多年以来有了一系列的发展和变化，各个主要工业国家先后都颁布了其评定坐标测量机的标准。1994年，ISO 10360-2《坐标计量学-第2部分：坐标测量机的性能评定》标准制定，该标准于2000年经过修订。我国则采用GB/T 16857.2-2006/ISO 10360-2：2001《产品几何技术规范（GPS）坐标测量机的验收济检测和复检检测 第2部分：用于测量尺寸的坐标测量机》来评价坐标测量机的精度指标。另外由原国家质量监督检验检疫总局于2010年组织编制的坐标测量机计量校准规范JJF 1064-2010《坐标测量机校准规范》对于计量部门进行坐标测量机的计量校准做了更为具体操作要求。

要注意的是在验收或校准坐标测量机时，检测的测量不确定度是对检测质量的一个评价，而不是对坐标测量机性能的评价，坐标测量机的性能评价应该是由长度测量最大允许是指误差（MPEE）、最大允许探测误差（MPEP）和最大允许扫描探测误差（MPETHP）来评定。本文主要讨论的是其中一个指标，最大允许探测误差（MPEP）。

最大探测误差的测量方法是：在标准球上探测25个点，各个测量点应在检测球上匀称分布，至少要覆盖半个球面。对于垂直探针，推荐25个采样点分布为：一点位于标准球的极点;四点均匀分布且与极点成22.5°;八点均匀分布，相对于前者绕极轴旋转22.5°，且与极点成45°;四点均匀分布，相对于前者绕极轴旋转22.5°，且与极点成67.5°;八点均匀分布，相对于前者绕极轴旋转22.5°，且与极点成90°。

2  三维探测误差的测量结果的处理

根据《JJF1064-2010 坐标测量机校准规范》中7.1.1.3 （三维）探测误差（P）测量结果的处理：使用所有25个测量点的坐标，计算最小二乘拟合球。对25个测量点分别计算最小二乘半径距离R。计算探测误差P，为25个最小二乘半径距离的范围：

④那么探测误差的计算就需要将25个点的与球心之间的距离分别计算出来，然后得到最大的距离Rmax和最小的距离Rmin。那么探测误差就可以通过公式P=Rmax-Rmin计算出来了。

通过上述步骤发现，核心问题就是求出矩阵N的特征值和对应的单位特征向量来。现在已经有很多文章总结了使用Excel来直接求实对称矩阵的特征值和对应的单位特征向量了，所以本文就不在赘述。

5  总结

以上列出的是求三维探测误差P及最小二乘拟合球的一种新型的算法，其中给出了一个新的数学模型，发现这个数学模型就是二次型，从而使用了二次型的特征值方法去解决这个问题。在追求最优解的过程中，可以选择不同的数学模型，可以选择不同的算法，想要最终确定哪种方法最优，不仅要考虑算法的效率，也还需要结合具体的硬件条件。

参考文献：

[1]全国几何量长度计量技术委员会.JJF 1064-2010，坐标测量机校准规范[S].

[2]马巧云.特征值法求解二次型的条件最值问题[J].河南科学，2010（01）.

[3]杨敏.用Excel求实对称阵的全部特征值和特征向量[J].电脑知识与技术，2010.