托盘天平底板不调节水平会影响测量结果吗

安徽省太和县宫集镇中心学校(236652) 王伟民安徽省太和县教育局物理教研室(236600) 韩自理

(1)天平平衡时右盘砝码和游码位置如图1甲所示，则石块的质量为________g。

(2)为了测量石块的体积，小李同学先往量筒中加入一定量的水，如图1乙所示，他的操作合理吗？为什么？答：_______。

(3)4个小组测量出的石块密度见表1。

表1 石块密度

其中错误的是第________组的测量结果。

(4)对实验进行评估时，下列分析正确的是________。

A.放置天平的操作台面不水平，测出的质量偏大

B.放置天平的操作台面不水平，测出的质量偏小

C.先测石块体积，后测石块质量，测出的密度偏小

D.先测石块体积，后测石块质量，测出的密度偏大

这道中考物理实验题目的第4小问是一道选择题目(单选题)，参考答案给出的结果是选项D(当然，根据题目给出的条件，选项D的正确性很容易进行判断)，对于选项A和B淘汰掉的理由，笔者没有找到，网上百度的结果是一致的(多数教师也是持这样的观点)——天平横梁是等臂杠杆，若天平底板没调节水平，只要使用之前调节至横梁指针指在分度盘的中央，那么测量物体质量过程中当横梁指针也指在分度盘中央位置而重新平衡时(此时的横梁是倾斜平衡，横梁重力的作用线过支点)，利用相似三角形知识可以判断，它依然是一个等臂杠杆，所以测量结果依然是准确的。

众所周知，天平是测量物体质量相对比较精密的测量工具。无论是物理天平还是托盘天平，按要求在使用之前都必须进行天平的调节，首先调节底板，使底板水平，然后调节横梁，使其水平平衡。物理天平的调节通常是严格按这一要求进行的(底板的水平是通过调节底板上4个角处的4个螺钉来进行)，而对托盘天平来说，第一步底板水平的调节往往非常地随意——将托盘天平放在水平台面即可——这里的“水平台面”只需眼睛看着水平，无需认真仔细地调节，难道底板是否水平对天平测量物体质量的结果真的没有影响？

我们有必要从托盘天平的构造说起。

1 托盘天平的构造

图2为托盘天平内部构造示意图。天平横梁上有3个固定于横梁上的刀口ABO，中间的刀口O尖端朝下，放在中间的支柱上(支柱固定于天平的底座上)，整个横梁可以绕O点旋转。两边的2个刀口A和B尖端朝上，左右2个天平盘下面的支架架在两个刀口上，使得天平盘支架可以绕这2个刀口旋转。这2个刀口也是天平盘对横梁压力的作用点。中间支柱的下方铰链2个连杆ED和EC，2个连杆可以绕E点自由转动，2个天平支架的下面通过2个竖着的立柱AD和BC铰链于2个连杆的两端，这样，当横梁绕O点转动时，两边的托盘均可保持水平。因为四边形ADEO和四边形BCEO均为平行四边形(近似的平行四边形)。所以在托盘或横梁绕刀口转动时，立柱AD和BC都与中间的立柱OE平行。

2 横梁倾斜时不再是等臂杠杆

如果横梁上的3个刀口共线的话，那么，横梁无论是水平的还是倾斜的，它都应该是等臂杠杆，而实际上，几乎所有的托盘天平横梁上的3个刀口都不共线——中间的刀口在两边刀口连线的上方，中间刀口到两边刀口连线的距离通常是2.5 mm左右，生产厂家这样设计天平的目的，是为了使天平在横梁调节(包括使用之前横梁的水平调节和测量过程中横梁的水平调整)过程中，横梁能够维持稳定平衡，否则，如果3个刀口共线，且横梁重心刚好在中间刀口的话，天平横梁的平衡将是随遇平衡，这种情形下横梁指针不会在分度盘中线附近摆动的，我们将很难调节天平横梁的平衡；若中间的刀口在两边刀口连线的下方，则横梁的平衡将是不稳定平衡，实际操作中不可能调节至横梁水平平衡的，即使“碰巧”调节至横梁水平平衡了，只要有轻微的扰动，比如，人呼出的气体吹到了横梁，横梁都会失去原来的水平平衡而向一个方向转动的(不是摆动，而是失去平衡的转动)，就如同切菜刀刀尖冲下竖直立于瓷砖地板上很难维持平衡一样。

在天平左右两盘盛放物体(或砝码)横梁水平平衡时，不考虑横梁本身的重力(开始调节横梁水平平衡，就已经使得横梁重力的作用线经过中间的刀口了。以对横梁绕中间刀口转动的情形，当横梁水平时，横梁重力不产生对横梁转动的影响)，横梁受力情形如图3所示，这种情形下，天平是等臂杠杆——杠杆两端所受压力的力臂均为两边刀口之间距离(即线段AB长度)的一半。

当横梁倾斜时，比如，横梁绕中间的刀口逆时针旋转一个角度，为方便分析，假设横梁旋转到中间刀口与右边刀口的连线成水平状态的位置时，如图4所示，此时，天平横梁右端刀口所受压力的力臂等于两边刀口旋转而得到圆的半径(即图4乙中的线段OB′)，而横梁左端刀口所受压力的力臂是图4乙中的线段OC的长度(C为A′点在水平线上的正投影)，小于圆的半径，天平一定不是等臂杠杆——左臂短，右臂长。

因为左右刀口所受压力相对于支点(即中间刀口)力臂的比值与1差别越大，由于力臂不等而引起的测量误差便越大，所以，我们不妨从理论上推导一下横梁旋转不同角度时2个力臂比值的变化情况。

如图5所示，横梁水平时(不考虑横梁重力的影响)，三刀口分别位于A、O、B三点，显然，AB两点的连线水平，设AO与水平面的夹角为α，当横梁绕刀口逆时针方向旋转x角度后，左右两边的刀口分别旋转至A′和B′点，设右边力臂与左边力臂的比值为k，则有：

两边对x求导得：

由图5可知，当横梁旋转至OA竖直位置时(实际的横梁不可能旋转那么大的角度，我们仅仅是从理论上推理一下极限位置时，两边力臂比值的变化情况)，左边的力臂为0，右边力臂不为0，所以，k将变得无穷大。而由上式可知，只要横梁旋转的角度α≠0，k′均大于0，函数无驻点，所以，在横梁按逆时针方向旋转过程中，右边力臂与左边力臂的比值一直增大。

这就是说，如果托盘天平开始底板不调节水平的话，天平使用之前横梁调节至横梁指针指在分度盘的中间位置，在测量物体质量时通过增减砝码和移动游码的方法仍将横梁指针调至分度盘的中间位置，测量所得的结果肯定存在误差，而且误差会随着天平底板倾斜角度的增大而增加。

我们计算一下天平底板实际不水平而眼睛看不出它的倾斜状况下误差的大小。

通常情况下，当一个平面与水平面的夹角达到x=3°时即可看出该面是倾斜的(即肉眼可以看出该面不水平)，我们以天平底板与水平面夹角x=3°的情形为例，看当天平横梁在测量之前已经调节“水平”(即左右盘没放东西，横梁指针调至分度盘中间位置)的情况下，称量物体横梁也“水平”时，由于天平不等臂而引起的测量相对误差的大小。

由上面推理出的等式可知，当天平横梁由原来的水平位置逆时针方向转动x=3°时，右边力臂与左边力臂的比值k为：

由杠杆平衡条件可知，此时测量的相对误差只有大约千分之四——质量为50 g的物体因为底板没有严格调节水平(底板倾角3°时)而引起的测量误差大约0.2 g，基本可以忽略。所以，托盘天平使用之前底板水平的调节不需要非常严格，只需放在水平桌面(看似水平)即可。

再看底板倾角比较大的情形。不妨设底板倾角为x=20°(肯定是人为的，而且眼睛能够明显看出来底板的倾斜)。

由杠杆平衡条件知，这种情形下测量的相对误差约为3%，质量为50 g的物体因为底板的倾斜而引起的测量误差已达到1.5 g，显然，这种测量结果已经从误差而“演变”为错误了。

3 实验验证

笔者曾刻意的将托盘天平底板倾斜一定的角度进行了实验——如图6甲所示，水平桌面上在托盘天平底板下的左端垫上火柴盒，使底板呈左高右低的状况，将游码移至横梁标尺的0刻度线后，调节横梁两端的平衡螺母，使横梁指针指在分度盘的中央位置，显然，此时天平衡量是倾斜平衡的——既然已经平衡，那么，横梁重力的作用线一定过支点(即中间刀口)，在后续测量物体质量的过程中，只要横梁调节到与这同样状态的平衡(横梁指针指在分度盘的中央位置)，横梁重力一定不影响横梁的平衡。接下来将2个相同质量的物体(笔者用的是2个50 g的砝码)分别放在天平的左右两盘，发现横梁不在原来位置平衡，横梁指针偏向分度盘的左方，如图6乙所示。然后移动游码，当游码移至0.8 g刻度线右侧一点位置时，横梁指针指在分度盘的中央位置，如图6丙所示。显然，这种情形相当于不考虑横梁重力和游码重力，右盘有50.8 g的物体与左盘50 g的物体相平衡。之后，将托盘左右两盘中的物体质量各增加一倍，由50 g增为100 g，发现将游码右移至1.7 g位置时，横梁指针指在分度盘的中央位置，如图6丁所示。图6丙中游码对应的位置跟0.85 g非常接近，而1.7 g刚好为0.85 g的2倍——这一看似“巧合”的倍数关系正是对我们前面理论分析所得结论非常有力的实验佐证，这说明，托盘天平在图6甲、乙、丁几种状态下(即天平横梁以相同的角度倾斜时)，相当于中间的刀口(杠杆支点)，天平左右两盘对刀口压力的力矩比不是1(即此时的天平不是等臂杠杆)，而是近似为1 017∶1 000。

由此可见，对托盘天平而言，如果底板不水平对测量结果肯定有影响，只不过，如果底板倾斜的角度不大(比如只有1°～2°)，因底板不水平而引起的测量误差非常的小，可以忽略，所以，天平在使用之前进行调节时，底板水平的调节依然是不可或缺的一步，只是对这一步操作的要求托盘天平不像物理天平要求那么高而已(物理天平测量精度较高，其构造与托盘天平基本一样，也是中间刀口在两边刀口连线的上方，不同之处仅仅是物理天平的天平盘不是铰链于立柱底端的连杆上，而是悬挂于横梁两边的刀口上。若物理天平底板不严格调节水平，肯定会影响其测量精度的)。

4 对实验题目的剖析

回头我们再分析前面给出的这道中考实验题目的最后一个问题。应该说，这道选择题题目不存在科学性方面的问题，参考答案也无可厚非——ABC三选项错误，D选项正确。但是，网上有关资料对于AB两选项错误原因的解读不正确，不能说选项AB的错误是因为不论天平底板是否水平，测量的结果都是准确的，而应该解读为托盘天平底板的左端高时，测量数据偏大，天平底板的右端高时测量数据偏小。但题目只是告诉我们“放置天平的操作台面不水平”，并未指明是天平哪端较高，所以，根据题目给出的条件，我们既不能判断测量结果一定偏大，也无法判断测量结果一定偏小。因此，这才是AB两选项淘汰掉的原因。

虽然题目没有科学性问题，但是，托盘天平的内部结构初中学生并不了解(相信很多教师也未必了解)，天平内部构造的“细节”问题并非是要求学生必须掌握的内容，所以，笔者以为，出题人设计这样的实验题目去考初中学生是非常不合适的——因为学生根本不具备解释A、B两选项错误原因的能力。若像网上分析的那样，让学生根据相似三角形知识去分析得出天平底板不水平时横梁也是等臂杠杆的结论，从而将A、B两选项给淘汰，虽说也能歪打正着地选对选项，但这样做一方面是在“引导”学生犯科学性错误，同时还会给学生一个不应有的误导——认为天平底板水平的调节是天平使用中可有可无的一步操作。