环形阴极宏观场增强因子计算研究

黄种亮，徐启福，来定国，邱孟通

(1.清华大学 工程物理系，北京 100084；2.粒子技术与辐射成像教育部重点实验室，北京 100084；3.西北核技术研究院 强脉冲辐射环境模拟与效应国家重点实验室，陕西 西安 710024)

阴极是脉冲硬X射线负载、强流电子束二极管及高功率微波系统中的关键部件，常用的阴极结构有平面阴极、半球头阴极、针状阴极和环形阴极等[1-3]。大量研究表明提高阴极表面电场上升速率能减弱电子微发射点的屏蔽作用，有效提高阴极电子发射均匀性。宏观场增强型阴极可在加载功率源参数不变的情况下，提高阴极表面电场上升速率，改善电子发射情况[4-6]。环形阴极是一种典型的场增强型阴极，被广泛应用于高功率脉冲技术领域。在串级二极管和轫致辐射反射三极管中，环形阴极提供强流电子束用于打靶产生脉冲硬X射线辐射场，从而开展辐射效应的实验研究[7-8]。高功率微波系统中，使用环形阴极设计O型微波产生器件，实现较高的微波转换率[9-11]。因此，对环形阴极的宏观场增强因子开展计算研究具有重要意义。阴极宏观场增强因子不仅与阴极的形状有关，而且与负载整体尺寸和结构有关。文献[12-16]对平板阴极、半球头阴极和同轴筒状阴极的宏观场增强因子开展了一些研究，获得了针对特定结构参数的宏观场增强因子估算公式，对阴极的设计优化具有一定借鉴意义。本文针对环形阴极的宏观场增强因子进行理论计算研究。

1 细圆环的电势分布求解

假设空间中有一理想的均匀带电细圆环，其位于xOy平面上，圆心位于原点O，半径为r，线电荷密度为λ，计算圆环对空间中任意位置处的电势贡献。由于圆环的电势分布围绕z轴存在轴对称，所以只需考察xOz平面上任意点的电势分布，计算坐标系如图1所示。

定义无穷远处的电势为0，取细圆环上一无限小的微元rdθ，则该微元对空间中P(x,z)的电势贡献UP为：

(1)

其中，ε0为真空介电常数。

图1 均匀带电细圆环电势分布计算Fig.1 Electric potential computation of uniformly charged ring

根据电势叠加原理，细圆环对空间中任意点P(x,z)的电势贡献为所有微元的电势贡献总和。将式(1)在整个圆环上进行积分，求得圆环对P点的电势贡献为：

(2)

(3)

其中，K(m)为第一类椭圆积分。

2 环形阴极场分布求解

在环形阴极二极管中，加载到阴阳极间隙的电压为V0，假设阴极厚度近似为0，阴极内径为Ri，外径为Ro，电势为-V0，阳极近似无穷大，电势为0，阴阳极间隙为d。由镜像法可知，存在镜像阴极与原阴极关于阳极对称，其电势为V0，阴阳极间电势分布可通过求解两阴极间的电势分布获得。由于空间电势的轴对称分布，可将三维问题简化为xOz平面上的二维问题(图2)。

图2 二极管电场强度分布计算模型Fig.2 Computation model for electric field intensity distribution of diode

电子发射前，空间中任意位置的电势本质上由阴极表面的电荷分布决定，因此电势问题转化为求解阴极表面的电荷分布。将阴极均匀分为2N个细圆环，上下各N个。当N足够大时可认为每个细圆环上电荷均匀分布，第i个圆环的线电荷密度为λi，圆环半径为ri，圆环宽度中心位置的坐标为(xi,zi)。由式(3)可知，第i个圆环在空间任意位置P(x,z)的电势贡献UPi为：

(4)

UPi(x,z)=G(ri,z-zi,x)λi

(5)

由电势叠加原理可知，xOz平面内任一位置处的电势可由2N个细圆环在该处电势叠加求得：

(6)

设第i个圆环宽度中心位置的电势为Vi，由式(6)可得：

(7)

令Gi,j=G(ri,zi-zj,xi)，可得到2N个线性方程：

(8)

以下就特定算例进行计算，取Ri=0.055 m、Ro=0.06 m、d=0.05 m、V0=1 V、N=1 000，用Matlab编程求解式(8)获得阴极表面电荷密度分布(图3)，进而求出阴阳极间隙中电势和电场强度空间分布，如图4所示。由图3可知，阴极表面的电荷强烈集中在阴极环的两个棱边上，阴极环正中间位置处的电荷密度最小，最大电荷密度是最小电荷密度的16倍。由图4可知，阴阳极间隙中，阴极环内外棱边附近的等势线分布最为密集，对应棱边附近的电场最强，与阴极表面电荷密度分布情况相符合。

图3 电荷密度分布Fig.3 Distribution of charge density

图4 电势和电场强度分布Fig.4 Distribution of potential and electric field intensity

3 宏观场增强因子计算研究

定义平均宏观场增强因子βE为：

(9)

从式(9)可知，求解宏观场增强因子需已知阴极表面电场分布，因此采用理论模型计算出阴极表面电场分布，并将其与Ansoft软件模拟结果进行比较(图5)。从图5可知，理论模型计算结果与数值模拟结果符合得较好，且阴极表面电场分布强烈集中于阴极环的棱边，与图3、4所示分布规律相符。其中，最大电场是最小电场的7.2倍。

图5 环形阴极表面电场分布Fig.5 Electric field distribution of annulus cathode surface

改变环形阴极二极管的结构参数，计算出不同结构参数对应的宏观场增强因子，研究宏观场增强因子随结构参数的变化关系，结果如图6所示。由图6可知：1) 宏观场增强因子由阴阳极间隙与阴极环宽之比(d/w)所决定，与阴极半径无关，当阴极半径不同，但d/w相同时，则所对应的宏观场增强因子也相同；2) 宏观场增强因子βE与d/w呈线性正相关，其拟合公式可表示为：

(10)

图6 宏观场增强因子变化规律Fig.6 Change law of macroscopic field enhancement factor

选取5种结构参数的环形阴极二极管进行模拟计算，将拟合结果和模拟结果进行比较(表1)。比较结果表明，当d/w<5时，拟合公式能较准确地计算出环形阴极的宏观场增强因子，相对误差小于10%。

表1 宏观场增强因子的拟合结果和模拟结果比较Table 1 Comparison between fitting βE and simulation βE

4 结论

在均匀带电细圆环空间电势分布理论公式的基础上，建立了环形阴极二极管中电场强度分布的理论计算模型，研究了环形阴极宏观场增强因子随二极管结构参数的变化规律。计算结果表明，在d/w<5的情况下，环形阴极宏观场增强因子与d/w呈线性关系，并给出了宏观场增强因子的经验估算公式，与数值模拟结果的相对误差小于10%。该计算方法已应用于轫致辐射反射三极管的束流损失特性研究中[17]，后续可为其他类型负载的环形阴极结构参数设计优化提供借鉴和参考。