不同水平学生数学学业成绩表现及其影响因素——基于八年级学生大规模区域监测数据

付 钰 綦春霞

《义务教育数学课程标准 （2011 年版）》（以下简称《课标2011》）明确提出：“数学学业质量要以培养学生的数学素养水平为核心，帮助学生掌握基本的数学知识和技能，具备数学思维和数学意识，能够借助数学语言、符号与他人合乎逻辑地交流，探究一些基本的数学现象和问题，运用数学的知识和方法解决现实生活或他学科领域里的一些简单问题。 数学课程应面向全体学生，使人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。 ”[1]关注不同水平学生的数学学业成绩，发现影响不同水平学生数学学业成绩的因素之间的差异，可以帮助教师有针对性地开展教学。 数学学业质量是对学生数学学习情况的一个综合描述，也是检查数学教育质量的重要评价标准。

然而，当下的学生数学学业质量评价主要采用纸笔测试的形式，力图对学生数学知识技能的掌握情况、 数学能力的发展状况全面地展开检验，但对学生学习过程中情感、态度和价值观的发展，以及学习数学过程中的相关影响因素等关注较少。 为了分析究竟有哪些因素影响初中生的数学学业成绩，本研究依托中国基础教育质量监测平台，基于大规模标准化数学学业测试对不同水平学生的数学学业成绩表现及其影响因素进行探析，以期为改进一线教学提供合理建议。

一、研究设计

1.被试的基本信息

本研究以H 省Z 市与N 省P 市共86 所学校的25，969 名八年级学生为被试， 其中男性被试13，513 名，女性被试12，456 名。

2.研究工具

（1）八年级学生学业水平测试题

八年级学生学业水平测试题是依据 《课标（2011）》确定的，主要包括“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”3 个部分。试题内容的比例参照《课标（2011）》对数学各内容模块的要求及教学中的课时比例。 在内容领域中，“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”试题比例约为3∶2∶1。

在《课标（2011）》中，数学课程目标的结果目标使用“了解”“理解”“掌握”“运用”等行为动词表述。 《课标（2011）》对“掌握”的描述为“在理解的基础上，把对象用于新的情境”；对“运用”的描述为“综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题”。 “掌握”和“运用”这两种表现在测评中往往呈现出融合的形态，学生在新的情境中选择或创造适当的方法来解决问题的过程常常综合了两种行为， 故笔者将其表述为 “应用”。 本测试将八年级学生学业水平能力框架划分为“了解、理解、应用”3 个层次，其能力层次的内涵分别为：“了解”——从具体实例中知道或举例说明对象的数学特征， 能根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例加以说明；“理解”——可以描述对象的特征和由来，理解数学对象的不同表示方式，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系；“应用”——能够在理解的基础上进行推理和分析，综合使用已掌握的数学对象提出问题并解决问题，能够选择或创造适当的方法解决新的问题。 能力维度的比例安排主要考虑了8 年级学生的认知水平和《课标（2011）》对学生能力的要求，同时参考了国际同类测试的框架，故在认知领域中，“了解”“理解”“应用”的试题比例约为1∶3∶2。

八年级学生学业水平测试题主要包括选择题和解答题两种类型。 测试尤其关注学生的思维过程，特意加强了能体现学生思维过程的解答题比例，故设置12 道选择题、6 道解答题（每道解答题包含2～3 问）， 选择题与解答题分值比例约为1∶1。 数学学业测试题知识覆盖全面 （如表1 所示），既能够考查学生的认知水平、解题能力及数学语言的正确灵活运用情况，还能考查学生在求解过程中的观察、猜想、验证、推理等数学活动。最终依据数学学业成绩，采用心理学中高分组和低分组的划分标准，将学生分为3 个水平：高水平（前27%）、中等水平（中间46%）和低水平（后27%）。[2][3]

表1 八年级学生学业水平测试题的知识领域与知识维度

（2）学生学业成绩影响因素问卷

学生数学学习不仅取决于自身的认知结构，还与信念、兴趣、态度和焦虑等动机和情绪因素息息相关。 研究表明，兴趣通常被认为是学业成功的重要前提[4][5]，焦虑是最能影响数学学习的情绪之一。 数学焦虑是一种紧张和焦虑的感觉，会阻止人们在数学上处理数学问题，并在生活和学术不同阶段解决数学问题。[6]许多数学教育家认为，信仰、态度和情绪是与数学成就测验相关的个人的可识别特征， 可以影响学生的学习风格，并解释数学成就产生差异的原因， 故将数学兴趣、焦虑设置为问卷的分量表。 问题解决毅力指的是，学生在面临数学难题和既定任务等情境时韧性十足，这能帮助学生更好地选择学习技能和策略。[7]本研究以“当遇到数学问题时，我会很容易放弃”“我会尽量回避数学难题”“我会坚持完成数学任务， 直到完美为止”“遇到数学问题时，我完成的会比我预期的要多”4 道题，来探究学生面对数学问题、难题时的态度，以及对数学任务、问题完成情况的估计是否影响学生的数学学业成绩。 问题解决毅力分量表中共计两道反向题，需进行反向计分处理。 心理学家罗杰·谢泼德曾指出， 精神图象和空间可视化的非语言过程具有有效性。[8]可视化是影响数学直观化的主要因素，它通常用直观的知识来识别视觉表示。 一般来说，数学可视化是指养成解释图象的能力，能够产生图象来传达想法和概念。[9]可视化表征方式的问卷题项包括“当遇到求解一次函数解析式等类似问题时， 我会尝试通过绘制图象来分析问题”“当遇到诸如图形的折叠与展开等问题时，我会尝试通过图形的几何性质来解决问题”“当遇到多项式乘积问题时， 我会尝试构造几何图形的面积来解决问题”“当遇到不等式问题时，我会尝试通过数轴来探究其几何意义”，学生需要从“非常同意”到“不同意”等5 个选项中做出选择，以探究自身在解决问题时是否首先考虑用图象解决问题。

本研究从数学兴趣、数学焦虑、问题解决毅力、可视化表征方式4 个因素设计了4 个分量表（每个量表包含4 道题目）。 经过大规模标准化数学学业测试后，笔者对这16 个题项进行分析，结构效度为0.702，问卷结构良好。 该量表的Alpha信度系数为0.838， 说明量表的内在一致性信度较高。可见，学生学业成绩影响因素问卷的编制较为科学合理，可以作为测量八年级学生数学学业成绩及其影响因素的工具。

（3）测试程序

根据国际大规模的测评程序，项目组先后经历了组建专家队伍、制定测试方案、编制测试框架及细目表、命制试题及研讨、6 人访谈、30 人测试、300 人预测、外审等环节，多次对测评内容进行修订，确保了测试的科学性和规范性。[10]

3.数据处理及分析方法

通过描述统计，为了考查八年级不同水平学生数学学业成绩的表现，笔者使用单因素方差分析探究不同水平学生在认知领域、内容领域的表现。 为考查不同水平学生数学学业成绩及其影响因素之间的差异，笔者采用回归分析，综合考虑数学兴趣、数学焦虑、问题解决毅力、可视化表征方式对八年级不同水平学生数学学业成绩的影响。

二、研究结果与分析

1.八年级不同水平学生数学学业成绩的总体表现

本研究对八年级不同水平学生的数学学业成绩表现进行了描述统计，结果如表2 所示。

表2 八年级不同水平学生的数学学业成绩表现

由表2 可知，高水平学生的数学学业成绩标准差较大，说明高水平学生的数学学业成绩差异较大。 相比高水平学生，低水平学生、中等水平学生的数学学业成绩差异较小。 总体来看，学生的成绩基本呈正态分布。

2.八年级不同水平学生数学学业成绩在认知领域、内容领域的表现

（1）八年级不同水平学生数学学业成绩在认知领域的表现

本研究对八年级不同水平学生数学学业成绩在认知领域的表现进行了描述统计与单因素方差分析，结果如表3 所示。

表3 八年级不同水平学生数学学业成绩在认知领域的表现

单因素方差分析结果表明：八年级不同水平学生数学学业成绩在 “了解”（F=40071.052，p＜0.01）、“理解”（F=15759.475，p＜0.01）、“应用”（F=22161.677，p＜0.01） 认知领域上的表现存在显著差异。 结果表明：就认知领域而言，高水平学生在“了解”和“理解”领域表现较好，在“应用”领域存在一些不足；中等水平、低水平学生在“了解”和“理解”领域存在一些不足，在“应用”认知领域表现不佳，说明“应用”层次的试题对所有学生而言均有一定的难度。 这是因为，“应用”层次的试题要求学生能够在“理解”的基础上推理和分析，故对学生的要求明显高于“了解”和“理解”层次的要求。

（2）八年级不同水平学生数学学业成绩在内容领域的表现

本研究对八年级不同水平学生数学学业成绩在内容领域的表现进行了描述统计与单因素方差分析，结果如表4 所示。

表4 八年级不同水平学生数学学业成绩在内容领域的表现

单因素方差分析结果表明：八年级不同水平学生数学学业成绩在“数与代数”（F=37951.518，p＜0.01）、“图形与几何”（F=22408.013，p＜0.01）、“统计与概率”（F=11657.716，p＜0.01） 内容领域上的表现存在显著差异。 结果表明：高水平学生在“数与代数”领域表现较好，而低水平学生在该领域未达到及格水平，可见“数与代数”领域的试题区分度较高，这可能是由于低水平学生从具有问题情境的试题中提炼数学信息，将问题数学化的能力较弱；不同水平学生在“图形与几何”领域的表现差异较大，高水平学生的差异尤其明显，这是因为“图形与几何”中很多问题比较复杂抽象，可能造成学生在理解和作答上的障碍。

八年级学生学业水平测试题设计了丰富的情境，能够让学生经历问题解决的全过程。 但在日常的学习与考试中，许多学生习惯了固定的知识传授与习题训练模式，未能很好地联系生活实际去发现问题、提出问题、解决问题，以至于一些低水平学生在非常规问题情境下，较难识别问题中的数学本质，于是在数学思考与问题解决上表现不佳。

3.八年级不同水平学生数学学业成绩及其影响因素的表现

本研究对八年级不同水平学生数学学业成绩及其影响因素的表现进行了描述统计、相关分析与回归分析，结果如表5、表6 所示。

表5 不同水平学生数学学业成绩及影响因素的表现

相关分析表明， 对于八年级不同水平学生，上述4 个因素与其数学学业成绩的相关均达到显著性水平 （p＜0.01）。 单因素方差分析结果表明：八年级不同水平学生数学学业成绩在数学兴趣（F=1493.789，p＜0.01）、数学焦虑（F=1946.021，p＜0.01）、问题解决毅力（F=269.567，p＜0.01）、可视化表征方式（F=671.002，p＜0.01）上的表现存在显著差异。 其中，中等水平学生在数学焦虑上的表现差异较大，低水平学生在数学兴趣、问题解决毅力、 可视化表征方式因素上的表现差异较大。 此外，高水平学生在数学学业成绩各影响因素的表现没有较大的差异。

为综合考虑数学兴趣、数学焦虑、问题解决毅力、可视化表征方式对不同水平八年级学生数学学业成绩的影响，笔者进行了回归分析，结果如表6 所示。

从表6 可知，对于八年级不同水平学生数学学业成绩的影响因素模型，容差和VIF 值均在可接受范围，4 个预测因子适合作为独立预测因子。标准化β 系数表明，上述4 个因素对不同水平学生数学学业成绩的影响程度并不完全一致。 其中，对于高水平学生而言，4 个因素的回归系数均达到显著，且数学焦虑最高，数学兴趣、问题解决毅力的影响次之，可视化表征方式的影响相对较小。 对于中等水平学生而言，3 个因素（除了问题解决毅力）的回归系数均达显著，且数学焦虑的影响最大，数学兴趣次之，可视化表征方式的影响相对较小。 对于低水平学生而言，2 个因素（除了数学焦虑、问题解决毅力）的回归系数均达显著，且数学兴趣的影响最大，可视化表征方式次之。

表6 不同水平学生数学学业成绩及其影响因素的回归差异

可以看出，数学兴趣和可视化表征方式对不同水平学生的数学学业成绩均有较大的影响。 可视化表征方式是获取数学直观性知识的重要来源，它会加速学生知识理解和直观认知的进程。[11]数学焦虑对中等水平、高水平学生的数学学业成绩影响较大，问题解决毅力对高水平学生的数学学业成绩有显著影响。 可见，中等以上水平的学生在面对数学课、数学作业、数学问题时焦虑感最高，常表现为紧张、无助，数学焦虑尤其会对学生在基本数学运算（如计数和简单加法）上的表现产生负面影响，而这些运算是更复杂数学概念的基础[12][13]，如果焦虑处理不及时，会导致学生在标准化数学考试中表现不佳[14]，进而对自己的数学能力产生消极信念。

三、启示与建议

1.基于认知与内容领域的差异，分层改进教学

研究发现，八年级不同水平学生在数学认知和内容领域的表现是有差异的，为了实现“关注学生的个体差异，有效地实施分层教学，使每个学生都得到充分的发展”[1]的培养目标，数学教育应该依据学生能力分层教学。 针对中等水平、低水平学生，应巩固“双基”，提高他们的应用能力和问题解决能力；对于高水平学生，应该对教学内容进行适当的拓展，丰富学生的思维方式。 对于“数与代数”的教学，尤其要注意不同水平学生容易出现的错误及障碍，并及时纠正，以减少不同水平学生之间的差异，如分式教学中，教师应不断强化低水平学生理解分式的意义，掌握分式运算法则，明晰算理。 关于“图形与几何”的教学，要有效地发展学生的合情推理与演绎推理能力，让学生感受数学的思想方法，体验数学学习的乐趣，逐步积累经验，发展空间观念、几何直观、逻辑推理等数学素养。 例如，对全等三角形的教学，教师应帮助低水平学生不断巩固SSS、SAS、ASA、AAS、HL 五种判定三角形全等的方法； 引导中等水平学生应用五种判定方法在简单几何图形中进行证明；拓宽高水平学生的思路，如了解这五种判定方法之所以成立的本质是因为给定的条件可以唯一作图，理解SSA 判定方法不可行的本质原因是作图不唯一，基于此，学生在理解数学本质的同时，可以站在更高的角度深化自己对数学问题的认识。

2.重视培养学生的问题解决毅力，鼓励学生使用可视化表征方式

调查发现，大部分高水平学生在面对数学难题时能够勇敢面对，但还是有一些学生对于自己是否能够完美地完成数学任务存在一定的疑惑，对于数学问题的完成效果也没有明确的估量。 从元认知的角度看，决定自己能否坚持下去解决问题的核心是人们是否足够了解任务，或者内在信念是否稳定。 这提示教师应重视培养学生的问题解决毅力， 鼓励学生在面对有挑战的难题时，不要采取回避、放弃等消极态度，可采用小组互助、同伴互助等方式解决问题。

此外，教师应该为学生提供教学范例，可以采用可视化的表征方式，帮助学生对自己应完成的数学任务形成清楚的认识。[15]可视化的表征方式不仅有助于学生构建直观的视觉图象，也是他们学习复杂心理模型的重要组成部分。 教师在讲解不同内容领域的知识时，应该关注“数”和“形”的合理转化。[16]如在平方差与完全平方公式的教学中，可以设置几何图形情境引入，借助图形向学生进行直观、形象的讲解，鼓励学生使用可视化的表征方式，用不同的面积表示“平方”的概念，让他们在图形或图表的视觉感知下自然地进行逻辑和理性思考，学会从几何的角度思考代数问题，经历由抽象到形象、再由形象到抽象的思维过程，以加深他们对几何和空间的理解。[16]

3.努力提高学生的数学学习兴趣，降低数学焦虑对学生数学学习的负面影响

研究表明，数学兴趣对不同水平学生的数学学业成绩均有较大的影响，而数学焦虑对中等水平、高水平学生的数学学业成绩影响较大。 为了提升学生的数学兴趣，教师可以设置难度递增的探究性问题，让学生经历存疑、释疑、顿悟的过程，透过设问对学生进行适当点拨，激发学生探索的热情，切勿出现难题怪题，挫伤学生的积极性。

同时，可尝试引入开放性试题，让学生自主合作，享受知识的自主和乐趣，丰富学生解决问题的方法。 例如，在学“相似三角形”时，教师可以通过类比全等三角形，让学生猜测全等三角形和相似三角形的共同之处，引导学生验证、推理，通过设置问题，学生自主解答，在学习过程中带着疑问，有目的地学习，从而激发学习兴趣。 特别值得关注的是，教师与家长应当留意学生的日常表现，避免让学生长期处于数学焦虑的状态，帮助学生客观地评价自我， 对学生的进步给予鼓励，让学生处于积极的学习环境，帮助他们正确地认识数学的价值和数学学习的意义。