重庆市房价的预测研究

(西安财经学院 陕西 西安 710100)

一、引言

房地产市场不仅是国民经济的一个构成部分，也对社会经济有着重要作用。作为衡量区域经济发展状况的房价，是我们每个公民都十分关注的问题。随着经济的发展，快速发展的房地产产业使得房价也快速上涨。探寻房价波动的影响因素，分析其走向，准确地预测房价，对提出有利于房地产市场健康、稳定发展的政策建议至关重要。

重庆作为一个有二十多年发展历程的农业直辖市，2019年常住人口3124.32万人，比上年增加22.53万人，其中城镇人口2086.99万人，占常住人口比重为66.8%，比上年提高1.3个百分点。在其特有的人文、地理、经济和社会环境等特点的影响下，城镇化率不断上升，全市人口在涨幅方面已经低于城镇化人口，住房问题成了一个急需解决的问题。住宅价格自认而然的就成了人民最为关注的问题。因此，对重庆市住宅价格进行预测并构建适合重庆市住宅价格的预测模型，就很有实用价值。文章通过构建出两种较为典型的住宅价格预测模型，并从实证的角度对所构建的模型进行分析比对，最终选出相对最优、对重庆市地方政府及时把控房价走势，关注民生，保障住宅市场健康发展有意的模型作为重庆市住宅价格的预测模型。

二、重庆房价的影响因素分析

地理位置。作为我国东、中、西三大经济带的中西经济板块结合部的重庆，起着承东启西，左右传递的桥梁作用，是人文、地理、交通、信息、经济等交流的中转站，是沿海经济向内陆腹地延伸的一个辗转点，亦是我国经济发展向西进行战略转移的一个支撑点。重庆处在这样特殊的位置中，土地资源的广阔、大量资金的涌入、交通的便捷不仅带领经济蓬勃发展，也给重庆房地产业的发展带来了优势。

人口因素。2019年，重庆常住人口3124.32万人，比上年增加22.53万人。人口的增长导致更多的住房需求，房地产的供需平衡受到影响，由供求理论知房价会随之变动。随着社会的发展，逐渐向小型化发展的家庭结构，导致房地产刚性需求增加，房价上涨成了必然。

经济发展情况。投资环境的优劣、购房者的消费预期等由经济发展状况的好坏决定，因此房地产市场平衡状态会被经济形势带来的变化打破，从而导致房价发生波动。随着居民收入、消费、储蓄水平的提高，购房的需求也会随之增加，进而促进房地产价格投资增长，出现供求失衡，导致房价发生变化。

政府对重庆房价的调控政策。考虑到房地产市场的长短期特点，政府相继推出土地储备制度、地票制度、保障房制度、房产税制度，以求控制房地产市场宏观层面的供求关系，希望可以成功控制房价。

三、理论介绍

(一)主成分分析法

1933年霍特林首次提出主成分分析，是一种基于统计特征的多维正交线性变换的统计技术，主要是提取信息特征和对数据进行降维。利用降维的思想，在保留原始变量尽可能多的信息的前提下把多个指标转化为少数几个综合指标。这些综合指标就是主成分，它们互不相关且均为原始指标的线性组合。

1.主成分的求法

设X=(X1,X2,…,XP)T是一个p维随机变量，假设其存在二阶矩，把其均值向量和协方差阵分别记为：E(X)=u,D(X)=∑，∑是非负定的。

为了求第一主成分，构造目标函数如下：

对目标函数求导得到：

∑T1-λT1=(∑-λI)T1=0

(3.1)

(3.2)

由于X的协方差阵∑是非负定的，假设(3.1)式的根为λi，i=1,2,…,p，且λ1≥λ2≥…≥λp≥0，由(3.2)式得Y1的方差为λ，则Y1的最大方差为λ1，单位化特征向量为T1。

对目标函数求导得到：

(3.3)

(3.4)

(∑-λI)Tk=0

(3.5)

(3.6)

因为X的协方差阵∑是非负定的，假设(3.5)式的根为λi，i=1,2,…,p，且λ1≥λ2≥…≥λp≥0，由(3.6)式得Yk的方差为λ，则Yk的最大方差为λk，单位化特征向量为Tk。

2.主成分的计算步骤

(1)原始数据标准化；(2)求变量相关系数矩阵；(3)求主成分特征值及方差页献度；(4)选择主成分；(5)计算主成分得分。

(二)趋势外推法

趋势外推法首先由R.赖恩提出，用于科技预测。它是根据预测变量的历史时间序列揭示出的变动趋势推测未来值的一种预测方法。当预测对象的发展规律呈渐进式而非跳跃式变化的同时，有一个能够反应预测对象走向的函数时，经常使用趋势外推法。其基本理论是：过去事物发展的决定因素在大概率上对该事物未来发展起决定作用，变化甚微；事物发展过程中变化规律一般都是渐进式而非跳跃式的，以这种规律为指导，便可预测出它未来的趋势和状态。线性模型、指数曲线、生长曲线等简单模型在实际研究中被采用的最多。

趋势外推法的步骤：1.选择预测参数；2.拟合曲线；3.趋势外推；4.预测说明；5.分析预测结果的实际作用。

(三)GM(1,1)模型的构建

GM(1,1)预测模型是灰色预测中使用最多的适合等距时序数列预测模型。灰色系统理论是基于小样本信息，将不确定性系统当做研究对象，在已知信息上进行开发生成，以此获得有价值的信息，然后对不确定性系统运行规律进行认识和描述，最终据此进行科学预测的理论。房地产价格系统是典型的灰色系统。下面对GM(1,1)的构建进行分步描述。假定原始数据为X(0)={X(0)(1),X(0)(2),…,X(0)(n)}。

第一步，检验原始序列的非负性。序列中若存在负数，则进行数据处理：X′(())(k)=X(0)(k)+|min{X(0)(k)}|,k=1,2,…,n

形成新的数据序列{X′(0)}。

第二步，对原始序列或是经过非负化处理的新序列进行一次累加生成，假定原始序列非负，直接对{X(0)}进行累加生成由此得到生成序列{X(1)}：X(1)={X(1)(1),X(1)(2),…,X(1)(n)}

其中，X(1)(1)=X(0)(1):X(1)(k)=X(1)(k-1)+X(0)(k),k=1,2,…,n

第四步，构造矩阵B和常数项向量Y并计算出BTY、BTB、(BTB)-1。

第七步，令X(1)(0)=X(0)(1)，构建GM(1,1)预测模型：

1.GM(1,1)模型的检验

A.残差检验

然后观察其相对误差限的大小。

B.关联度检验

其中，ρ称为分辨率，取值范围0<ρ<1，通常取ρ=0.5。由上式可以计算出灰色系统各个等距时间点的关联系数，从而得到关联系数序列{η}，记为：

η={η(1),η(2),…,η(k)},(k=1,2,…,n)

根据经验，当ρ=0.5时，若r>0.6，则通过检验。

C.后验差分析

检验标准如下：

表1 GM(1,1)预测模型精度检验等级对照表

等级设定说明:原始数据和预测数据的离散型分别用S1和S2描述。因系统的发展过程是一个灰色信息逐渐白化的过程。因此对于离散型，原始数据应该大于预测数据，即S1理应大于S2。并且S2越小，说明灰色系统白化越充分，从而时间响应函数曲线与真实时序曲线拟合效果越好。由此得，C越小预测模型精度越高。

四、重庆市普通商品房住宅价格的实证预测分析

(一)数据的选取

综合考虑重庆市普通商品房住宅价格的影响因素后，选取普通商品房住宅平均销售价格X0(元/平方米)作为被解释变量，将全市常住人口数X1(万人)、居民人均可支配收入X2(元)、居民家庭人均消费支出X3(元)、房地产开发投资占固定资产投资额的比重X4(%)、全市住宅竣工面积占施工面积的比重X5、商品房住宅销售面积X6(万平方米)、人均住户储蓄存款余额X7(元)、人均GDPX8(元)这8个指标作为解释变量。数据来源于重庆统计年鉴和统计公报，被解释变量和解释变量相关数据见表2。

表2 2007～2019年重庆市普通商品住宅均价及其主要影响因素指标量化表

(二)数据处理

利用SPSS软件对数据中X1～X8这8个指标进行相关性分析、计算变量共同度、提取主成分分析，由结果可知，原始变量指标之间的相关系数的绝对值大部分都大于0.5，大多数大于0.3，说明对原始数据进行主成分分析有很好的降维效果，原始数据变量指标通过共线性检验；提取公共因子后，除了指标5以外，其余各变量的共同度均大于0.8，表明提取的公因子对每个变量的解释程度都较高，可认为原始变量的信息得以较大程度的保存。因此，对原始变量的因子分析效果显著，主成分分析法适用；通过特征值和累计贡献率来确定主成分个数，我们这样定义原则：特征值大于1和累计贡献率大于85%。依照原则，我们确定在8个变量提取2个主成分即可。另外再通过碎石图也可看出，从第4个主成分后，折线才趋于平缓，因此，选取2个主成分作为公共因子是合理的。

接着用SPSS软件得到成份矩阵，并将成份矩阵标准化，得出主成分系数，进而得到两个主成分y1，y2的线性组合：

用SPSS对回归模型进行参数检验，由结果可知，回归方程通过了拟合优度检验和显著性检验，在T检验中，Z2对应的估计参数的Sig=0.957>0.05,则说明Z2对因变量X0无显著性影响，因此剔除Z2。

综上所述,Z1很好的综合了各个変量的信息(除X4,X5外)，其余的变量因子能承载最大原始变量的信息，即变量X1、X2、X3、X6、X7、X8对重庆房价的影响起决定性作用。

(三)基于主成分分析的趋势外推预测模型的实证分析

1.构建重庆市普通商品房住宅均价回归模型

根据主成分分析数据结果，构造Z1与X0的一元线性回归模型，利用SPSS进行线性回归，结果表明，调整后的拟合系数R2=0.853，大于0.8、F检验中Sig=0.000b<0.05、T检验中常数和Z1所对应的Sig均小于0.05，说明回归模型通过了参数检验，说明构建重庆市普通商品房住宅价格回归模型拟合成功，得到回归方程为：

X0=4984.557+696.705Z1

(4.1)

2.构建趋势外推模型

将t作为时间因子,构建前面留下的主成分Z1与时间因子t的简单计量模型，从而进行趋势外推预测分析。构建时间序：

{T=}={t2007=1,t2008=2,…,t2017=11,t2018=12,t2019=13,t2020=14,t2021=15}

利用SPSS软件构建以Z1为因变量，t为自变量的回归拟合模型,分析结果表示调整后的R2=0.994、F检验Sig=0.000、T检验Sig=0.000，回归拟合模型通过了拟合优度检验、T检验、F检验，说明该回归模型的效果是不错的，得到估计的回归方程：

Z1=-4.497+0.642t

(4.2)

由(4.2)式得到2007—2021年Z1的模拟值，见表3

表3 Z1的模拟值

3.重庆市普通商品房住宅价格的预测

将表3中Z1的模拟值代入重庆市普通商品房住宅价格回归方程(4.1)式中，得到X0从2007—2021年的预测值，见表4

表4 X0的预测值

(四)基于GM(1,1)模型的实证分析

1.模型的计算

将表1中X0的原始数据代入GM(1,1)模型的R语言程序中进行运行，由运行结果可知，GM(1,1)参数估计值为：发展灰数a=-0.07253466内生控制灰数u=2902.686

将a,u代入GM(1,1)预测模型中：

X0的模拟值：{2588.21，2903.47，3191.35，3507.78，3855.59，4237.88，4658.07，5119.93，5627.59，6185.58,6798.89，7473.02，8213.99，9028.42，9923.61}

2.模型检验

综上所述，可以将GM(1,1)模型用于对重庆市普通商品房住宅均价的预测。

(五)预测结果的比较分析

对重庆市普通商品房均价的预测研究，我们将基于主成分分析的趋势外推预测得出的预测结果与基于GM(1,1)模型预测得出的结果进行对比分析。分别画出趋势外推预测得出的预测值、GM(1,1)模型得出的预测值与商品房实际均价实际值的折线图，见图1，图2。

上图中，横坐标为年份，1-2007年，…，15-2021年，由图可知，2014年以前，趋势外推预测出的值与真实值更贴近。但整体上，GM(1,1)模型预测的值与真实值一直较为贴近，GM模型又有短期预测精度高的特点，若应用于预测未来的房价，更倾向于GM(1,1)模型的预测。

五、结论与建议

从上述结果可知，因原始数据的分布、经济的发展以及趋势外推模型构建中时间因子的不严谨,导致趋势外推模型的模拟结果与实际值在后期存在较大偏差。相对而言，GM(1,1)模型不需要样本数据的分布服从典型的分布规律，且仅需少量数据就可进行数值模拟预测，预测值与真实值偏差较小，模型的数值模拟计算既可以利用R软件编写代码进行数值模拟，也可使用excel进行计算，有简单实用，操作简单和短期预测精度高的特点。所以GM(1,1)模型可以作为重庆市普通商品住宅价格预测研究的参考模型。