善用旧知，迁移新知，沟通关系，内化技能

曾庆欣

六年级上学期数学教学的重头戏就是分数乘除法的解决问题。分数除法的解决问题历来是教师教学中的难点，更是学生学习中的难点。由于理解困难，学生往往靠记忆题型来解决问题，又或者有部分教师，在教学伊始就直接告知学生：“求比较量，用乘法;求单位‘1，用除法”的方法。这就失去了这种题型教学培养学生解决实际问题能力的作用。

本学期，我第一次执教六年级，毫无教学经验可言。而我又承担了执教《已知一个数的几分之几是多少，求这个数》这一内容的研究课教学任务。当时接到这节课任务的时候，我就开始犯难：究竟这节课的教学重难点是什么？如何去定位？查看网上的一些资料，这节课的课题按以前来说，应该叫“简单的分数除法应用题”。那是否只要学生判断出单位“1”已知，用乘法算;单位“1”未知，用除法算？又或者直接告诉学生，用“具体量÷对应的分率=单位“1””這个公式，让学生运用公式去解决问题就可以了呢？而至于为什么求“单位1”就可以用除法算？估计大部分学生是说不出原因的。可是，我翻看了一下教科书和教学用书，都只是呈现了列方程的方法，而一点都没有提到可以用除法计算。难道，我的教学里面，也只能呈现这种方法吗？

第一次试教的时候，我把分析关键句、找“单位1”作为重点，然后再通过例题的分析数量关系与旧知进行比较，从而掌握解决“已知一个数的几分之几是多少求这个数”的实际问题的方法。

【教学设计1】

一、谈话激趣，复习铺垫

1.下列各题中，应该把哪个量看做单位“1”？并找出题中的数量关系。

（1）爸爸的体重的■是小军的体重。

爸爸的体重×■=小军的体重

（2）故事书的本数占图书总数的■。

图书总数×■=故事书的本数

■■

2.师生交流

例题信息：根据测定，成人体内的水分约占体重的■，儿童体内的水分约占体重的■。

3.复习旧知

师：老师知道我们班的***体重就是35千克，你们能帮他算出他体内水分的质量吗？请同学们分析好数量关系，并列式解答。

（学生独立解答后汇报）

师：你是怎样算的？为什么用乘法算？你们在解决“小明体内水分质量”的时候，是把谁看做“单位1”？

电脑显示：儿童体内的水分约占体重的■

？kg 单位“1”

生回答后出示：儿童的体重×■=儿童体内水分的重量

35×■=28（千克）

其实，我们还可以通过线段图表示人体内水分与体重之间的关系。

■

▲儿童体内的水分约占体重的■ 【交互式】

？kg 单位“1”35

■■

▲儿童的体重×■=儿童体内水分的重量

师：奇怪了，你们为什么不乘“■”呢？

小结：是的，我们必须根据问题选择相关的信息去解决问题，特别在解决分数应用题的时候，一定要找准“单位1”。而我们在解决有关分数问题的时候，一般有三种方法：第一，借助有分率的句子找出单位“1”和所求数量，然后得出此题的数量关系;第二，可以借助线段图清楚表达单位“1”和所求数量之间的关系;有了这两种方法为基础，我们搭建解题的数量关系式就轻而易举了。

4.揭示课题（略）

二、引导探究，解决问题

1.课件出示例题

根据测定，成人体内的水分约占体重的■，儿童体内的水分约占体重的■。小明体内有28kg水分。小明重多少千克？

2.合作探究

（1）独立思考，理清关系。

师：请选择一种喜欢的分析数量关系的方法，先分析好数量关系，会画线段图的，也可以画上线段图帮助自己理解，再列式计算。

■

3.学生汇报（展示学生作品，板书）

师：因为除法是乘法的逆运算，所以，根据乘除法之间的关系，我们除了可以用方程解决以外，还可以直接用除法来计算。

4.回顾与反思

（1）如何检验结果是否合理？

（2）题目里面还有“成人体内的水分约占体重的■”这一信息，有用上吗？为什么？

小结：有时候题目中出现的信息比较多，但并不是所有信息都是解决问题所需要的，我们要善于通过思考和分析，根据问题筛选出有用的信息来解决问题。

（3）方法对比。（同时出示两个线段图）

①和前面复习题进行比较一下，看看这题和复习题有什么相同的地方？

②这题和复习题有什么不相同的地方？

强调：解决分数乘除法，关键是分析分率句。【PPT强调】

三、看书质疑（P37）

四、联系实际，巩固提高（略）

……

一节课下来以后，从复习、新知再到对比反思，用时已经超过25分钟，比较的费时。而且，在教学的过程中，教师强调了分析数量关系，列了乘法的数量关系式，但又允许学生既可以用列方程的方法，也可以用除法去解决问题。学生例题似乎很懂，但在练习环节，感觉学生就无所适从。学生在做练习的时候，不知该用乘法还是用除法：有人写了乘法关系式，可是又很想用除法算，因为除法书写简便，能俘虏孩子们的心，最终把乘法数量关系式擦走，硬写了个毫无意义的除法关系式，甚至有些孩子直接列了乘法算式……感觉就是孩子原来心里好像挺清楚明白的东西，最终，变得很混乱很模糊，所以这节课的教学效果……费时而凌乱，极其低效。

究竟怎样修改才会更合理呢？该怎么处理好乘和除的关系，不会让学生有纠结的感觉呢？“具体量÷对应的分率=单位‘1”这一公式，这节课是否需要告诉学生呢？根据学生的心理认知特点，要让学生要知其然也要知其所以然，有了充分认识才能内化为自己所掌握的技能。

因此，我对教学设计重新进行定位，“善用旧知”，以旧有的分析数量关系方法分析数量关系;“迁移新知”，在原有分数乘法的知识基础上写出数量关系式;“沟通关系”，在得出数量关系式的基础上，用列方程解决“单位1”不知道的问题，并以列方程教学为主;“内化技能”，在列方程已经掌握相对熟练和有充分感知的情况下，再根据乘除法之间的关系，渗透“已知一个数的几分之几是多少，求这个数可以用除法来计算”。

经过反复的思考和修改，最终确定第二份教学设计。

【教学设计2】

一、复习旧知，回顾方法

1.激趣引入

由“水润”一词引入人体内的水分占体重的几分之几的话题

PPT出示：

①根据测定，成人体内的水分约占体重的■;

②儿童体内的水分约占体重的■。

2.复习分数乘法应用问题的分析方法与数量关系

（1）解决“多余信息”。（例4的其中一个知识点前移）

師：如果知道小明的体重是35千克，你们能帮他算出他体内水分的质量吗？

是不是这两个信息都用上呢？为什么？

小结：是的，我们在解决问题的时候，要根据问题选择相关有用的信息。

整理信息与问题，板书：

小明的体重是35千克，儿童体内的水分约占体重的■。小明体内的水分重多少千克？

（2）复习分析数量关系的方法。

学生分析关键句，画线段图，写数量关系式并列式解答。

强调：根据分数乘法的意义写出数量关系式和列式。

板书：分数乘法的意义：求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。

二、学习新知，迁移方法

1.调整复习题的条件与问题，引出例4，揭示课题。

2.解决问题

（1）复习解决问题的步骤。

（2）阅读与理解

你知道了什么？与刚才的复习题比较，什么变了？什么没变？

（3）分析与解答

关键句没有改变，意味着什么？（解题的思路与分析数量关系的方法应该也不变，线段图等不需要重新画）条件和问题改变了，那在原来的基础上怎么改一改就行呢？请大家想一想，说一说。

（学生到黑板上修改）

关键句：儿童体内的水分约占体重的■

？ 35

（28）  （？）

关系式：小明的体重×■=小明体内水分的质量

35   ？

？     28

师：体重不知道，怎么办？可以怎样解决呢？

学生尝试列式计算。

汇报提问：为什么列方程？用除法计算，你根据的是什么？（要紧扣数量关系式）

（4）回顾与反思

师：回顾与反思环节需要我们做些什么？

PPT出示：检查审题与解题方法是否正确。

检验计算结果是否合理、正确。

回顾解题过程，总结解题的思路与方法。

▲学生检验计算结果

▲回顾解题过程，通过对比总结解题的思路与方法。

①这一道题是怎样从复习题变过来的呢？它整一个解题的思路与步骤跟复习题相比较，有什么相同的地方？

小结：解决问题仍然是用我们已经熟悉的方法来分析数量关系，仍然是根据分数乘法的意义列出乘法的数量关系式进行解答。

②为什么复习题列乘法算式，而这一题却列方程或除法呢？

3.看书质疑

三、巩固练习，运用方法

师：既然列方程的方法是顺着来思考的，那么我们先巩固列方程的方法，好吗？

1.练习八第1题

我国幅员辽阔，东西相距5200km，东西距离是南北的■。南北相距多少千米？

强调：根据乘法的意义列出等量关系式。若有学生用除法列式，要强调依据的也是乘法的等量关系式。

2.练习八第4题：求图书馆共有多少本书？

强调：应根据问题选择相关有用的信息去解决问题。

3.按要求选择合适的条件与问题。

乘法计算：

女生人数占全校总人数的■

列方程：①女生 240人，②全校有640人，

③女生有多少人？ ④全校有多少人？

全校人数×■=女生人数

640   ？

？    240（下转第6版）

（上接第5版）

【设计意图：强调学生要紧扣关键句，得出数量关系式。当全校人数知道，求女生人数时，用乘法计算;当女生人数已知，求全校人数的时候，就列方程来解决了。】

4.选一选。

（    ）                           （    ）

①420×■ ②解：设总长为x米。 ①180÷■

■x=180

【设计意图：既复习了依据“总长×■=已修的长度”这个数量关系式得出列方程解决的方法;同时结合线段图比较直观地引出：具体量÷对应的分率=单位“1”的量这种较简单的解决问题方法】

5.填空：（    ）的■是60。

你是怎样算的？为什么用除法来计算呢？（结合关系式“（    ）×■=60”）

也就是说，已知“一个数”的几分之几是多少，求原来这个数，可以直接用除法来计算。

6.PPT出示

今天我们学习的例题与做的这几道练习，都是已知一个数的几分之几是多少，求这个数，都可以用列乘法方程或列除法算式的方法来解决，依据都是分数乘法的意义。

四、总结反思，强调方法

“善用旧知、迁移新知、沟通关系、内化技能。”学生在分数乘法这一旧知的基础上，通过数量关系，先理解并掌握了用方程解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”这一问题的方法，再通过一系列的对应及变式练习，能让学生在充分的认识和理解以后，感受到，除法是乘法的逆运算，在解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”这一类型的问题时，还可以用“具体量÷对应的分率=单位‘1”这一较简单方法来解决。数学教学强调教会学生善于选取优化方法去解决问题，相信学生们也更乐于选择此方法去解决问题。在“知其然也知其所以然”的基础上掌握了一种更优化的方法，何乐而不为呢？