智轨电车横向运动预测控制研究

严永俊，王金湘 ，胡云卿，袁希文，吴梦阳，黄瑞鹏，王 斌

（1.东南大学 机械工程学院，江苏 南京 211189；2.中车株洲电力机车研究所有限公司，湖南 株洲 412001）

0 引言

智轨电车是为解决我国城市拥堵问题而创新研制的一种快速、灵活的全新交通制式[1]，它采用橡胶轮胎，通过对数字虚拟轨道的跟踪实现在城市道路的行驶[2]，大大缓解了城市交通建设中前期投入大、建造周期长的难题。建立一个符合实际的车辆动力学模型并对其运动学特性进行研究，这是智轨电车无人驾驶研究中至关重要的一环，也是本文的研究重点。智轨电车的三节耦合模型之前并没有先例，本文的建模主要参考了铰接式客车和拖车模型。范佳宁等[3]为了研究多轴轮边驱动铰接电动客车的操纵稳定性，建立了铰接客车的整车动力学控制模型。刘畅等[4]以铰接式客车为研究对象，以提高其在转向时的稳定性为目标，建立了车辆动力学模型。张思奇等[5]利用拖车系统5 自由度线性模型，采用估计轴侧向力是否饱和的方法来判断拖车系统是否转向不足或转向过度，进而判断系统的失稳形式。文献[6-8]建立了线性单轨模型，以分析拖车系统参数变化对系统稳定性的影响规律。

智轨电车无人驾驶研究中最主要的内容是对既定数字虚拟轨道的跟踪，下面对无人驾驶车辆的不同跟踪控制器进行比较。线性二次型调节器[9]较易被设计，即使是在高速的情况下，其也可以提供精确的轨迹跟踪效果，但只有当某些假设（例如，在优化视野中，主体车辆的速度保持恒定）成立时才会被实现。在文献[9]中也提出了神经网络和基于模糊逻辑的方法，并展示了类似于线性二次型控制器的跟踪性能。然而，在缺乏正式的稳定性证明和异常处理的情况下，这些方法不能用于实际工程实现[10-11]。还有一些先进的基于数学模型的控制方法，如模型预测控制（model predictive control,MPC），也被用于车辆轨迹跟踪[12-15]。非线性MPC 能够提供精度较高的跟踪性能，但是由于实时优化的计算需求太大而很难实现。为了减少计算量，研究人员使用线性车辆模型，但这种控制器仅适用于车辆和轮胎行驶的线性区域。Carvalho A 等[12]提出了一种基于非线性模型迭代线性化的MPC 框架，以扩大线性MPC 控制器的工作范围。基于此，本文采用线性时变MPC 方法进行控制器设计。

变道操纵会引起铰接车摇摆，造成较大的路径偏离和侧滑，是造成铰接车侧移不稳事故的主要原因之一[16]，因此常被用于研究控制器对车辆横向性能的影响。Krishna R 等提出了一种线性二次型调节方法，其以最小化横向加速度来代替铰接车的偏移；所提出的调节器使用来自所有车辆状态的反馈，并控制第一节车和第二节车的前轴[17]。Sogol K 等提出了一种基于转向的长组合车辆横向性能控制器，其通过控制后几节车的转向轴以调节驾驶员在第一节车上的转向和后几节车产生轮胎侧向力之间的时间跨度，从而降低后车的甩尾和路径偏离[16]。变道操纵也是智轨电车变换行驶方向时一个必不可少的驾驶行为，本文针对该典型工况进行智轨电车横向运动特性的分析。

本文主要是通过分析智轨电车的横向运动特性，将每节车辆的横摆角速度、横向加速度以及受力联系起来，建立3 节车辆之间的运动学和动力学关系，提出一种能够很好反映智轨电车横向动力学特性的4 自由度线性单轨模型，所建立的模型相对于传统的列车分节建模方式耦合度更高；然后采用常用的后退时域MPC 方法进行智轨电车轨迹跟踪控制研究，将滚动时域优化问题转化为线性二次型问题进行求解。

1 智轨电车横向模型建立

智轨电车的运行类似蛇行运动，其运动控制可以分为纵向加减速控制和横向转向控制两个方面[18]。本文主要针对智轨电车的横向运动控制进行研究。

1.1 智轨电车横向动力学模型

为了分析智轨电车的横向运动特性，本文提出了一种简单的线性单轨模型，如图1 所示，图中下标中1,2,3分别代表3 节车序号，f 代表前轮，r 代表后轮，h 代表铰接处。该模型中车轮转向行为被认为是线性的，车轮转向角δw和前轮侧偏角αf是小角度（不超过10°），车辆每个轴的转向刚度可以线性化为常数；同时，假设每节车的车速是一致的，即vx,1=vx,2=vx,3=vx。在小角度(sinx≈x, cosx≈1)的条件下，三节车模型可以被认为是一个4 自由度模型。

图1 智轨电车单轨模型Fig.1 Single track model of autonomous-rail rapid tram

结合牛顿定律可得到每节车的动力学方程。第一节车的动力学方程为

第一节车前、后车轴的侧向力可以表示为

第二节车的动力学方程为

第二节车前、后车轴的侧向力可以表示为

第三节车的动力学方程为

第三节车前、后车轴的侧向力可以表示为

式中：m1,m2,m3——3 节车辆的质量；Iz,1,Iz,2,Iz,3——3 节车的转动惯量；αf,αr——每节车前后轴的侧偏角；Cαf,Cαr——每节车的前后轴侧偏刚度；Fyf,Fyr——每节车前后轴受到的侧向力；Fyhf,Fyhr——每节车厢在铰链处的横向受力；ψ1,ψ2,ψ3——每节车的横摆角；——每节车的横摆角速度；——每节车的横摆角加速度；vx——每节车的纵向速度；αy——每节车的横向加速度；lf,lr,lh——每节车前轴到质心的距离、后轴到质心的距离以及铰接点到车轴的距离。

为建立3 节车辆之间的运动学和动力学关系，考虑到铰接处的耦合，将每节车的横摆角速度、横向加速度以及受力联系起来可得式（13）～式（15），其中vyh,1和vyh,2表示铰接点处的横向速度，θh1和θh2表示铰接角。

根据铰接处的受力关系，我们认为传到后一节车的横向力相比于前一节车会有一定的损耗，那么铰接处的横向力表示为

结合式（1）～式（17），可得状态空间方程形式的智轨电车线性系统

该方程可以被转化为

1.2 智轨电车横向动力学模型的仿真验证

为了确保所建立的智轨电车单轨模型的有效性，我们通过一个稳态回转仿真实验，将所建Matlab模型与Trucksim 中的高精度非线性全车模型进行对比[18]，Trucksim 中建立的智轨电车单轨模型如图2 所示。

图2 Trucksim 中建立的智轨电车模型Fig.2 Autonomous-rail rapid tram model built in Trucksim

进行稳态回转实验时，将两个模型的第一节列车前轮转角均设为0.2 rad，后面几个轴的转角设置为0，速度设置为8 m/s。选取第一节车的质心、前轴中心点、后轴中心点以及第二节车的后轴中心点和第三节车的后轴中心点来描述列车的行驶轨迹，图3～图6 示出智轨电车在进行稳态回转时的整车行驶轨迹。为了简化描述，对图3～图6 中的图标进行了简写，其中第一个字母f(first) 代表第一节车，s(second) 代表第二节车，t(third)代表第三节车；第二个字母里面的c(center) 代表中心，f(front) 代表前轴，r(rear) 代表后轴。

图3 Trucksim 模型的稳态回转轨迹Fig.3 Steady state circular trajectory of Trucksim model

图4 Matlab 模型的稳态回转轨迹Fig.4 Steady state circular trajectory of Matlab model

图5 Trucksim 模型横向加速度随时间变化Fig.5 Lateral acceleration change with time for Trucksim model

图6 Matlab 模型横向加速度随时间变化Fig.6 Lateral acceleration change with time for Matlab model

从仿真结果可以看出，Trucksim 中的高精度非线性模型的准确度更高，轨迹更加平滑；同时，两个模型的轨迹大体一致，轨迹圆的半径大体相同；从图5～图6可以看出，两个模型稳定后的横向加速度也一样。因此，可以确定Matlab 中的智轨电车模型是有效的，在算法中可被用来代替Trucksim 中的模型。

2 基于模型预测控制方法的轨迹跟踪控制器设计

建立智轨电车动力学模型之后，下面基于线性时变模型预测控制方法进行智轨电车轨迹跟踪控制器的设计。

2.1 模型预测

连续的状态方程不能被直接应用于控制器的设计，需要先将系统的状态方程离散化。系统的状态量和输出变量可以表示为

式中：Ak,t=I+TA(t)；Bk,t=TB(t)；T——仿真时间步长。

根据模型预测控制的基本原理，以最新的测量值，即上一时刻系统的返回值为初始条件，基于式（19）智轨电车模型来预测系统未来的动态。为了使得系统的输出与参考输出误差最小，通过Matlab 内置的线性二次型求解器求解目标函数，得出增量控制序列，使得目标函数最小。为方便计算，设置预测时域Np与控制时域Nc相等。考虑到上述的线性离散模型，为了求出增量控制序列，定义

可得到系统的控制量增量方程：

则Np步预测时域的输出矩阵可以表示为

2.2 轨迹跟踪目标函数及控制器设计

为了让列车更加贴近目标路径，智轨电车的轨迹跟踪控制目标是让3 节车的中点都贴近目标路径，所设计的目标函数为

式中：η——3节车中点的横向位置，包含y1,y2,y3；ζ——3 节车中点的航向角，包含ψ1,ψ2,ψ3；Δu——控制器效果；Q，P，R——权重系数矩阵。

目标函数中η和ζ代表着列车的跟随效果。

考虑到列车运行过程中的执行器约束，轨迹跟踪控制器设计如下：

控制器通过后退时域的方式算出预测时域最优增量控制序列：

选取最优控制增量序列中的第一个元素，其再加上前一时刻的控制量后作为控制器的输出：

控制器的输出会作为式（19）智轨电车模型的输入，智轨电车模型输出的状态又会作为下一时刻控制器的输入。重复上述过程，直到仿真结束。

3 仿真分析

本节使用单移线轨迹跟踪仿真实验来验证所设计的模型预测控制器，即式（27）的有效性，采用文献[19-20]中提出的多项式轨迹来拟合出适合智轨电车的单移线数字轨道。

式中：Ydes——纵向速度不变时轨迹随时间变化的横向位置，0 ≤Ydes≤dl，其中dl是一个车道的宽度；Xe——换道距离，Xe≤vx×6；t1=t-2。

智轨电车参数如表1 所示。

表1 智轨电车参数Tab.1 Parameters of the autonomous-rail rapid tram

智轨电车采用随动转向的方式，第一轴为被控制量，后面几轴以一定的比例跟随第一轴转动，控制变量为

图7 示出了智轨电车进行单移线轨迹跟踪的效果。其利用第一节车前轴中点、质心、后轴中点，第二节车后轴中点以及第三节车的后轴中点来描述列车的整体轨迹，仿真时车速设置为8 m/s。

图7 单移线跟踪效果Fig.7 Single line tracking effect

从图7 可以看出，主要控制的第一节车质心与数字轨道的偏差很小，第二、三节车与数字轨道的偏差主要在于提前转向产生的横向位置偏移，列车的整体跟踪效果与数字轨道很贴合。这表明本文所提算法能够有效实现智轨电车行驶轨迹跟踪。

图8 给出了智轨电车铰接处两个顶角的变化，可以看出，角度变化满足之前的小角度假设。

图8 铰接处顶角随位移的变化Fig.8 Change of the hitch angle with displacement

4 结语

本文通过分析智轨电车的横向运动特性，将每节车的横摆角速度、横向加速度以及受力联系起来，根据车辆铰接处的受力和运动学关系，提出一种能够很好反映智轨电车横向动力学特性的4 自由度线性单轨模型；采用MPC 方法进行智轨电车轨迹跟踪控制研究，将滚动时域优化问题转化为线性二次型问题进行求解，所设计的控制器能够让第一节车厢达到很好的轨迹跟踪效果。但是，目前的轨迹跟踪是用随动方式，后面两节车厢有时有轻微的甩动现象。为此，我们将深入研究后几轴转向角与第一轴的关系，设计转换算法，以期达到更好的整车跟踪效果，提高列车的横向稳定性。