二阶线性自抗扰控制系统的内部稳定性

金辉宇，朱子毅， 兰维瑶

（厦门大学 航空航天学院，福建 厦门 361102）

0 引言

韩京清研究员提出的自抗扰控制（active disturbance rejection control， ADRC）[1-3]是中国学者对控制科学的原创性贡献，其继承了钱学森“内扰（internal disturbance） ”的观点，将对象数学模型和对象本身之间的差异看作内扰，与外扰(external disturbance)相对应，同时内扰和外扰又共同组成总扰动（total disturbance）。 ADRC 建立扩张状态观测器（extended state observer， ESO） 以实时估计总扰动，再用反馈加以补偿。ADRC 这种统一处理内、外扰的方法，使其在克服对象不确定性和扰动抑制方面具有独特的优势，不仅通用性好、不依赖模型、参数整定方便，而且易于获得优异的稳态和暂态性能。因此，21 世纪以来，ADRC被成功应用于机电系统、飞行控制及化工过程控制等领域[4-6]，受到控制界工程师们的欢迎。

总扰动这一概念向理论研究提出一系列新课题，其中之一是总扰动和稳定性之间的关系。目前的研究常假设总扰动有界[7-9]，但从稳定性理论的角度来看，这一假设的合理性和必要性都值得商榷。总扰动有界是指内扰和外扰均有界。假设内扰有界不合理，因为内扰可能会破坏控制系统的稳定性，失去稳定性后内扰自身会发散，而假设内扰有界就排除了发散的可能，导致稳定性证明接近循环论证；但假设外扰有界很多时候又不必要，因为对于线性时不变（linear time-invariant， LTI）系统这样的典型情况，外扰不会影响稳定性。从总扰动有界这样的假设出发，很难得到简洁有力的稳定性结论，不利于解释ADRC 在工程实践中的通用性和鲁棒性，从而影响ADRC 的进一步推广应用，因此有必要进一步研究总扰动和稳定性的关系。

既然内扰和外扰对稳定性的影响存在较大差别，那么不妨对其分别进行研究。本文基于这一思路研究了线性自抗扰控制（linear ADRC，LADRC）[10]的稳定性。针对二阶LADRC 控制二阶LTI 对象且外扰为加性这一简单而典型的情况，首先选用内部稳定性作为稳定性的定义，内部稳定性被广泛应用于鲁棒控制[11-12]，是加强的有界输入有界输出（bounded-input-bounded-output，BIBO）稳定性，且在一定条件下等价于李雅普诺夫指数稳定；然后，在时域找到了LADRC 系统内部稳定的一个充要条件，该条件与对象的不确定参数有关、与外扰无关，也不限制内扰的大小，于是LADRC 的稳定性既不需要内扰有界，也不需要外扰有界。

1 二阶LADRC 的问题描述

LADRC 的问题设定有多种形式，本文主要考虑基本而典型的二阶LADRC。设有线性二阶单输入单输出(single-input-single -output， SISO)对象为

式中：u——对象的输入；y——对象的输出；w——对象的外扰；a1,a2——系数，其值未知；b——正的输入增益，其值未知，但是有标称值b0＞0。

二阶LADRC 的问题是设计反馈控制器，使得y跟踪参考输入信号r。用标称值b0代替真值b，并定义总扰动为；然后，引入状态变量x1=y，x2=和扩张状态x3=f，则式（1）可被改写为

再为式（2）和式（3）建立线性扩张状态观测器(linear extended state observer， LESO)：

式中：β1,β2,β3——待定系数。

最后，以LESO 的输出构成控制器，其中系数l1和l2待定：

这样，被控对象、LESO和控制器，见式（2）～式（5），就组成了一个LADRC 系统。

2 内部稳定性及其充要条件

其中：

于是，由式（2）～式（5） 组成的LADRC 系统是一个两输入一输出的LTI 系统，其输入分别为r和w，输出为y。下面分析该系统的稳定性。考虑到稳定性有多种定义，本文选择内部稳定性作为稳定性的主要定义，这一定义被广泛应用于鲁棒控制中[11-12]。

定义1如果一个系统其组成部分都不含有不稳定的隐模态，并且在由系统任何地方加入的有界外部信号的作用下，在系统任何地方量测到的输出均为有界，则称该系统是内部稳定的[11]。

引理1 和引理2 给出了内部稳定的充要条件。

引理1考虑线性动态系统，见式（6），其中z∈Rn，v∈Rm， 而A, B分别是（n×n）和（n×m）的常矩阵，则系统内部稳定的充要条件是其所有的极点都在开左半平面。

证明：见文献[11]中定理4.3 ，内部稳定性与有界输入有界输出（bounded-input-bounded-output， BIBO）稳定性、李雅普诺夫稳定性等概念存在密切的联系。

定义2如果对任意一个有界输入，其对应的输出均为有界，则称该系统是BIBO 稳定的[13]。

由定义2 可知，内部稳定性是加强的BIBO 稳定性。对于LTI 系统，内部稳定等价于无输入时平衡点的李雅普诺夫指数稳定。下面对此进行讨论。

考虑式（6）所示系统，当v=0 时， 其退化为

此时其有平衡点z=0。

定义3如果存在C≥1 和λ＞0， 使得对于式（7）的任意一个解z(t)都有|z(t)|＜C|z(0)|e-λt，则称系统是李雅普诺夫指数稳定的。

引理2对于式（6）所示线性动态系统，其内部稳定当且仅当其无输入系统的李雅普诺夫指数稳定。

证明：由文献[14]中定理4.5 可知，对无输入系统，即式（7），李雅普诺夫指数稳定的充要条件是矩阵A的特征值都在开左半平面，而矩阵A的特征值也就是式（6）所示系统的极点。于是由引理1 和引理2 得证。

现在我们给出本文的主定理。

定理1由式（2）～式（5）组成的LADRC 系统，其内部稳定性与参数a1,a2和b有关，而与外扰w无关。

证明：由引理1 可知，上述LADRC 系统内部稳定的充要条件是式（7）定义的矩阵A的所有特征值都在开左半平面；而矩阵A与参数a1,a2,b有关，与外扰w无关，于是得证。

定理1 澄清了二阶LADRC 系统稳定性与总扰动之间的关系，相比文献[7-9]把“总扰动有界”作为LADRC 系统稳定的假设条件，有以下改进：

（1）如前所述，假设“总扰动有界”存在不合理和不必要的问题，而定理1 解决了这个问题；

（2）定理1 适用于不能保证总扰动有界的情况，提升了理论的解释和指导能力；

（3）定理1 指出，只要保证式（7）中矩阵A的特征值都在开左半平面，就能保证二阶LADRC 系统稳定，这比保证总扰动有界更容易，尤其是在系统初始状态未知的情况下。第3 节的算例将说明这一点。

3 数值算例

考虑不稳定二阶对象：

设有b0=1，将式（8）改写为状态空间形式：

基于式（9）～式（10）， 分别按照式（4）和式（5）构建LESO 和控制器，并用“带宽法”[10]调参，得到l1=2，l2=1；β1=45，β2=675，β3=3 375。

整个LADRC 系统如式（6）所示，其中

矩阵A有5 个特征值，分别为p1=-0.79，p2=-14.29，p3=-21.54，p4=-3.69+1.73j；p5=-3.69-1.73j，其均在左半平面。于是由引理1 可知，LADRC 系统是稳定的。由定理1 可知，系统的稳定性与外扰无关。

考虑外扰和内扰，式（6）的解为

故对外扰w的要求是：能和参考输入r一起保证式（11）对任意都有意义。进一步分析可知，只要w的拉普拉斯变换存在，就能满足上述要求，而w及其各阶导数都不必有界。取，其中n1和T是待定的两个常数。显然，w的拉氏变换存在，而只要取足够大的n1，就能构造出w，使得w和其导数都大于任一给定值。

另一方面，令Cin=[2, 3, -0.2, -0.4, -0.2]，则LADRC系统的内扰为

于是有|din(0)|=|Cinz(0)+0.2r|≥2|x1(0)|-0.2|r|=2|y(0)|-0.2|r|。因此，只要y(0)足够大，则初始时刻的内扰可以大于任何给定的界。可见，y(0)未知时，无法保证内扰和总扰动有界。

现在用Matlab 进行数值求解。令z(0)=[5, 0, 0, 0, 0],T=10，n1=50，参考输入r是单位阶跃信号。定义LESO的误差为，其中i=1, 2, 3。求解结果如图1 和图2所示。可以看出，LADRC 系统确实稳定，能克服初始误差，准确估计x1,x2,x3；而LADRC 系统能克服外扰w的跃动，保证x1无差跟踪r。

图1 LADRC 的控制效果Fig.1 Control effect of LADRC

图2 LESO 的误差Fig.2 Errors of LESO

4 结语

本文针对二阶LTI 对象和加性外扰的情况，研究了二阶LADRC 系统的内部稳定性问题。理论推导和数值算例结果都表明，上述LADRC 系统的稳定性与对象的参数有关，而与内扰、外扰是否有界无关。于是，可以删去目前常见的“总扰动有界”这一假设， 扩大LADRC 稳定性理论的适用范围。将式（7）中矩阵A替换为高阶LADRC 的对应矩阵后，上述结果可以推广到更高阶的LADRC 系统。

致谢：

感谢黄一研究员，她在长沙“2019 自抗扰控制交流会”上指出，“总扰动有界”不适合作为自抗扰控制系统稳定性的假设条件，这直接启发了本文的构思与写作。