四足机器人柔性脊柱的设计及分析

雷成林，谭跃刚，黄林考，陶红武

(武汉理工大学 机电工程学院，湖北 武汉 430070)

四足机器人在非结构环境下的高适应性和灵活运动特性，使其在某些特殊场合具有重要的应用和研究意义，如地震或火灾救援、野外军事支持、户内家庭服务和教育娱乐等，四足机器人也因此成为机器人研究领域的热点[1-3]。当前，四足机器人的研究多数围绕机体为刚性的四足机器人展开，研究内容主要集中于腿部结构仿生和四足之间的步态生成与协调控制研究上。而在实际的四足哺乳动物中，柔性脊柱关节对于四足哺乳动物实现高速、灵活而稳定的运动具有重大意义。

大阪工业大学的Takuma等研制了一款腿部只有髋关节的被动脊柱型四足机器人[4]，通过脊柱末端的绞盘牵拉钢丝可实现脊柱刚度的调节，从而研究不同脊柱刚度对机器人运动速度的影响，实验表明合理的脊柱刚度可以提高四足机器人运动的能量效率。日本东京大学JSK实验室研制了一款带有主动脊柱的四足机器人SQ43[5]，通过机器人后腿电机牵拉穿过脊柱中间的钢丝，实现脊柱“腹向弯曲(脊柱向下弯曲)-回复”的驱动。实验表明柔性脊柱的引入使得四足机器人在不规则地面运动时更稳定。2012年波士顿动力公司和MIT均对刚性脊柱的四足机器人进行改进，研制了带有主动脊柱关节的四足机器人Cheetah，主动脊柱关节的引入，提高了四足的摆动速度和幅度，使整个机器人运动速度最高可达45 km/h，这是目前世界上运动速度最快的四足机器人[6]。Zhao等人提出了由脊柱驱动的四足机器人Kitty[7-8]，该机器人的弹性腿无驱动源，由脊柱的主动弯曲运动实现机器人转弯和奔跑，实验结果表明柔性脊柱增加了机器人脊柱自由度，增大腿部的运动范围，同时脊柱的主动运动可提高四足机器人运动的鲁棒性和灵活性。

主动柔性关节脊柱对于四足机器人运动性能的提高具有重要意义，可以提高其稳定性和运动速度，但目前对于四足机器人主动柔性关节脊柱的研究还相对较少，因此有必要对四足机器人主动柔性关节脊柱进行研究分析。

1 柔性脊柱设计

脊柱机构的结构性能优劣直接影响到能否将脊柱机构引入到四足机器人中并有效提高脊柱型四足机器人的运动性能。笔者从仿生的角度出发，分析四足哺乳动物脊柱的生理结构特性以及关节驱动特性，以此为依据对柔性脊柱机构的结构设计展开研究。

1.1 四足哺乳动物脊柱及关节柔性机理

以四足哺乳动物宠物狗为仿生对象，对其结构进行分析可知，生物狗的脊柱是通过脊柱关节单元串联而成，脊椎之间通过韧带弹性连接。四足哺乳动物关节驱动并非刚性，肌肉-肌腱组织的弹性特性使得生物关节具有良好的柔性特性，能实现对外界冲击的缓冲与柔顺，同时能在反复的关节运动中实现能量的存储与释放，提高能量利用效率。

四足机器人在运动过程中，整个脊柱的运动并不是围绕脊柱上的某一点或某个关节做弯曲运动，而是多个脊柱关节同时进行不同程度运动，这种多关节运动形式使整个脊柱运动更加灵活。由于相邻脊柱关节具有相近的运动形态，故可以将仿生柔性脊柱机构大致设定为多段结构。理论上仿生柔性脊柱机构的关节数量应与四足哺乳动物的脊柱一致，关节数越多，自由度就越多，脊柱的运动更灵活。但关节越多，整个脊柱机构将更加复杂，体积、质量更大，同时会造成冗余，增加控制成本以及控制复杂性。结合四足机器人整体结构尺寸和质量要求，综合考虑控制成本以及复杂性，采用双关节、三段式的柔性脊柱机构整体结构方案，如图1所示，即为带有双关节串联柔性脊柱的四足机器人模型。

图1 双脊柱关节型四足机器人示意图

1.2 柔性关节脊柱结构设计

基于以上分析，笔者选用旋转型串联弹性驱动器(series elastic actuator，以下简称SEA)作为脊柱关节的驱动方案。该脊柱关节主要由输入轴、传动弹簧组、扫臂、输出盘和连接板等模块构成，如图2所示。

图2 柔性脊柱关节结构

双关节串联柔性脊柱机构的整体结构模型如图3所示。电机通过传动机构同步带带动脊柱输入轴和与输入轴相连接的扫臂机构，使扫臂对传动弹簧进行压缩或拉伸(一组传动弹簧中，其中一个弹簧受拉，则另外一个受压)，通过弹簧的弹性回复力对输出圆盘驱动，从而实现从电机到负载的弹性驱动过程。

图3 串联柔性脊柱机构结构模型

1.3 柔性脊柱关节的等效刚度计算

等效刚度是影响柔性脊柱驱动控制性能的重要参数之一，下面将分析脊柱等效刚度与单个弹簧刚度系数、构型参数的关系。

输出盘固定，输入弹簧安装架旋转θs角度时，一组弹簧受力模型如图4所示。其中KA为弹簧刚度；R为扫臂长度；F1、F2为弹簧1和弹簧2对扫臂的力；FS1、FS2为F1和F2在垂直扫臂方向上的分力。

图4 弹簧和扫臂受力图

不考虑弹簧半径rs，一组弹簧产生的力矩为：

T=FRcosθs=2KAR2sinθscosθs

(1)

考虑弹簧半径时，一组弹簧产生的力矩为：

(2)

则三组弹簧产生的合力矩为：

(3)

根据刚度定义公式，可得脊柱关节的等效刚度Ks为：

(4)

由于弹簧转动的角度较少，而且弹簧半径相对于扫臂长度也较小，则其等效刚度可以近似为：

Ks≈6KAR2

(5)

柔性关节等效刚度KS与单个弹簧刚度KA近似成正比，且弹簧轴线到旋转中心距离R越大，等效刚度系数越大。

2 脊柱关节动力学特性分析

2.1 柔性脊柱关节动力学建模

采用力源法对脊柱关节进行动力学建模分析，即将电机输出看作是理想力源输出。脊柱关节动力学模型如图5所示。Tm为关节输入力矩(即电机输出转矩);Jm为输入端转动惯量；Dm为输入端阻尼系数；Tl为关节输出力矩(-Tl为外界对脊柱关节的力矩)；Jl为输出端转动惯量；Dl为输出端阻尼系数；θm为输入端位移(电机角位移)；θl为输出端位移；θs为偏转角度；Ks为脊柱关节等效刚度。

图5 柔性脊柱关节动力学模型

对于输入端，其力矩平衡方程为：

Tm=Jmθ″m+Dmθ′m+Ts

(6)

对于输出端，其力矩平衡方程为：

-Tl=Jlθ″l+Dlθ′l-Ts

(7)

式中：Ts为弹簧的弹性回复力矩，依据胡克定律有：

Ts=Ksθs=Ks(θs-θl)

(8)

将输出力矩进行反馈，并对系统采用PID控制，则柔性脊柱关节的闭环系统方框图如图6所示。其中，由于θl=0，由式(7)和式(8)知Tl=Ts=Ksθs，即通过测量脊柱关节传动弹簧的偏转角度，并根据脊柱关节等效刚度来求取输出力矩，实现输出力矩反馈。

图6 闭环系统方框图

Te(s)为系统输入与输出之间的误差，其频域表达式如下：

Te(s)=Tm(s)-Tl(s)

(9)

C(s)为PID控制器，其频域表达式如下：

(10)

联立式(9)和式(10)可得式(11)：

(11)

根据图6并结合式(9)～式(11)可得闭环系统的开环传递函数表达式为：

(12)

则系统的闭环传递函数为：

(13)

式中：B0=KsKi；B1=Ks+KsKp；B2=Dm+KsKd；B3=Jm；A0=KsKi；A1=KsKp；A2=KsKd。Kp、Ki、Kd分别为PID控制器的比例系数、积分系数和微分系数。

2.2 脊柱关节等效刚度对动力学系统特性影响

脊柱关节等效刚度Ks是脊柱关节动力学系统的重要特性参数，直接影响系统动力学特性，下面从频域分析等效刚度对动力学系统特性的影响。

初步取PID参数Kp=15，Ki=50，Kd=0.1。为分析等效刚度对动力学特性的影响，等效刚度Ks分别取20 N·m/rad,40 N·m/rad,60 N·m/rad。

(1)开环频域特性。依据式(12)即闭环系统的开环传递函数，通过Matlab绘制闭环系统的开环Nyquist图和Bode图，分析不同Ks时系统稳定性，如图7和图8所示。

图7 闭环系统的开环Nyquist图

图8 闭环系统的开环Bode图

由图7可知，开环Nyquist曲线不包围(-1，j0)点，即在[s]平面右半平面无极点，故闭环系统稳定。同时由图8所示的Bode图可看出，系统具有较好的相位裕度。从幅频特性曲线变化趋势可看出，系统幅频特性曲线随Ks的增大而右移，即系统的相位裕度随Ks的增大而增大。

(2)闭环频域特性。根据式(13)即系统的闭环传递函数对系统闭环频域特性进行分析。通过Matlab建模分析，求出系统特征根和谐振峰值、谐振频率和带宽，结果如表1和表2所示。同时绘制闭环系统Nyquist图和Bode图，如图9和图10所示。

表1 不同Ks时闭环系统特征根

表2 不同Ks时系统谐振峰值、谐振频率和带宽

图9 闭环系统的闭环Nyquist图

由表1闭环系统特征根表可知，不同Ks情况下，闭环系统的特征根均具有负实部，即闭环系统稳定，这一结论与前文通过闭环系统的开环Nyquist和Bode图判断闭环系统稳定性所得的结论一致。

从图10的Ks相频特性曲线和幅频特性曲线的变化关系可知，相频特性曲线和幅频特性曲线随Ks的增大而右移，系统带宽随Ks增大而增大。从表2也可看出，随着等效刚度Ks的增大，谐振峰值变小，谐振频率和系统带宽增大，即系统的平稳性好，超调量减小。

2.3 输出阻抗特性分析

输出阻抗是衡量脊柱关节的柔顺特性和力矩控制性能的重要指标，输出阻抗越低，脊柱关节对外力矩的柔顺特性越好，输出力矩控制精度越高[9]。根据输出阻抗定义，脊柱关节输入端固定(即电机转子固定，θm=0)、输出端自由时，输出端在外力矩-Tl作用下，外力矩与输出端位移之比即为输出阻抗[10]。根据式(6)～式(8)可得输出阻抗Z为：

(14)

通过Matlab分析Ks对输出阻抗的影响，由图11可知，低频时系统阻抗主要受Ks影响，即系统在低频状态下的阻抗可认为与Ks等效，Ks越大，输出阻抗越大，输出力矩控制精度越低，关节柔顺特性越差。从系统频域特性分析结果可知Ks越大，系统响应速度和带宽越大，然而Ks过大，脊柱关节驱动则失去了弹性驱动的意义，关节柔顺特性变差，力矩控制精度变低，因此在确定脊柱关节等效刚度时要综合考虑系统的响应特性和柔顺特性。基于此分析，初步选取脊柱关节等效为40 N·m/rad。

图11 不同Ks下脊柱关节输出阻抗特性

3 柔性脊柱关节运动实验研究

从实验角度来进行柔性脊柱关节的响应速度、跟踪特性、稳定性等分析，采用的控制方法主要是开环控制。搭建控制实验平台，如图12所示，主要进行阶跃力矩控制实验、斜坡力矩控制实验和正弦力矩控制实验。

图12 柔性脊柱机构控制实验平台

3.1 阶跃力矩控制实验

设定脊柱关节输入信号为幅值5 N·m的阶跃信号力矩(即期望输出)，记录内部传动弹簧的偏转角度，根据上述方法可得系统在输入信号为幅值5 N·m时的输出力矩响应，如图13为阶跃力矩响应曲线。由图13可知，关节输出力矩具有较好的稳定性，稳态误差小，无明显超调，但上升时间较长，响应速度较慢。

图13 阶跃力矩响应曲线

3.2 斜坡力矩控制实验

设定输入为y=2×t(t=0～2 s)的斜坡力矩信号，将脊柱关节输出端固定，通过角度传感器测量脊柱关节内部传动弹簧的偏转角度。对角度传感器信号滤波处理，并根据脊柱关节等效刚度求取输出力矩实际值。关节斜坡力矩输出响应曲线如图14所示。

图14 斜坡力矩响应曲线

由图14可知，脊柱关节系统的实际输出力矩无法精确跟踪输入力矩(期望输出力矩)，输出与输入之间存在一定的跟踪误差，但在输出响应曲线在整体变化趋势上能够跟踪输入。输出响应曲线大致上随时间增大而呈现阶梯状上升，这是由于在实验过程中，对关节输出端进行机械固定，关节输入端在电机作用下转动，使内部传动弹簧发生偏转，通过角度传感器测量传动弹簧的偏转角度，最终依据脊柱关节等效刚度来求输出力矩。等效刚度的值随传动弹簧偏转角度的变化呈非线性变化，但实际控制实验过程中选用固定等效刚度来求输出力矩，这对控制效果造成一定影响。同时结构加工和安装误差也会对实验结果造成一定影响。

3.3 正弦力矩控制实验

为进一步分析脊柱关节力矩控制特性，设定脊柱关节输入力矩为频率1 Hz，幅值为6 N·m的正弦信号。实验过程与上述实验相同，即固定输出端，关节输入端在电机作用下转动，使内部传动弹簧发生偏转，通过角度传感器测量传动弹簧的偏转角度，并依据脊柱关节等效刚度和偏转角度求取脊柱关节在该输入下的输出力矩响应。如图15所示，脊柱关节实际输出力矩在峰值时存在一定的波动，主要原因是在力矩最大处，脊柱关节的旋转方向发生改变，换向过程的抖动和传感器的噪声信号都对输出力矩的控制和检测造成一定影响。但从整体来看，脊柱关节输出力矩能较好跟踪输入力矩，无明显幅值误差和相位误差。

图15 正弦力矩响应曲线

4 结论

基于脊柱型四足机器人对柔性脊柱功能与性能的要求，从仿生角度出发，研究了双关节串联形式的脊柱机构，将串联弹性驱动引入脊柱关节驱动，研究脊柱关节的动力学特性和力矩控制方法。进行了仿真分析和实验研究，仿真分析验证了该控制方法稳定可靠，实验验证了结构的合理性、控制方法的可行性及控制系统的稳定性和有效性。