习题教学：应让数学思维向更深处漫溯

程宏明

[摘  要] 习题教学是培养学生数学思维的有效路径，教学中，应让学生的数学思维向更深处漫溯. 文章结合教学实践，从审题、解题、思题三个方面探析聚焦思维发展的习题教学策略，以使学生的思维逐步走向深入，具有处理关键问题的能力.

[关键词] 习题教学;数学思维

习题教学是培养学生数学思维的有效路径，应让数学思维向更深处漫溯. 学生的思维深度与教师的教学效果密切相关，学生思维深度的指标包括：（1）学生对问题的分析解决能力;（2）学生对新情境的快速反应能力;（3）学生对新旧知识进行联系的能力;（4）学生多角度审视问题的能力;（5）学生触类旁通、由一知三的能力;（6）学生总结概括的能力;（7）学生解题后的反思能力. 如何培养学生的数学思维，培养有思维深度的学生？以下从审题、解题、思题三个角度作一探析.

■ 审题，提升学生分析推理能力

好的开端是成功的一半. 审题是解题之始，也是成功解题的前提条件，审题的深度决定了解题的深度. 纵览近几年中考试题，不难发现，数学问题在设计时背景很新，问题所考查的数学知识点不易发觉，需要抽丝剥茧，排除无关因素的干扰，一方面要抓住关键词，另一方面要联系已有经验，才能找到解题的突破口.

例1？摇 如果一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，那么称这个三角形为“和谐三角形”.

（1）请用直尺和圆规在图1中画一个以线段AB为一边的“和谐三角形”;

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（2）如图2，在△ABC中，∠C=90°，AB=■，BC=■，请你判断△ABC是否是“和谐三角形”，证明你的结论.

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这是一个新定义问题，设计新颖，因为新定义题阅读量比较大，所以教师必须引导学生“有深度地审题”才能成功突破. 笔者分两步走：

第一步，把题中的关键词找出来，即：中线=这边长，和谐三角形.

第二步，与已学过的知识联系，当“中线=这边长”时，第三个顶点到中点的距离固定，它符合圆的定义;△ABC是直角三角形，当然就会涉及勾股定理，以及直角三角形性质的推论：直角三角形斜边中线等于斜边的一半.

第（1）小题的解题思路：这是一个作图题，如图3，先取已知线段的中点，这样才能得到中线;因为第三个顶点的轨迹是一个圆，所以作图第二步是画一个圆，圆心就是中点，半径就是已知线段的长，最后在所画的圆上任取一点C，连接AC，BC，就可得到求作的三角形.

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第（2）小题解题思路：因为直角三角形斜边中线等于斜边的一半，欲证明△ABC是和谐三角形，不能取斜边中线，而应取直角边中线，观察图形应取长直角边AC的中线，看AC的中线DB是否等于AC，如图4，由勾股定理得：AC=2，BD=2，所以△ABC是和諧三角形.

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如何使审题有深度，应分两步走，第一步抓关键词，第二步使用已有的知识经验. 这两步可以使学生去掉题设的外层属性，找出问题的本质所在，在 “温故知新”中，培养学生的问题分析能力、推理能力，进一步拓展学生的思维深度.

■ 解题，提高学生的迁移创新能力

习题教学不仅审题要有深度，解题也要有深度. 解题不是简单地得到这个题的答案，而要让学生经历解答的过程，从而提高探究与拓展能力，获取数学活动的经验，最大限度地提高学生的思维能力，以提升学生的核心素养. 因此，在习题教学中，教师要坚持以学生为主体，多种方法齐头并进，以提升学生的思维能力，拓宽学生的思维深度.

例2？摇 已知正方形ABCD中，点E在直线AB上，点F在直线BC上，连接DE，DF，∠EDF=45°.

（1）如图5，点E，点F分别在线段AB，BC上时，直接写出AE，CF，EF的数量关系______.

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（2）如图6，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，求AE，CF，EF的数量关系.

（3）如图7，在（2）的条件下，若AE=2AB=8，求EF的长.

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此题有一定难度，其关键是第一步，要求三条线段的数量关系，一般为两条短线段的和等于较长线段，方法有两种：一是截长取短法，二是旋转法. 使用旋转法时，可以将△DCF绕点D旋转90°得到△DAM，如图8，这样将两条较短线段转化为ME，然后再证明△EDF≌EDM，可得AE，CF，EF的数量关系. 如图9，解第（2）（3）小题时，可采用同样的方法.

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但是如果此题仅到此为止，则不能培养学生的思维深度. 老师不能就题论题，要实现知识的迁移与创新，为此，笔者开展以下一些思维训练.

第一步，这是一道“角含半角”的几何模型，这种几何模型是指过等腰三角形的顶点引两条射线，使这两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半的模型，解题的一般思路为：将半角两边的其中一个三角形通过旋转拼到一起形成新的三角形，然后证明新三角形与半角形成的三角形全等，最后利用全等三角形的性质得到线段之间的数关系，从而解决问题.

第二步，根据“角含半角”几何模型，进行变式训练，使学生从不同的实例中得到一般化结论.

变式  如图10，D是等边三角形ABC外一点，且DB=DC，∠BDC=120°，将一个三角尺60°的顶点放在点D上，三角尺的两边DP，DQ分别与射线AB，CA相交于E，F两点.

（1）当三角尺绕点D旋转到如图10①的位置时，写出EF，BE，CF之间的数量关系，并说明理由;

（2）当三角尺绕点D继续旋转到如图10②的位置时，（1）中的结论是否发生变化？写出EF，BE，CF之间的数量关系，并说明理由.

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第三步，让学生比较前面两个问题，找出它们的共性，并让学生自己总结解决“角含半角”问题的方法与步骤.

通过变式训练、类比总结，使得解题教学有了深度，学生经历知识的生成、演变、解决与拓展，学生的思维深度在不断加深，同时解题方法也在不断迁移，这样，能将他们的思维一步步引向深处.

■ 思题，找回缺失的活动经验

习题教学的最后一道关就是反思习题，要想思题有深度，必须解题有深度，它是解题教学追求的最高境界. 在反思习题时，一方面要反思这道题所反映的数学思想，另一方面要反思我们在解答这道习题的过程中遭遇到的困难，在解答过程中显露出的缺失部分，查出造成缺失的原因，从中可以吸取什么教训，并把这些宝贵的经验教训纳入知识体系，以备下次使用.

例3？摇 如图11，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是AD边上一点，连接CE，将△CDE沿CE翻折，点D的对应点是F，连接AF，当△AEF是直角三角形时，则DE的值是______.

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大多数学生的结果只有一个，就是3，显然漏掉了一种情况，学生只考虑了∠AFE是直角，忽略了∠AEF是直角的情况，考虑问题不够全面. 造成这种情况的原因在于学生对“分类讨论”的思想认识不足，应用这种数学思想的能力不足，所以，教师在讲解之后，根据发现的缺陷，及时弥补，使学生掌握一个重要的数学思想——分类讨论思想，明白什么是分类讨论思想，在什么情况下要使用分类讨论，如何进行分类，分类讨论常出现在哪些知识里等等.

总之，培养学生数学思维是新课程标准的要求，也是发展学生数学能力的突破口，广大教师应积极实践与探索，以使学生的思维逐步走向深入，具有处理关键问题的能力.