非均匀可穿透电介质正散射问题的适定性

邓 霞，叶建国

（1.长沙师范学院数学科学学院，湖南 长沙 410100；2.喀什大学数学与统计学院，新疆 喀什 844000）

随着科学技术的迅速发展，声波和电磁波的散射问题研究在生产和现实生活中显得越来越重要，并具有越来越重要的应用价值.声波和电磁波的散射问题是矿产资源（如石油、煤田、金属等）开发、物理工程勘探、材料及其结构无损检测和评价、地震前兆预测、症肿瘤等疾病检测、雷达和声纳探测、跟踪等应用科学的基础[1-6].本文主要研究非均匀可穿透电介质光波正散射问题的适定性.

1 正散射问题的描述

设电介质为无限长柱体，Ω 为该电介质在二维平面上的投影区域，该有界区域具有光滑边界∂Ω.该电介质的表面涂有金属材料，假设电场极化为TM 模式，当入射平面波（入射方向|d|=1）遇到涂有金属材料的电介质时，在电介质边界∂Ω 产生传输边界条件，该非均匀可穿透散射问题的模型可用Helmholtz方程的边值问题描述为

其中∶波数kj＞0（j=1，2），阻抗率λ＞0，ν 表示光滑边界∂Ω 的外单位法向量，i=.全波U∶=ui+us是给定的入射波ui和与之相应的散射波us之和，“±”表示x 沿法线方向从Ω 的外（内）逼近边界∂Ω.此外，假设散射波us满足Sommerfeld 衰减条件

正散射问题是指给定Ω，研究问题（1.1）和（1.2）解的存在性和唯一性.对于正散射问题一般采用边界积分方程方法和变分法来研究[7].积分方程方法对边界光滑的区域能够给出解的积分表示，在数值计算时，只需在区域边界离散，能使问题简化，有效降低计算的难度.本文使用边界积分方程方法研究问题（1.1）和（1.2）的适定性.

2 正散射问题的适定性

本文用边界积分方程方法来研究正散射问题解的存在唯一性.

2.1 正散射问题解的唯一性

定理2.1问题（2.1）至多有一个解.

证明 只需证明问题（2.1）对应的齐次边值问题只有零解.令BR={x∶|x|=r}，其中r 足够大并使Ω⊆Br，设（u，ν）是问题（2.1）对应的齐次边值问题的解，分别在区域和Ω 内使用Green 公式[7]，可得

由Rellich 引理[7]可得在内有u=0.根据解析函数的唯一性原理可知在内有u=0.由Holmgren 唯一连续性定理[8]可知在内Ω 有ν=0.因此定理成立.

2.2 正散射问题解的存在性

由于散射体的边界光滑，因此通过适当的定义边界积分算子，能够将边值问题（2.1）转化为积分方程组，然后通过积分方程组解的存在性证明原边值问题解的存在性.

2.2.1 边界积分方程组的导出

首先定义单层位势

证明 由引理2.1、引理2.2 和Fredholm 定理可知边界积分方程组（2.20）存在唯一解.

结合定理2.1 和定理2.2，可得传输边值问题（1.1）是适定的.

致谢：感谢华中师范大学数学与统计学院严国政教授及其科研团队对本研究的指导与帮助！