跨界研究在数学建模教与学中的应用

袁亭玉 李晓丽

[摘要]本文主要介绍跨越边界研究理论在目前数学建模的教与学中的应用。首先论述了跨越边界的涵义以及中学实施数学建模存在的许多困难，其次指出跨越边界理论为中学数学建模教学带来的一些创新之处;最后针对教师和学生在参与数学建模时自身知识不足的问题，结合跨界研究的理论给出中学数学建模实施的可行性建议。

[关键词]跨越边界理论;中学数学建模教与学;建模实施困难

传统的数学教学重视培养学生的解题能力，但却忽视了数学本身的实际应用性，使得学生认为数学脱离现实，学习数学只为应对考试等想法。我们知道数学建模具有可以发展学生应用数学能力的特性，因而很多学者都倡导在中学实施数学建模。2017年高中数学新课标将数学建模列为六大核心素养之一，可见发展中学生数学建模能力的重要性。

然而目前数学建模并未得到很好的实施，造成这一现象的原因是多方面的。其中我们应该知道数学建模是一个开放性的过程，建模问题本身涉及多学科多领域知识。因而它具有促进多学科共同工作的内在特质，并且对于教授建模的教师和进行建模的学生来说也是一个巨大的挑战本文基于建模的这一特质，介绍跨越边界理论在数学建模中的应用，希望能为将要进行数学建模的教师提供一点帮助。

1 跨越边界理论

Star和Griesemer认为：“对于合作或成功开展工作而言，达成共识不是必须的”。因为不同的实践团体拥有不同的知识基础，对于问题的有效解决而言，多样性的观点是重要的，因而多学科多领域合作成为必然。但不同研究界对同一现象有不同表征，这种差异是由不同学科教学模型的目标所决定的，这就使得在进行合作解决问题时来自不同研究界的实践团体可能会存在交流沟通的障碍。所以我们需要在他们各自所掌握的知识与元知识之间架起一座桥梁，从而实现不同团体间的交流沟通，这个过程就是一个跨越研究边界的过程。

跨越研究边界从而实现多领域多学科合作解决问题的前提是要进行边界识别。所谓边界识别首先要区分这些边界是隐含的还是明确的，然后找到对应的边界对象。边界对象可以看作是不同研究领域之间的一种翻译手段。尽管有些知识在不同的研究界中有不同的含义，但是通过边界对象的翻译功能，不同领域的研究人员就可以相互交流想法，从而合作推进科学知识，促进问题解决。

边界识别是一个复杂的过程，需要专业的研究人员正确进行识别，然后才能引导多学科，多领域研究团体合作，但这并不是本文的关注重点。我们所关注的是如何将跨界理论应用到数学建模的教学中，为建模真正得到实施提出一点建议。

2 数学建模实施现状及影响因素

数学建模能力是中学生应该具备的能力之一。普通高中数学课程标准（2017年版）中已经把建模列为六个核心素养之一并提出了以下要求：通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联：学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验;认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。可见数学建模对培养中学生解决问题能力的重要性。但是。目前数学建模在我国中学并没有得到很好的实施。影响数学建模真正进入中学数学课堂的因素主要有以下几点：

第一，课程标准虽然提到要培养学生的建模能力，但并没有给建模安排具体的课时，更没有提供有关建模的教材和教参。因而学校也没有单独设置建模课程。

第二，寻找建模活动资源的困难。能适合中学生水平且能结合课本教学内容的建模问题不多，开发这样的问题也不十分容易，使得有心尝试者有“巧妇难为无米之炊”之感。

第三，时间和课程内容的限制。建模过程是相对复杂的，解决建模问题所需要耗费的时间也相对较长。中学数学课程内容多，学时少，完成教学计划已经很紧张，还要应对中考、高考，没有太多时间来解决建模问题。因而如何能够合理安排建模教与学的时间是一个问题。

第四，教师与学生知识不足。数学建模的问题常常是未经数学抽象和转化的“原坯”型问题，在建模步骤中不仅要求相应的数学知识，还要涉及许多非數学领域的知识和方法，这不仅对学生，而且对教师都会造成知识和方法上的障碍。部分教师虽然已经意识到建模对培养学生应用数学能力的重要性。但他们由于自身知识不足。没有足够的建模经验与建模能力。从而也会影响建模的实施。

3 跨界研究为中学数学建模教与学带来的创新

数学建模进入课堂需要跨界理论的支持。目前。很多国家和地区已经提倡将数学建模纳入课程，并且在我们国家数学建模进人中学数学课堂也逐渐成为一种趋势。但基于建模问题的自身特质，中学生所学到的知识有限，在解决建模问题时往往需要脚手架的支撑，教师需要事先提供给学生多领域的知识作为成功解决问题的辅助。这一点不仅在学生身上有体现。对教师来说同样如此。因此将跨越边界理论应用到数学建模就显得尤为重要，其创新之处主要体现在以下几方面：

3.1 跨越学科边界

多学科互动是跨界理论应用的一种形式。在某种意义上，它能够促进建模和探究的过程。因此可以应用到中学生进行数学建模的过程中。下面的例子也可以很好地说明这一点。

电影《美人鱼》中有这样一段情节：一群人开枪射击水下的美人鱼，为了能够射中美人鱼，需要知道从开枪位置到美人鱼的距离。因此，潜水员拿着手电筒跳下水观测水下情况。由生活常识以及电影情节可以得到，潜水员的手大约长15cm，眼睛到手的距离大约为50cm，美人鱼的长度约为225cm。根据电影中的角度可以抽象出如图1所示的模型：

从而根据速度来判断子弹能不能对美人鱼造成伤害。

这个例子实际上就是一个对实际问题进行数学建模的过程。基于多学科互动理论。在课堂教学以及教师的实践中，数学教师可以和物理老师合作，把一个丰富的应用问题转化为一个有吸引力的活动，使学生在学习和应用有助于揭示实际情况的基本结构的具体策略、概念和技能时，体验建模过程的一些要素。

3.2 跨越课堂内外边界

Sala、Font、Gimenez和Barquero做了这样一项研究：针对12-14岁的学生设计一个教学序列，给学生安排关于罗马剧院背景的建模任务。在学生进行建模的过程中老师带领学生一同参观在巴达洛纳发现的罗马剧院的遗址，并且博物馆的考古学家向学生介绍了最初的历史情况，并提供有关遗址的一些历史文献，因而学生可以通过领域专家接触到一些领域知识。通过该研究表明通过数学和历史的不断辩证可以促进建模过程的发展。因而。在进行数学建模时教师可以带领学生走出传统的课堂，让学生亲身体会，激活课堂中学到的内容，用数学建模的方法来探索城市生活中的各种有趣问题，使枯燥乏味的数学知识有丰富的附着点和切实的生长点，让数学学习具有更加深刻的意义。

我们把这种学习方式叫做数学城市漫步，这一概念是由Buchholt提出的，其含义是跨越课堂内外边界的数学徒步旅行，这是一种基于城市生活的数学建模。比如说，如何估计所在城市中诊所或电影院的数量？如何运用数学方法计算通过隧道的最大交通流量？预测信号灯绿灯持续时间是否足够让你通过十字路口？这些都是城市生活中常见而有趣的建模问题。解决这些问题需要涉及到非常广泛的知识，并能够让学生体会到数学在城市生活中所起的重要作用。

同时这也是一种可以促进教学的方法。实施这一方法要注意教师应该仔细选择任务以匹配学生的认知技能。这些任务应该包含特定于数学主题的基本思想。进行数学城市漫步有以下两方面的优点：一方面，可以为学生提供应用已知数学知识的机会以及可以激励学生参与实际应用的实践;另一方面，教师还可以诊断学生对知识的应用情况。

3.3 跨越文化边界

民族建模是以民族数学为载体，通过对在不同文化群体成员的日常生活中发现、使用、实践和呈现的数学思想和過程进行研究，并运用这种思想方法把实际问题进行数学化的过程。这里有一个简单的例子：在巴西有一种三角墙屋顶，屋顶由中心的屋脊以及两边的两个由瓦片制成的斜面组成。基本构造如图2所示：

屋顶承包商在建造屋顶时必须计算三角墙的高度H，根据当地屋顶建造的要求。屋顶斜面的坡度比例至少为30%。因而当地工头会使用屋顶的长度L以及坡度来计算三角墙的高度。比如：L=Sm，则工头会选用a=4m来进行计算，然后用。乘以屋顶的坡度就得到墙的高度，也就是ax30%=H。

通过这个实例可以看出每个文化团体都有独特的价值观和标准。具体来说，不同文化群体的成员，有独特的数学思维方式和思想方法。对于建模来说，这是非常有价值的。但是在当地和整体化背景的相互作用下，不同文化群体的成员对现实世界的表征也有较大差别。更形象地说。数学语言可能不再是一种通用的语言，而是成为一种方言。不同文化群体会使用独特的文化来反映数学问题。所以，只有通过跨界研究，使用边界对象作为一种不同表征之间的翻译手段，使得民族建模可以应用于教学，成为一种教学工具，考验与丰富学生的数学知识，锻炼与培养学生的数学能力或者综合能力。

3.4 教师专业发展团体

建模教学是一个具有挑战性的工作。有些教师可能会缺乏信心，认为自己没有足够的能力开展建模教学，那么应用我们的跨界理论可以有效避免这一点。

Mousoulides、Nicolaidou和Evagorou做了这样一项调查：为了研究跨界理论对教师设计和实施基于探究的建模问题的知识和技能的影响。他们设计了一个三层专业学习团体，这个团体由学生、教师和家长、研究人员和教师教育者组成。我们把这种跨越团体界限形成的学习团体叫做教师专业发展团体。研究结果表明，通过参与这个学习团体，教师提高了建模教学的知识并改进了他们的建模教学方法。从关注日常实施困难的细节转变为欣赏引模（模型引出）活动在培养学生数学结构方面的实质性贡献，从而逐渐提高了他们在教授基于建模的复杂任务方面的自信心，并在设计建模活动时变得更有动力。除此之外，它还增加了专业学习团体中所有不同群体之间的交流与合作。

4 结论与建议

数学建模进人中学数学课堂仍然面临着很多的挑战这些问题涉及到多个方面的因素。虽然跨界理论并不能完全解决这些复杂的问题。但通过应用跨界理论于数学建模中。可以实现多学科多领域研究人员合作。这不仅有助于学生提高知识量，认识到建模的意义，对解决建模问题确实能够起到一定作用。另一方面，通过跨越研究边界的方式。使得教师与其他研究界的学者形成学习团体共同合作，可以增加教师进行建模指导的信心，从而促进建模的实施，这也是促使数学建模进人中学课堂的第一步。