香港高中数学教材的特色及启示

谢曙光

[摘要]教材是搞好数学教育的重要一环。因此，我们不但要求教材能符合国家发展的需要，也要求教材具有创新性，同时要求教材在內容编排、体例设置、封面装帧上有一定的特色。朗文香港教育出版公司出版的《全新高中数学与生活》系列教材，发行量大、影响广，在各方面做得比较完美。本文将它作为一个教材范本进行了比较全面的分析。

[关键词]香港;教材;设置;特色

香港的中、小学数学教育成就是有目共睹的，学生在国际评价项目TIMSS和PISA中的杰出表现证明了这一点。数学教育成就的取得离不开课程、教材、教学、评价等重要因素。本文试图从教材的角度来探究香港高中的数学教育。

香港现在使用的高中数学教材共有15种不同版本，其中8个是中文版，7个是英文版，都是根据2007年制订的《数学教育学习领域——新高中课程及评估指引（中四至中六）》编写的。本文探究选取的是朗文香港教育出版公司出版的《新高中数学与生活》系列教材（下文简称“朗文版”），这套教材在香港的影响比较大。

1 封面装帧与教材中章节的体例设置

“朗文版”系列教材共有11本，其中必修部分有6本，延伸部分有5本。必修部分6本是《新高中数学与生活4A》《新高中数学与生活4B》《新高中数学与生活5A》《新高中数学与生活5B》《新高中数学与生活6A》《新高中数学与生活6B》（下文分别简称《必修4A》《必修4B》《必修5A》《必修5B》《必修6A》《必修6B》）;延伸部分5本是《新高中数学与生活单元1——微积分与统计1》《新高中数学与生活单元1——微积分与统计2》《新高中数学与生活单元2——代数与微积分l》《新高中数学与生活单元2——代数与微积分2》《新高中数学与生活单元2——代数与微积分3》（下文分别简称《延伸1-1》《延伸1-2》《延伸2-1》《延伸2-2》《延伸2-3》）。

每本教材的纸张接近4A纸大小，整个封面是一个与数学关联的图案，或建筑、或风帆、或蝴蝶等，彩色压膜，生活气息浓，且赏心悦目。

教材中每一章节的体例分五个层次：

（1）引旨：每章以趣味性文章作引旨，诱发学生学习该章的动机。

（2）课文：（a）定义及概念：以浅白的文字，把定义及概念清晰地表达出来;（b）公式及定理：清楚显示重要的公式及定理;（c）活动：合适的活动，引导学生思考并建构数学概念;（d）例题：由浅入深的例题，展示不同的数学技巧;（e）交流站：透过讨论，分享解难方法，交流数学理念;（f）本章摘要：列出重要词汇、概念及公式，配以例题，辅助学生进行温习。在这层次里，常采用不同版面设计，以识别课文的基础课题与非基础课题。

（3）旁栏：（a）概念测试站：以提问的方式，评估学生能否掌握所学的概念;（b）延展思考站：以提问的方式，激发学生思考并作进一步探究;（C）解题锦囊：指导学生循序渐进地解决问题;（d）备忘：提示注意事项、解难方法及技巧;（e）计算机的运用：使用计算机时的正确步骤;（f）草稿：简短解说，以辅助学生明白例题中的步骤;（g）趣味数学：相关的生活事例及文化资讯。

（4）习题：（a）即时练习：与例题一一对应的题目，以巩固学生的知识;（b）即进练习：综合性题目，为学生提供进一步的练习机会;（C）课堂练习：较直接的题目，让学生在课堂上作即时练习;（d）练习：每节后配以大量不同程度的练习，按程度分为初阶及进阶，并备有开放式题目;（e）总复习：章末配以大量不同程度的练习，按程度分为初阶、进阶、多项选择题及公开试题目。并为能力较佳的学生提供香港数学竞赛题目;（f）数学探究：透过富有趣味性的题目，培养学生数学解难技巧，激发学生探索与研究的兴趣;（g）IT活动：按课题需要，章末提供合适的IT活动，并在光碟中备有所需的程式。

（5）其他特色：（a）综合评估练习：综合全册知识的练习，让学生在考试前掌握解答跨课综合性题目的技巧;（b）数学的进一步应用：透过示例和个案研究，展示如何把不同范畴的数学知识，应用到现实的情境中;（c）点滴分享知多少：《初中数学与生活》系列同一项目的延伸。由不同范畴的学者及各界的专业人士撰写启发性文章，以扩展学生的视野，欣赏数学在不同范畴的应用。

2 教材的内容与编排

“朗文版”系列教材的编写方针，是依照新课程的理念及方向，旨在建立学生的数学知识和技能，强化学生的共通能力。培养学生正面学习的态度和价值观，并为学生提供个人发展及日后工作所需的数学知识。延伸部分旨在为学生提供进一步的数学知识，以配合不同学生的兴趣和需要。单元一集中在统计及数学的应用上，为希望对数学应用有更广阔、更深入了解的学生而设计。单元二集中在更深层次的数学上，为希望学习高等数学的学生奠下巩固的代数与微积分基础。香港学生可不选修延伸部分作为后续学习内容，若选修至多选修一个延伸单元。

《新高中数学与生活》系列教材将数学内容大致分为“数与代数”“函数与分析”“度量、图形与空间”“统计与概率”“微积分”5大主题。教材在知识内容的组织和编写上，采用“螺旋上升型”手法。这种编写教材的手法主要是着眼于学生的认知规律，同一主题的内容在不同阶段多次呈现，甚至同一分支的内容也安排在不同阶段呈现，逐渐扩大范围和加深程度，使学生对知识的积累和理解不断加深和提升。这里从“数与代数”“函数与分析”“度量、图形与空间”“统计与概率”“微积分”5个方面对“朗文版”系列教材的内容及编排进行介绍。

2.1 数与代数

（1）数的系统：《必修4A》开始就介绍了实数系统，包含整数、有理数、无理数、实数，教材将这些知识紧密地编排，有利于建立学生对数的发展的整体认识。《必修5A》介绍了复数，包含虚数、复数、复数的运算。

（3）方程：《必修4A》介绍了一元二次方程，包含的内容有利用因式法、二次公式、图象法、已知根解二次方程：还介绍了二次方程的应用、根的性质及根与系数的关系等内容。这样编排可以让学生从多角度了解和掌握二次方程的知识。《必修4B》介绍了利用代数方法和图象法解二元一次、二元二次联立方程。《必修5A》介绍了解可转化为二次方程的方程，包含了高次方程、分式方程、含有平方根的方程，以及含有指数、对数的方程，可化为二次方程的应用题。《必修5B》介绍了用图象法解-x³-x²+x=1這类一元三次方程，转化为讨论函数y=-x³-x²+x与y=1图象交点的个数。由此可以看到，方程内容通过螺旋上升式的教材编写方法，被完整地呈现出来。

（4）多项式：在初中已有的基础上介绍了多项式的除法（包括长除法与除法算式）、余式定理、因式定理、利用因式定理分解多项式、多项式的最大公因式与最小公倍式、有理多项式及其运算。

（6）等差数列与等比数列：《必修6A》介绍了等差数列、等比数列、涉及等差数列与等比数列相关的问题、数列的求和法、等差数列求和法、等比数列求和法、求和公式的应用。

（8）数学归纳法：《延伸1-1》介绍了数学归纳法的原理、利用数学归纳进行证明。

（9）行列式与矩阵：《延伸2-3》介绍了矩阵、矩阵的运算、行列式、行列式的性质、方阵的逆矩阵，并介绍了用逆矩阵方法、克莱玛法则、高斯消去法解线性方程组或齐次线性方程组。

（10）向量：《延伸2-3》介绍了向量的基本概念、向量的运算与性质、二维或三维空间上的向量、线段的分点、两个向量的纯量积、两个向量的向量积（包含了三维坐标系中的向量积及纯量三重积）、向量的投影、利用向量求面积及体积。

2.2 函数与分析

（1）函数及其图象：《必修4A》介绍了函数、函数的记法、一些常见的函数（包括常值函数、线性函数、二次函数）、二次函数的极值;《必修5B》介绍了一元二次函数图象的平移，或沿x轴、y轴反射。

（2）指数与对数函数：《必修4A》介绍了指数函数与对数函数。介绍指数函数时，从最简单的根式及有理指数讲起，接着介绍指数方程、指数函数及其图象;介绍对数时，从常用对数定义、特性讲起，接着介绍了对数方程、对数的应用（包括声强级、黎克特制、对数变换）、以任意数为底的对数、对数函数的图象及其特征、对数概念的发展史。把数学史有机渗透到教材内容中，是“朗文版”的一大特色;《延伸1-1》与《延伸2-1》均重点介绍了以e为底的指数函数与对数函数、e^x的展开式及应用、涉及e的自然对数方程，《延伸1-1》还介绍了复利、指数增长与指数衰变、对数变换（包含了幂函数y=kx²模型、指数函数y=ka^x模型）;《必修5B》进一步介绍了指数函数与对数函数的图象，讨论了函数的单调性性质。

（3）变分：《必修4B》介绍了形如y=kx、y=kx³、

2.3 图形与空间

（1）圆的基本性质：《必修5A》介绍了圆的基本名字、圆上的弦、圆上的角、弧、弦和角的关系、圆内接四边形、共点圆、圆的切线。

（2）轨迹：《必修5A》介绍了轨迹的概念、描述及绘画轨迹、轨迹的代数方程。

（3）直线的方程：《必修4A》介绍了根据给定的一点及斜率求直线的方程、根据给定的两点求直线方程、直线方程的一般式、两直线相交的各种情况。

（4）圆的方程：《必修5A》介绍了标准式、一般式以及其他求圆的方法。

（5）线性规划：《必修5B》介绍了二元不等式及其图象、利用图象法解联立二元一次不等式、线性规划、线性规划的应用。

2.4 统计与概率

（1）排列与组合：《必修5B》介绍了计数的基本原理、排列、组合。

（2）概率的集合记法与基本定律：《必修5B》介绍了有关概率的集合记法、加法定律、乘法定律、使用排列组合解概率问题。

（3）离差的度量：《必修6A》介绍了离差的度量，内容包括离差的度量、分布域及四分位数间距、框线图、标准差、使用适当的度量比较离差、标准差的应用、数据的变化对离差的影响。

（4）统计的应用及误用：《必修6A》介绍了简单抽样及数据的收集、统计调查方法的误用、阅读调查报告。

（5）条件概率：《延伸1-2》介绍了条件概率的概念、概率的乘法定律和独立事件的概率、贝叶斯定理及其应用。

（6）离散概率分布：《延伸1-2》介绍了随机变量、离散概率分布及其表示方法、离散随机变量的期望值和方差。还介绍了一些特殊的离散概率分布，包含的内容有伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布、选用适当的概率分布解生活中的问题。

（7）正态分布及其应用：《延伸1-2》介绍了连续随机变量的概念、正态分布、正态变量的标准化、正态分布的应用。

（8）点及区间估计：《延伸1-2》介绍了统计推论简介、样本平均值的抽样分布、点估计、区间估计。

2.5 微积分

（2）微分：《延伸2-2》介绍了导数（包括曲线的斜率、函数的导数）、微分法的基本原则、复合函数、反函数及隐函数的微分法：同时介绍了三角函数、指数函数、对数函数微分法、二阶导数;接着介绍了微分法的应用，内容包括曲线的法线与切线、局部极值及一阶导数判别法、函数的凸性及二阶导数判别法、曲线的描绘、全局极值与最优化问题、变率。

（4）定积分：《延伸2-2》介绍了定积分法、利用代换积分法求积分、利用分部积分法求积分、定积分的性质（包含奇、偶函数的定积分与周期函数的定积分）、利用定积分求平面图形的面积、利用圆盘法求旋转体的体积、利用外壳法求旋转体的体积。

3 特色

认真翻阅“朗文版”系列教材，觉得特色颇多，比如教材编写方法是螺旋式上升型、内容具有浓郁的生活气息、体现了数学文化的有机渗透、突显了信息技术的综合运用等。随着数学教育的改革和发展，这些特色都成了各国（或地区）数学教材的共性了。下面从另外一些角度来分析“朗文版”系列教材的特色。

3.1 教材中章节的体例设置层次分明、丰富多彩

从上文叙述已经知道，教材内每一章节的体例一般设置为5个层次。只要翻开任一本教材中的任一章节，这5个层次都是清晰明了的。例如《必修4A》第3章第l节一一函数简介，主旨是体重指数与函数：先给出一个人站在电子称上称体重的彩色图片，图下文字指出体重指标等于个人的体重（以kg为单位）除以其身高（以m为单位）的平方。医生根据这个公式提供的数据，可以分辨病人是否患上与体重相关的疾病。这里的体重指标BMI事实上是一个含两个变量的函数。这个主旨讲的是生活中的实际例子，说明数学与生活是紧密相联的。引人入胜，学生会急于想了解有关函数的知识。这一节开始时，书中给出一张彩色卡通图，图中说的是台下两个歌迷讨论台上歌星的收入，其中一个说歌星的收入与歌迷人数有关：接着书中给出三个正方形，边长分别为1cm、2cm、3cm，求它们的周长;到此书中又给出一张彩色卡通图，直观地指出函数就是一个数字机器，左边输入x值，右边输出y值。如此三番四次地铺垫和引申后，教材才定义函数、自变量、应变量、定义域、值域。这些彩色卡通图很接近学生平时玩乐游戏的内容，给出的素材来源于生活，都是学生喜闻乐见的。后面给出了2个例子1个例题，说明函数的三种表示方法。这一节旁栏有5处，其中趣味数学讲的是首次提出函数概念的人是莱布尼兹，并简单介绍了莱布尼兹的生平，附了莱布尼兹的小幅彩色画像：延展思考站要学生看y²=x的图象，问x是否为y的函数，为什么？另有三处是文字形式的旁注。本节有即时练习1个，课堂练习4个，课外练习12，章末还编排了与之相关的不少练习题。这一章的数学探究是求二次函数的顶点坐标：IT活动是在几何画板中画二次函数的图象，让学生研究其特征，并给出了4个相关的问题。这样编排不仅巩固和提高了学生所学的知识，还培养了学生思考问题的习惯和探究数学的能力。纵观这一章的架构与体例设置，编排灵活多样，内涵丰富多彩，很符合学生的思维习惯和认知规律。这种架构和编排，大陆几个版本的教材都没做到這样完善与完美。

3.2 注重知识的系统性和内在联系

3.3 传统几何内容的组织与呈现别具一格

一般认为，初等数学中的传统几何内容只包含平面几何（欧氏几何）、立体几何、解析几何，不包括三角函数与向量。

“朗文版”在“图形与空间”这个主题下，平面几何包含了圆的基本性质与圆的切线，内容比较完整。大陆“人教版”选修教材也介绍了平面几何中圆的相关概念与陸质。《必修4B》《必修5A》在“数学的进一步应用”中，分别介绍了梅涅劳斯定理及应用与托勒密定理及应用。这些内容在“人教版”教材中是没有的，一般属于数学竞赛内容。解析几何内容包含了直线方程、线性规划、圆方程、简单的轨迹。在“轨迹”这一章的“点滴分享知多少”中。研究了太空船的轨道，指出轨道是椭圆，地球到月球的直线距离是这个椭圆的长轴长，但没进一步研究椭圆的方程与性质。“人教版”选修教材介绍了椭圆、双曲线、拋物线的方程与性质以及极坐标与参数方程，这些内容是历届高考的重点与难点。立体几何内容O呈现，有关长方体、柱体、锥体的表面积与体积等内容早已下放到了初中教材，“人教版”中有关空间几何体的直观图与三视图、直线与直线平行或垂直、直线与平面平行或垂直、平面与平面平行与垂直、异面直线等内容，香港近30年的高中数学课程与教材一直都没有呈现过。比较台湾、日本、美国的高中数学教材，对立体几何内容的处理与香港类似，但二次曲线的内容仍是其核心知识。

3.4 注重习题的等级性，满足多样性需求

从上文述评可以看出，“朗文版”在习题的设置上划分了7个类别，若从知识与能力的范畴来划分，又可以划分为4个层次。

“朗文版”系列教材是根据香港数学教育的多元性目标而设计习题的，因而可以满足多样性需求。这些习题都是经过精心设计和挑选的，不人为地制造偏题、怪题，强化了学生对基础知识和基本技能的掌握和数学的应用价值，具有一定的数学教育的导向性。