一款简谐振动旋转矢量图示法演示仪的设计方案

王子峰，张春早，李兰兰，熊瑛，王胜杰

（淮南师范学院物理系，安徽 淮南 232001）

相位是一个非常重要的概念，在数学、物理、通信、航空航天、生物、自动化等领域有着广泛的应用。我们对相位的物理概念较为详细的了解应该从大学物理中对简谐振动的学习算起，而熟练掌握相位的概念又是学习波的干涉、波的衍射理论的基础。在实际教学中发现，同学们对相位这个概念理解不是很深刻，不能很好地应用相位来讨论波在相干叠加时的结果。因此，怎样让学生对相位这个概念有一个清晰的认识显得尤为重要。课本中的旋转矢量图示法是一个很好的介绍相位概念的方法，但由于只是静态的图文说明，学生还是不能很好地去理解。据我们所知，市场上也没有演示旋转矢量图示法的一款相关产品。所以，应教学需要，这里我们设计了一款教具，称为“简谐振动旋转矢量演示仪”，旨在将相位这一概念用实物来展示出来，将其可视化，以大大降低其抽象性，让学生对相位这一概念有一个清晰又深刻的认识。同时，这款教具外观漂亮、轻巧坚固、结构简单、通过操作展示可以让课堂教学变得生动有趣，既节约讲课时间，又具有极佳的教学效果。

1 简谐振动旋转矢量图示法

简谐振动的运动学方程（波函数）为，

其中，(ωt+φ0)称为相位，φ0称为初相位。相位和振子的状态之间的关系可以用旋转矢量来进行描述，如图1所示。大小保持不变的矢量M，长度为A，绕其始端O以角速度ω沿逆时针方向转动,在t=0时刻，M与x轴正向的夹角为φ0，在时刻t，M与x轴正向的夹角为(ωt+φ0)，则在时刻t旋转矢量的终点M在x轴上的投影将与P重合，即二者的x坐标相同。所以，可以用M点在x轴上的投影的运动来描述谐振子P的运动。因此，我们可以用它来描述物体的简谐振动，而旋转矢量M在时刻t与x轴正向之间的夹角(ωt+φ0)就是谐振子此时的相位。同时,根据M点所在的位置及旋转矢量的转动，可以确定其投影P点的运动方向。因此，旋转矢量在能够描述物体作简谐振动位移的同时，又能直观地描述其相位及运动方向，这是用旋转矢量法描述简谐振动的一大优点。

图1 简谐振动旋转矢量图示法示意图

另一方面，我们还可以由旋转矢量的转动来方便地做出物体作简谐振动时的x-t曲线。并且，根据x-t曲线与旋转矢量的对应关系可容易地找出在时刻t时的相位。如图1所示，取一长为A的矢量，在t＝0时刻，A与x轴的夹角为φ0，使A矢量绕O点以角速度ω沿逆时针方向旋转，则在任意时刻t，矢量A与x轴的夹角为(ωt+φ0)，矢量端点M在x轴上的投影为x=Acos(ωt+φ0)，这正是简谐振动的运动学方程。这种旋转矢量法将简谐振动的三个特征量——振幅、角频率和初相与旋转矢量的长度、角速度和初角位置一一对应起来。

在研究简谐振动的问题时，将这种对应关系搞清楚，用该方法确定简谐振动的初相、进行相位比较、确定振动时间、研究振动的合成以及波的叠加等问题，对比用分析法可省去烦琐的计算，提高解题速度。很明显，旋转矢量端点在x轴上的投影，除x=−A和x=A位置外，每个x值都对应两个矢量位置，即有两个相位与之对应，最终相位的确定要看题给条件。如果质点沿x轴反方向运动，说明V＜0，旋转矢量转动到一、二象限，对应的相位是一或二象限的角；反之V＞0，对应相位为三或四象限的角。以上就是运用旋转矢量求初相位的简单快速的方法。

因为求解过程运用的知识过于抽象。并不方便理解，因此，我们需要在旋转矢量运用的基础上制造出旋转矢量的演示仪器来辅助教学。

2 简谐振动旋转矢量演示仪设计图

2.1 材料器件

有机玻璃面板，其余部件均可采用塑料材质。

2.2 结构原理图

图2 结构原理图

2.3 原理及操作

手拿把手进行转动(图2（d）)，把手带动杆L和其端点处的旋转矢量M(图2（a）)作圆周运动。杆L推动滑竿沿滑轨上下平动。滑竿中点处固定着圆片P，它代表谐振子的小球，圆片P随滑竿一起上下移动。由于M和P都在滑竿上，所以二者具有相同的x坐标值，xP=xM=Acosφ= A cos(ωt+φ0)。

图3 操作原理图

如图3所示，设初始状态为：t=0，旋转矢量M与振子P重合，初相位φ0=0。设把手转动的角速度为ω，则M转动的角速度也为ω，线速度vM=Aω。P点速度vP=0。杆L的转动将对滑竿施加向下的压力推动滑竿向下运动，同时带动振子P向下运动。当0＜φ＜π，振子P向下运动（x轴负向）。当π＜φ＜ 2π时，P向上运动。φ= 0 ，π时，M与P重合，M在上，P在下,支撑M的杆L从P的中间穿过（图2（c））。P以及支撑P的杆中间留有缝隙，以让杆L从中来回穿过。通过连续地转动把手，次装置将清晰地展示出P的不同状态对应的矢量M的位置和相位的大小关系，使得相位和P的状态关系一目了然，实现相位的可视化效果。

3 结果与讨论

我们成功地设计了一款结构简洁、操作方便、轻巧坚固、携带方便、演示效果优异的简谐振动旋转矢量演示装置，填补了旋转矢量图示法无教具的空白。该教具将大大降低学生对相位概念的学习难度，有利于对波动学中的干涉、衍射等相关概念的理解和掌握。