2020年高考数学模拟试题（四）

湛永斌

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）若函数f（x）的图像在x=0处的切线过点（1，3），求函数f（x）的单调区间及其极值;

（2）若关于x的不等式f （x）≤4对任意的x∈[0，3]恒成立，求实数m的取值范围。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ （1+cos 2θ）=4sinθ。

（1）求曲线C的直角坐标方程;

8.已知M（）D函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2。图l所示的是一个算法的程序框图，当输入”的值为36时，则输出的结果为（

）。

12.有一正三棱柱（底面为正三角形的直凌柱）木料ABC.-A1B1C1，其各棱长都为2。已知O1，O2分别为上底面和下底面的中心，M为O1O2的中点，过A，B，M三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为（

）。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）如图2，△ABC是等边三角形，D是BC边上的动点（含端点），记∠BAD =a，∠ADC=β。

（1）求2cos a-cosβ的最大值;

（2）若BD=1，cosβ=1/7，求△ABD的面积。

18. （12分）如图3，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA =2，E为PD的中点。

（1）求证：PA⊥平面ABCD：

（2）求二面角A-BE-C的正弦值。

20. （12分）甲、乙兩人同时参加一个外贸公司的招聘，招聘分笔试与面试两部分，先笔试后面试。甲笔试与面试通过的概率分别为0.8，0.5，乙笔试与面试通过的概率分别为0.8，0.4，且笔试通过了才能进入面试，面试通过则直接招聘录用，两人笔试与面试相互独立互不影响。

（1）求这两人至少有一人通过笔试的概率;

（2）求这两人笔试都通过却都未被录用的概率;

（3）记这两人中最终被录用的人数为X，求X的分布列和数学期望。

21. （12分）已知函数f（x）=ex- ax-b（其中e为自然对数的底数）。

（1）若f（x）≥O恒成立，求ab的最大值;

（2）设g（x）=| n x+l，若F（x）=g（x）-f （x）存在唯一的零点，且对满足条件的a，b，不等式m（a-e+1）≥b恒成立，求实数m的取值集合。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。