II 型III 型动态裂纹尖端断裂过程区近似评估方法

姬晨濛，戚承志

(1. 北京工业大学建筑工程学院，北京 100124；2. 北京建筑大学，北京未来城市设计高精尖中心，2011 节能减排协同创新中心，北京 100044)

断裂过程区(Fracture Process Zone，以下简称FPZ)即微裂区，是材料发生非线性断裂的关键原因[1-2]。因此，对于岩石、混凝土等准脆性材料，研究其裂纹尖端的断裂过程区是很有必要的。岩石产生的裂纹多以剪切型裂纹居多，破坏形式也以剪切破坏为主，这是岩石的工程地质条件造成的。由于围岩压力的存在，岩石产生张开型裂纹的可行性降低[3]。因此，对于II 型(面内剪切裂纹)、III 型(面外剪切裂纹)裂纹的研究显得十分必要。

强洪夫、张亚等[4-5]采用俞茂宏双剪统一屈服准则求得I 型、II 型裂纹在小范围屈服条件下的塑性区形状和尺寸，得到了统一形式的弹性解，并给出了材料参数对裂纹尖端塑性区形状和尺寸的影响。倪尔有[6]利用叠加原理，对I 型、II 型、III 型裂纹尖端应力场进行叠加，得到复合型裂纹尖端应力场，利用Von Mises 屈服准则，导出复合型裂纹尖端塑性区。吕运冰等[7]利用最大拉应力强度准则，求得不同裂纹角下的I-II 型复合裂纹尖端微裂区的轮廓。Jing 等[8]利用Von Mises 和Tresca 屈服准则，分别给出了平面应力状态下和平面应变状态下II 型裂纹尖端塑性区形状，并提出Tresca 屈服准则计算塑性区比Von Mises 屈服准则计算塑性区大的结论。Wu 等[9]通过数值模拟三点弯曲试验，得到不同裂纹比、不同加载率下的过程区，但文章中并没有给过程区的全局尺寸，仅仅是从长度和宽度两个尺度进行分析。卿龙邦等[10-11]提出了混凝土I 型裂纹尖端断裂过程区长度的计算方法。姚池等[12]利用Hoek-Brown准则数值模拟了脆性各向异性岩石损伤破坏的过程。

但是，以上研究均是以静态裂纹为研究对象分析裂纹尖端断裂过程区，国内外对于动态裂纹尖端的断裂过程区的研究很少。Poliakv等[13]利用莫尔圆表示的最大剪应力与库伦极限应力的比值τmax/τc作为破坏指标，并认为τmax/τc＞1 计算所得区域即为破坏区。给出了II 型裂纹、III 型裂纹随着初始应力比σxx/σyy和扩展速度的变化。Ding 等[14]通过对带缺口的Q345R 钢材构件的裂纹扩展进行数值模拟，得到了在周期荷载作用下的I-II 型混合型裂纹尖端的破坏区。Dai 等[15]通过数字图像相关技术观察镁制材料和镁制防火材料裂纹尖端的断裂过程区，但只分析了断裂过程区宽度和长度在加载过程中的变化规律。Tarokh[16]用声发射技术描述了花岗岩裂纹尖端断裂过程区，并分析了断裂过程区长度和宽度与试件尺寸的关系。因此，本文提出了一种近似方法，用于计算II 型(滑开型)、III 型(撕开型)动态裂纹尖端断裂过程区的形状和全局尺寸，并对不同强度准则计算得到的断裂过程区的面积大小进行了比较。

1 II 型、III 型动态裂纹尖端应力场弹性解

假设无限弹性介质中存在长度为2a 的Griffith裂纹以常速V 沿着x 正轴方向开始运动。如图1所示，建立一个固定坐标系(x1, y, t)，在裂纹尖端再建立移动坐标系(x, y, t)并有关系[17]：

2 断裂过程区的计算

Von Mises 强度准则又叫Octahedral 剪切应力准则，可以用来评估裂纹尖端过程区：

式中，σs为材料的屈服极限。

通过将应力场表达式(17)和式(18)代入式(20)，分别可以得到II 型和III 型裂纹尖端断裂过程区的隐式表达式。

本文取纵波波速c1=5370 m/s，横波波速c2=3180 m/s，c 为瑞丽波速，极限抗拉强度τ0=32 MPa[21]。通过伪应力函数利用Von Mises 强度准则计算II 型和III 型裂纹不同裂纹速度的断裂过程区轮廓分别如图2 和图3 所示。

图2 利用Von Mises 强度准则计算II 型裂纹尖端断裂过程区轮廓(平面应力条件下的过程区轮廓用线表示，平面应变条件下的过程区轮廓用线+符号表示)Fig. 2 Contours of FPZ constructed by using Von Mises criterion at mode II crack tip (the contour of the FPZ under plane stress condition is represented by line, and the contour of the FPZ under plane strain condition is represented by line and symbol)

由图2 可以看出，裂纹尖端断裂过程区形状如“葫芦”，分布在裂纹尖端的前方和后方，这与II 型静态裂纹尖端断裂过程区的计算结果一致[22]。在垂直于裂纹方向断裂过程区的尺寸随着裂纹扩展速度增大而增大，但沿着裂纹扩展方向断裂过程区的尺寸几乎不变。当裂纹速度接近瑞丽波速时断裂过程区变化更明显。裂纹扩展速度相同时，平面应力状态下裂纹尖端断裂过程区面积大于平面应变状态下的断裂过程区面积。

图3 利用Von Mises 强度准则计算III 型裂纹尖端断裂过程区轮廓Fig. 3 Contours of FPZ constructed by Von Mises criterion at mode III crack tip

由图3 可得，III 型动态裂纹尖端断裂过程区同样是对称分布，随着裂纹扩展速度的增大而增大。当裂纹扩展速度接近于瑞丽波速时，断裂过程区变化比较大，这与II 型裂纹尖端断裂过程区随速度变化趋势相似。当速度为零时，断裂过程区形状接近于圆形，这与静态裂纹尖端断裂过程区的计算结果一致[22]。

利用伪应力函数方法同样可以用Tresca 强度准则对II 型和III 型裂纹尖端断裂过程区进行计算：

由图4 和图5 可以看出，利用Tresca 强度准则与利用Von Mises 强度准则计算的裂纹尖端断裂过程区的形状一样。断裂过程区的分布关于裂纹对称，不仅分布在裂纹尖端前方还分布在裂纹尖端后方。两种强度准则计算得到的断裂过程区面积均随着裂纹速度的增加而增加。当速度为0.38c 时，两种强度准则计算的II 型裂纹和III 型裂纹尖端断裂过程区的对比结果分别如图6 和图7所示。

图4 利用Tresca 强度准则计算II 型裂纹尖端断裂过程区轮廓(平面应力条件下的断裂过程区轮廓用线表示，平面应变条件下的断裂过程区轮廓用线+符号表示)Fig. 4 Contours of FPZ constructed by using Tresca criterion at mode II crack tip (the contours of the FPZ under plane stress condition are represented by line, and the contours of the FPZ under plane strain condition are represented by line and symbol)

由图6 可知，利用Tresca 强度准则计算的断裂过程区的面积比利用Von Mises 强度准则计算的断裂过程区的面积大。平面应力条件下，Tresca强度准则计算的裂纹尖端前方的断裂过程区的面积比Von Mises 强度准则计算的过程区的面积大，但在裂纹尖端的后方的轮廓几乎是一样的。

图5 利用Tresca 强度准则计算III 型裂纹尖端断裂过程Fig. 5 Contours of FPZ constructed by using Tresca criterion at mode III crack tip

图6 当速度为0.38c 时，两种强度准则计算得到的II 型裂纹尖端断裂过程区的对比Fig. 6 Comparison of the FPZs constructed by using two criteria at velocity of 0.38c at mode II crack tip

对于III 型裂纹尖端的断裂过程区面积，将式(18)代入式(20)和式(21)～式(23)，通过计算可知，利用Von Mises 强度准则计算的过程区的面积是利用Tresca 强度准则计算的过程区的面积的0.5×31/2≈0.866 倍。这意味着利用Tresca 强度准则计算的过程区的面积比利用Von Mises 强度准则计算的过程区的面积大，这与图7 结果相符。

图7 当速度为0.38c 时，两种强度准则计算得到的III 型裂纹尖端断裂过程区的对比Fig. 7 Comparison of the FPZs constructed by using two criteria at velocity of 0.38c at mode III crack tip

3 伪应力函数方法的验证

将利用已被熟知的裂纹尖端渐进应力场表达式计算裂纹尖端断裂过程区，与基于伪应力函数计算断裂过程区的结果进行对比，以验证本文提出的伪应力函数的正确性。

已知裂纹尖端渐进应力场表达式[23]：

将式(24)、式(25)代入式(20)，可以得到断裂过程区的隐式表达式。表1 列出了已知应力表达式计算得到的断裂过程区的面积与基于伪应力函数计算得的断裂过程区的面积，并进行了对比。

可以看出，无论是平面应力条件下还是平面应变条件下，基于已知应力场计算的断裂过程区与基于伪应力函数计算的断裂过程区的面积随着裂纹尖端速度变化趋势是一致的。基于已知应力函数方法计算的断裂过程区面积的速度依赖性比基于伪应力场计算的断裂过程区面积稍强，这是由于已知应力场是忽略高阶项的渐进表达式[23]。从表1 两种方法计算结果验证了基于伪应力函数方法评估动态裂纹尖端断裂过程区的正确性。

表1 利用Von Mises 强度准则计算II 型 裂纹尖端断裂过程区面积 /cm2Table 1 Area of FPZ for mode-II crack by using Von Mises criterion (plane stress)

4 结论

虽然找到动态裂纹尖端断裂过程区的精确解是非常困难的，本文提出的伪应力函数方法可以给动态裂纹尖端的断裂过程区的评估提供一个很好的参考。基于此近似方法，利用Tresca 准则和Von Mises 准则计算得到理想弹性条件下II 型和III 型裂纹尖端的断裂过程区的轮廓线和面积，得到以下结论：

(1) II 型和III 型裂纹尖端断裂过程区的分布关于裂纹面对称。断裂过程区的分布不仅在裂纹尖端前方还在裂纹尖端后方。

(2) 随着裂纹扩展速度的增加，裂纹尖端断裂过程区的面积不断增大，当裂纹扩展速度接近瑞丽波速时，裂纹尖端断裂过程区的增加幅度比较大。II 型裂纹尖端断裂过程区沿着裂纹扩展方向的尺寸随着裂纹扩展速度增加明显，III 型裂纹尖端断裂过程区随着裂纹扩展速度增加向四周均有扩展。

(3) 利用Von Mises 强度准则和Tresca 强度准则计算的裂纹尖端断裂过程区形状一样，随着裂纹扩展速度的变化趋势一致。利用Tresca 强度准则计算得到的断裂过程区的面积比利用Von Mises强度准则计算得到的断裂过程区的面积大。