公路连续梁桥在横向多车作用下的振动响应研究

陈水生,宋元,桂水荣,罗浩

(华东交通大学土木建筑学院,江西南昌 330013)

0 引言

处于工作状况中的桥梁结构,将承受自身的静载和行驶车辆的动载作用.当车辆以一定的速度行驶于桥面时,车辆自身有振动,这会引起桥梁结构产生振动,而这又影响着车辆的振动,这种车辆与桥梁间的相互作用即为车桥耦合振动.

当前公路桥梁交通流量日益增大,车辆行驶排列复杂多样,相较于单车作用,公路桥梁在多车激励作用下的振动更为剧烈,对桥梁的使用年限和车辆行驶的舒适性有很大影响.目前,对于车桥耦合振动问题的研究大多以单车道荷载作用下桥梁为研究对象,并未考虑不同车道上横向车辆之间的相互影响[1-3].经薇等[4]选用1/4车辆模型,分别从时域和频域分析了纵向多车作用下二维简支梁的振动响应,并提出在研究车桥耦合振动问题时考虑多车荷载是有必要的.乔东钦等[5]利用LS-DYNA软件建立车桥模型,分析了单车荷载位于横向不同位置时的桥梁振动响应,并通过试验结果进行验证.Zou等国外学者采用数值积分、解析法等对平面简支梁及空间桥梁模型在单车激励下的振动响应也进行了广泛而深入的研究[6-11].但是,以上研究对多车激励作用下的车桥耦合振动响应,尤其是横向多车情况下的振动响应研究还不够充分.现运营的公路桥梁大多数为两个或两个以上车道,各车道上的车辆不但直接对桥梁振动产生激励,各车辆之间也会相互影响.因此,研究多排车辆工况下的车桥耦合振动问题更贴近实际,有利于桥梁结构的合理设计与运营维修.

据此,本研究模拟整车模型行驶于一座4 m×25 m的预应力混凝土连续箱梁桥,采用模态综合分析方法,推导路面不平整激励作用下的多车车桥耦合振动方程.基于Newmak-β算法编制Matlab求解程序,运行获得桥梁振动响应,对比分析在单车、横向并排两车和纵向前后两车3种工况下各种因素对桥梁振动响应的影响.

1 多车车桥耦合振动分析方法

1.1 建立多车车辆振动方程

本研究对象为三轴自卸汽车,根据车辆的动力特性,将其简化为9自由度的三维模型.令i=1～6代表车轮1～6,共n辆车,则mni为第n辆车第i个车轮的悬架质量,csni和ksni分别为悬架弹簧阻尼和刚度系数,ctni和ktni分别为车轮阻尼和刚度系数,zni和zoni分别为悬架位移和车轮与桥面接触处的桥面位移,mhbn为车体质量,Irn为车体侧倾转动惯量,φn为车体侧倾角,Ihbn为车体俯仰转动惯量,θbn为车体俯仰角,zbn为车体的竖向位移[12].车辆模型如图1、2所示.

图1 纵向多车模型Fig.1 Longitudinal multi-vehicle model

图2 横向多车模型Fig.2 horizontal multi-vehicle model

根据达朗贝尔原理,建立多车车辆振动方程

将方程组(1)改写为矩阵形式为

式中：Mv、Cv、Kv分别为多车车辆系统的质量、阻尼、刚度矩阵,均为(9 n×9 n)的方阵,其中n为车辆数目；Fv为车辆的惯性荷载矩阵,Z为车辆各自由度矩阵,均为(9 n×1)的列向量.

1.2 建立桥梁振动方程

桥梁振动方程可通过有限元分析得到

式中：Mb、Cb、Kb分别为桥梁的质量、阻尼、刚度矩阵；Fb为车辆作用于桥梁的荷载列向量；U为桥梁单元节点位移列向量.通过振型分解法,对其进行规格化,则(3)式改写为

1.3 模拟路面不平整

采用谐波叠加法模拟路面不平整,其表达式为

式中：Aj为每段频率对应的不平整度幅值；x为车辆行驶方向位移；nmid,j为每段空间频率的中值；θj为均匀分布在[0,2π]上相互独立的随机变量；m为空间频率的划分段数.国家标准《机械振动道路路面谱测量数据报告(GB/T 7031—2005)》[13]根据路面功率谱密度把路面按不平度分为A～H级.

1.4 建立多车车桥耦合振动方程

桥梁所受车辆荷载为

式中：Fint、Fg分别为车辆冲击力和重力.

假定桥面与车轮不分离,桥梁所受第i个车轮的冲击力为

式中：Δi为车轮与桥面相对垂向位移；zi、ri和wi分别为车轮位移；不平整幅值和桥面位移；Nk和wk分别为板单元节点k的插值函数和位移；NN为节点数.

通过车轮与桥面接触处的位移协调条件和相互作用力的平衡条件,联立方程(2)、(4)、(6)和(7),得到多车车桥耦合系统的振动方程为

式中：Mbv(t)、Cbv(t)、Kbv(t)分别为多车车桥耦合系统的广义质量、阻尼、刚度矩阵,它们均为(r+9n)×(r+9n)的方阵,且随车辆在桥上位置的改变而改变；Fbv(x,t)为系统的广义荷载列向量,它也随车辆在桥上位置的改变而改变；δ为桥梁的模态广义坐标和车辆各自由度组成的列向量[14].

式(10)是一个线性时变方程,求解该方程时,在每一时间步Δt内近似认为各矩阵为常矩阵,引入Newmak-β逐步积分法,于各个积分步长Δt的起点和终点建立动力平衡条件,并编制相应的Matlab计算程序进行求解.

2 算例分析

2.1 桥梁有限元模型及车辆模型

本研究以一座4 m×25 m的预应力混凝土连续梁桥为研究对象建立有限元模型.4片预制箱梁横向排列,总宽度为13 m,梁高为1.4 m,桥面板和桥面铺装分别采用现浇C50混凝土和沥青混凝土,厚度均为0.1 m.桥梁横断面如图3所示.

桥梁的三维有限元模型通过ANSYS予以建立,其中,主梁采用Solid 73单元模拟,铺装层和横隔板采用shell63单元模拟,以混凝土为主要截面材料的主梁通过将截面刚度进行换算来考虑钢筋的影响.根据已有研究,在利用模态综合法时,采用桥梁的前10阶模态和自振频率即可得到较好的结果.因此,通过模态分析,提取其前10阶振型和自振频率,并将其导入Matlab进行数值模拟计算.桥梁有限元模型如图4所示.

图3 桥梁横断面图(单位：mm)Fig.3 Cross section of the bridge(unit：mm)

图4 桥梁有限元模型Fig.4 Finite element model of the bridge

车辆模型为三维整车模型,采用文献[15]的车辆结构尺寸及动力特性参数.由于桥跨对称布置,以下算例均采用前两跨的计算结果进行分析.

2.2 多车对桥梁动力响应的影响

为研究多车对桥梁动力响应的影响,设计单车、横向并排两车和纵向前后两车3种工况进行对比分析.单车和纵向两车工况中的车辆均布置在桥面中心,横向两车工况中的车辆布置在桥面中心两侧,其中,纵向间距和横向间距分别为5.0 m和1.3 m.给定车辆速度为25 m·s-1,路面等级为B级.工况示意图如图5所示.3种工况下的桥梁第一跨和第二跨跨中中梁竖向振动曲线如图6所示.

图5 工况示意图(单位：mm)Fig.5 Condition of vehicle loads(unit：mm)

图6 不同工况下的桥梁跨中中梁竖向振动曲线Fig.6 Vertical vibration curve of middle beam with different working conditions

图6 中的横坐标表示车辆前轴距起点的距离,特别地,对于纵向两车工况,表示前车前轴距起点的距离.结合表1所列不同工况下的各跨最大动位移可以看出,横向两车工况下的跨中位移响应最大值最大,单车工况下的跨中位移响应最大值最小；横向两车工况和纵向两车工况下的跨中位移响应最大值分别约为单车工况下结果的2.0倍和1.6倍.

表1 不同工况下的各跨最大动位移Tab.1 Maximum dynamic displacement of each span under different working conditions

2.3 车辆速度对冲击系数的影响

为研究车辆速度对桥梁第一、二两跨跨中冲击系数的影响,仍采用2.2节中的3种车辆布置形式.给定车速变化范围为10～40 m·s-1,步长为1 m,每种车速下车辆均匀速行驶；路面等级为B级.3种工况下第一跨和第二跨冲击系数随车速的变化曲线如图7所示.两车工况与单车工况下冲击系数比值列于表2.

图7 不同车辆速度下的冲击系数Fig.7 Impact coefficients with different speed of vehicle

表2 两车工况与单车工况下冲击系数比值Tab.2 Ratios of impact coefficient under two-vehicle working condition to that under single-vehicle working condition

从图7和表2结果可以看出：不论何种工况,随着车速的增大,冲击系数均不单调增大；相较于单车工况下的冲击系数曲线,横向两车工况下的曲线变化情况与之类似,比值最大不超过1.3,最小不低于0.4；而纵向两车工况下的曲线则绕其来回波动,比值最大达到43.887 0,最小仅为0.037 1.由于横向排列的两辆车,其各自对桥梁同一位置产生的振动是同步的,与之相反,纵向排列的两辆车,其各自对桥梁同一位置产生的振动是非同步的,且会彼此加强或减弱,因而产生了上述的不同结果.

另外,即使车速和车辆的布载形式相同,不同桥跨的冲击系数却并不相同,由于桥跨是连续的,某一桥跨的振动会传递到相邻的桥跨,对车辆的振动效应产生一定的影响,故不同桥跨对同一种车辆冲击效应产生的振动也不相同.

2.4 车辆间距对冲击系数的影响

为研究车辆横向间距对第一、二跨跨中冲击系数的影响,令两车沿桥面中心对称布置,给定车速25m·s-1,路面等级B级,横向间距从1.3 m以1 m为步长增至7.3 m.冲击系数随车辆间距的变化曲线如图8所示.跨中位移响应随间距的变化曲线如图9所示.

图8 不同车辆间距下的冲击系数(横向两车工况)Fig.8 Impact coefficients with different vehicle spacing(horizontal two-vehicle condition)

图9 不同车辆间距下的振动响应(横向两车工况)Fig.9 Vibration response with different vehicle spacing(horizontal two-vehicle condition)

可以看出：随着横向两车车辆间距的增大,跨中冲击系数呈上升趋势,而与之相反,最大静位移和最大动位移响应则呈下降态势.可以理解,所研究位置离荷载作用处越近,其位移响应越大,即相比距荷载较远的主梁,荷载距其较近的主梁作用效果更加明显,所以随着荷载逐渐远离主梁,最大静位移和最大动位移会越来越小.但冲击系数的变化却恰恰相反,即荷载离主梁位置越近,相应的冲击系数反而越小.

现将纵向两车工况中的车辆纵向间距设为单一变量,给定车速25 m·s-1,路面等级为B级,以研究车辆纵向间距对第一、二跨跨中冲击系数的影响,结果如图10、11所示.

图10 不同车辆间距下的冲击系数(纵向两车工况)Fig.10 Impact coefficients with different vehicle spacing(longitudinal two-vehicle condition)

图11 不同车辆间距下的振动响应(纵向两车工况)Fig.11 Vibration response with different vehicle spacing(longitudinal two-vehicle condition)

从以上结果可以看出：当车辆间距小于12 m时,随着车辆间距的增大,第一跨跨中振动响应逐渐减小,而其冲击系数曲线则绕同车速单车工况的冲击系数变化曲线振荡；当车辆间距大于12 m时,最大静位移和最大动位移趋于定值,冲击系数逐渐逼近单车工况下的冲击系数.对于第二跨,当车辆间距小于20 m时,随着车辆间距的增大,跨中振动响应呈下降态势,当车辆间距在20～36 m时,振动响应略有增大,当车辆间距达到36 m时,振动响应不再变化；相应地,其冲击系数曲线先在单车工况的冲击系数之上来回波动,之后逐渐趋于定值.

当车辆间距不超过某一定值时,前后两车对桥梁同一位置的振动响应会因彼此不同步而产生削弱或加强,由于桥面是连续的,因此即使两车由于间距增大,所在桥跨不同,一定范围内仍会产生上述的影响,且研究的位置距车辆起点越远,两车能够彼此影响的车距范围越大,因此冲击系数会来回波动；而由于两车的共同作用,最大静位移和最大动位移均大于单车时的结果；随着间距进一步增大,前后两车的相互影响程度逐渐减小而趋于单车工况,相应地,冲击系数及位移响应均逐渐逼近单车工况下的值.

2.5 路面不平整度对冲击系数的影响

为研究路面不平整度对冲击系数的影响,依旧采用2.2节3种工况中的车辆布置.给定车速25 m·s-1,路面等级分别为光滑、A级、B级和C级,对比分析3种工况下路面不平整度对第一、二跨跨中冲击系数的影响.不同路况下的冲击系数曲线如图12所示.

图12 不同路况下的冲击系数Fig.12 Impact coefficients with different road conditions

从图12中可以看出：随着路况变差,3种工况下的冲击系数均逐渐增大,且单车和横向两车工况的冲击系数随路面等级的变化规律相似,而纵向两车工况的冲击系数曲线根据所研究桥跨不同,或整体小于其他两种工况的结果,或整体大于其他两种工况的结果.由此可见,路面质量的好坏会对车辆的冲击效应产生很大影响.

3 结语

在路面不平整激励的影响下,建立多车车桥耦合振动方程,采用振型分解法并结合Newmak-β算法求解连续梁桥的振动响应,对比分析在单车、横向两车和纵向两车3种工况下各种因素对桥梁振动响应的影响,可得出以下结论.

1)两车工况下的桥梁各跨跨中最大动位移比单车工况下的最大动位移大.与单车工况类似,两车工况下的冲击系数并不随车辆速度的增大而单调增大,横向两车工况下的冲击系数与单车工况下的冲击系数接近,且为单车工况结果的0.4～1.3倍.纵向两车工况下的冲击系数围绕单车工况下的冲击系数上下波动,且为单车工况结果的0.037～43.887倍.

2)横向两车工况下的冲击系数随车辆间距的增大呈上升趋势,纵向两车工况下的冲击系数随车辆间距的增大而上下波动并逐渐趋于定值.桥梁位移响应随车辆间距的增大而减小.

3)随着路况变差,单车和两车工况下冲击系数的取值均逐渐增大,且单车和横向两车工况下的冲击系数变化规律相似.

4)车辆对桥梁的冲击效应不仅与车辆速度有关,还与所研究的桥跨、车辆间距、路面不平整度等因素有关.