关于离散型随机变量的分布律与分布函数的教学探讨

刘喜富

摘 要：离散型随机变量的分布律与分布函数是概率论与数理统计教学中的重要内容。如何根据分布律求解分布函数、或由分布函数反推分布律是教学过程中的重点与难点问题。本文通过几个简单的例题，对这方面的解题经验进行总结，便于学生学习掌握。

关键词：离散型随机变量;分布律;分布函数

概率论与数理统计课程是理工科、经管等相关专业的必修课程，其概念和定理较多并且抽象，如果按照课本先给出定理，再证其正确性，显得既突兀又枯燥，很难引起学生的兴趣。在学习一维随机变量和二维随机变量时，这两种随机变量的有关知识点是类似的平行结构。而一维随机变量相对简单，因此，通过知识点的对比，让学生融入探索过程，积极思考，既激发了学生学习的兴趣，培养了创新能力，又使其在研究中学到新知识，同时，又使他们获得一定的成就感，实在是一举数得的好事情。下面我们以概率论与数理统计中的分布函数的求解为例，探究对学生学习能力的培养和创新意识的开发，对数学教学进行初步尝试和探索。

一、分布函数与分布律

分布函数能够完整地描述随机变量的统计规律性，并且分布函数具有良好的性质，它使许多概率论问题得以简化而归结为函数的运算，因此掌握好分布函数是研究随机变量的有效方法。

对于某个随机变量X，如果它的全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，则称X为一维离散型随机变量;如果二维随机变量（X， Y）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称（X， Y）为二维离散型随机变量。通常，对于离散型随机变量，其概率分布通常用分布律来刻画，已知分布律可以求分布函数，反之，已知分布函数便可以求分布律。因此，對于离散型随机变量，只要知道分布律或分布函数，它的概率分布就知道了。

在学习概率论与数理统计这门课程时，离散型随机变量的分布律相对容易获得，也容易由此得到一维离散型随机变量的分布函数，但是，很多学生对于如何求解二维离散型随机变量的联合分布函数却不知如何处理。本文通过实例讲解，如何在一维离散型随机变量的分布函数的原理之上求解二维离散型随机变量的分布函数。

然后，将任意一个x的区间与y的每一个区间组合，考察点（X， Y）落在该区域的情况。例如：

（1） 当时，无论y属于哪个区间，点（X， Y）都不会落在该区域;同理，对于时，也有一样的结果。因此，此时。

（2） 当，时，此时只有点落在该区域，于是;当，时，此时只有点和落在该区域，于是。

（3） 当，时，此时只有点和落在该区域，于是;当，时，所有点均落在该区域，于是。

二、结束语

本文首先从一维离散型随机变量的分布律出发，讲解了如何求其分布函数，其中的关键在于将X的可能取值作为区间的分段点，同时也分析了怎么由分布函数求分布律的问题。其次，对于二维离散型随机变量的联合分布函数，根据一维离散型随机变量分布函数的计算方法，分别将x和y进行分段，然后考虑两者的任意组合，进而得到其分布函数，并且也介绍了如何根据联合分布函数求其联合分布律。这些方法需要在学习过程通过实例加以练习，达到理解和掌握的目标。

参考文献

[1] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第四版）[M].北京：高等教育出版社， 2008.

[2] 茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社， 2004.