一类时间分数阶扩散方程及其差分问题的研究*

汪庆康

(广西师范大学 数学与统计学院，广西 桂林 541006)

0 引言

微分方程近来受到了数学和相关学科的高度关注，广泛地应用于物理学、通信工程等领域，然而一般分数阶偏微分方程的理论研究并没有达到完全成熟的阶段.在文[2]中研究了具有时间分数阶扩散波动方程

的Cauchy问题及其相关性质.

与分数阶微分方程理论方面的大量工作相比，关于它数值分析的研究还是很少的，Sanz-Serna在文[3]中提出了一种时间半离散算法，并证明了一阶收敛性；在文[4]中研究了方程

的差分形式及其相关性质.

本文首先研究了方程

初边值问题的解，通过利用变量分离法将其转化为另一种形式的微分方程，再利用Yurii Luchko和Rudolf Gorenflo在文[1]中的定理得出原方程的解.然后在已有知识的基础上将微分方程差分化，研究了差分形式的唯一可解性、稳定性和收敛性.

1 预备知识

本节主要介绍相关的概念及其解决后续问题所需的定理.

定义1[1]设α∈ℝ，在L1[a，b]上定义α阶分数阶Remann-Liouvlie积分算子，表示成

定义2[6]设α∈ℝ+，函数f(x)定义在[a，b]上，n是大于等于α的最小整数，则α阶Caputo分数阶导数定义为

定义3[1]函数f(x)，x>0，若存在实数p>α，α∈ℝ，使得

且f1(x)∈C([0，+∞))，则有f(x)∈Cα.

定义4[1]函数f(x)，x>0，f(x)∈Cmα，当且仅当f(m)(x)∈Cα.

定义5[7]多参数Mittag-Leffler函数定义为

其中系数

特别地，当n=1时

定理1[1]设μ>μ1> … >μi≥0，mi-1<μi≤mi，mi∈ ℕ0=ℕ ∪ {0}，λi∈ ℝ，i=1，…，n.初值问题

其中当μ∈ ℕ，g∈C-1，当μ∉ ℕ，g∈.则未知函数y(x)在中有唯一的解，其形为

其中

是问题(2)具有零初值条件的解，且

由定义5中(1)式给出.

其中lk，k=0，1，…，m-1由以下条件确定

如果mi≤k，i=1，…，m-1，则lk：=0；如果mi≥k+1，i=1，…，m-1，则lk：=n.

2 分数阶扩散方程的求解

本节主要研究如下分数阶扩散方程的初边值问题，其中0<α<1.

为了求非齐次边界问题(7)的解，我们令

其中w(x，t)满足

v(x，t)具有如下表达

其中

用分离变量法求齐次方程(10)的解(f(x，t)=0时)，设v(x，t)=X(x)T(t)满足方程，我们可以得到微分方程

对应特征函数为

假设非齐次方程的解是

为了确定Bn(t)，我们设级数(14)是可逐项微分的，将exp12xf(x，t)按特征函数展开成Fourier级数

则有

将(14)，(17)带入方程(10)可得

即

同时v(x，t)满足初始条件，我们有

于是

对于任意的n(n=1，2，…)，(19)和(21)构成一个分数阶微分方程的初值问题，由定理1可知方程的解为

其中

则(10)式的解为

于是(7)式的解是

3 分数阶扩散方程的差分形式

本节主要将方程(7)转化为差分形式，研究其数值解的相关性质.

3.1 差分形式的建立

引理1[4,8]设u(x，t)∈C4，2([0，L]×[0，T])，则有

其中c是正常数，aj=(j+1)1-α-j1-α，j=0，…，n-1；1≤i≤M-1，1≤n≤N.

考虑初边值条件有

引理2[9]设α∈ (0，1)，aj=(j+1)1-α-j1-α，j=0，1，2，…，则

(1-α)j-α

在(26)式中省略余项可得(7)式的差分形式

记 s=ταΓ(2-α).

3.2 唯一可解性

定理2 差分形式(27)是唯一可解的.

证明：记

由(27)我们知道u0已知，现在设前n个值u0，u1，…，un-1已唯一确定，则由(27)可得关于un的线性方程组.要证明它的唯一可解性，只需证明对应齐次方程组

有且仅有零解.

设 ‖un‖∞=||，其中in∈ {1，2，…，M-1}，将(29)改写为

上式中令i=in，并取绝对值，再利用三角不等式得

所以‖un‖∞=0，从而un=0.

由归纳法可知定理成立.

3.3 稳定性

定理3 设{|0≤i≤M，0≤n≤N}为差分方程

的解，则有

其中

证明：将(30)改写为

即

设 ‖un‖∞=||，其中in∈ {1，2，…，M-1}，上式中令i=in，并取绝对值，在利用三角不等式得

于是

由引理2知

从而

对不等式(31)由数学归纳法得

3.4 收敛性

定理4 设|0≤i≤M，0≤n≤N}是微分方程(7)的解，{uin|0≤i≤M，0≤n≤N}是差分形式(27)的解，令

则有

‖en‖∞≤c TαΓ(1-α)(τ2-α+h2)，1≤n≤N.

证明：(26)与(27)相减得误差方程

由定理3可知