分块矩阵的初等变换及应用

摘 要：分块矩阵是矩阵运算中极为重要的工具，将矩阵的初等变换及初等矩阵推广到分块矩阵，引出广义初等变换和广义初等矩阵的概念，对分块矩阵作广义初等变换，在求矩阵的行列式、逆、秩以及特征值等方面有着重要应用。

关键词：分块矩阵;广义初等变换;广义初等矩阵;应用

1 引言

矩阵是高等代数中最重要的内容之一，分块矩阵是处理矩阵问题重要而基本的工具，然而大多数理工科高等代数教材只有一节相关内容，介绍其概念和一些简单的计算，对其应用讲解得不多，部分高校教学也将其作为选学部分.事实上，矩阵的分块是处理级数较高矩阵的常用方法，将一个大矩阵看作是由一些小矩阵组成的，使得这些较高阶的矩阵化为较低阶矩阵，使原矩阵的结构变得简单清晰.特别在运算中，将这些小矩阵看作数来处理，降低运算繁琐程度.分块矩阵的广义初等变换在求矩阵的行列式、逆、秩及特征值中应用广泛，且容易理解和掌握，因此解决这类问题的关键在于如何对分块矩阵进行广义初等变换.本文主要讨论分块矩阵的广义初等变换在求矩阵的行列式、逆矩阵、秩以及特征值四个方面的应用.

4 结束语

作者在高等代数的学习过程中发现， 大多数高等代数教材对分块矩阵这部分内容的讲解较为基础，有的课本还是选学内容，因此我们在解决相关例题和习题时会比较困难，不知如何思考。而引入分块矩阵的广义初等变换后，往往会使很多问题大大简化。分块矩阵是处理高阶矩阵的重要工具，分块矩阵的广义初等变换具有一些好的性质，在遇到上述四种问题时，可优先考虑分块矩阵的广义初等变换快速解决问题，既避免了繁琐的表达式，又易于抓住重点。

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作者简介

胡文艺（1999-），女，四川内江人，四川师范大学数学科学学院2017级数学与应用数学专业本科在读，研究方向：分块矩阵的初等变化及应用。