t-UC模的若干等价刻画

李煜彦

（陇南师范高等专科学校数信学院，甘肃 陇南 742500）

引言

近年来，许多作者借助于 Gomez Pardo［1］在1985年提出的τ-本质子模的概念，进一步丰富了extending模的研究范畴（其中τ=（T，F）表示遗传挠理论）。若M的每个闭子模是M的直和因子，则称M是extending模。2011年，Asgari和 Haghany［2］利用 τ-本质子模引入了模M的维数，称其为M的 τ-秩。2012年，Ceken［3］和 Alkan［4］利用 τ-本质子模引入了 τ-extending模的概念，并研究了相关于挠理论的UC模，若模M的任意子模都存在唯一τ-本质闭包，则称M是τ-UC模。2014年，Albu［5］利用τ-本质子模证明了相对Ossofsky-Smith定理。2011年，Asgari和 Haghany［6］从 Goldie挠理论的角度研究了模M的t-本 质 子模和t-闭子模，证明了包含Z2（M）的t-闭子模是闭子模。2014年，Asgari［7］引入了t-闭包的概念，对于M的子模C以及非奇异子模A，证明了C是A的t-闭包的条件是当且仅当C是A的本质闭包，同时他们还研究了M的任意子模的t-闭包的存在性。随后，2014至2019年期间，Asgari等人［8-10］利用t-本质子模又相继研究了t-半单模、t-连续模和t-拟连续模，并分别证明了M是t-半单模（t-连续模，t-拟连续模）当且仅当M=Z2（M）⊕M′，其中M′是非奇异的半单模（连续模、拟连续模）。

受以上文献的启发，一个很自然的问题是：什么情况下模M的任意子模都存在唯一t-闭包？解决上述问题并如何与t-extending模建立联系是研究问题的难点。本文把任意子模都存在唯一t-闭包的模称为t-UC模。利用环模理论的研究方法，进一步对UC模和τ-UC模进行了推广，讨论了t-UC模的若干等价刻画，研究了t-UC模关于子模和商模的封闭性。与研究τ-UC模不同的是，本文给出了t-UC模未必是UC模的例子，这充分说明了研究t-UC模的必要性。

本文中的环都是有单位元的结合环，模指酉右R-模。令Z（M）=｛m∈≤eRR｝，称Z（M）为M的奇异子模。若Z（M）=M（或Z（M）=0），则称M是奇异（或非奇异）的。用Z2（M）表示M的第二奇异子模，其中。由文献［5］可知，Z2（M）=｛m∈≤tesRR｝。若f：M→N是R-同态映射，则f（Z（M））≤Z（N），故f（Z2（M））≤Z2（N）。设A≤M，则Z（A）=A∩Z（M），故Z2（A）=A∩Z2（M）。对于R-模族 ｛Mλ｝λ∈Λ，有Z（⊕λ∈ΛMλ）=⊕λ∈ΛZ（Mλ），故Z2（⊕λ∈ΛMλ）=⊕λ∈ΛZ2（Mλ）。若Z2（M）=M，则称模M是Z2-挠的。若Z2（RR）=R，则称环R是Z2-挠的。M的子模N是Z2-挠的，当且仅当N≤Z2（M）。众所周知0，Z2-挠模构成的类关于子模、商模、直和以及扩张是封闭的。用N≤eM表示N是M的本质子模。

1 定义和引理

定义1［6］设N≤M，称N是M的t-本质子模，是指对任意A≤M，若N∩A≤Z2（M），则A≤Z2（M），记为N≤tes M，此时也称M是N的t-本质扩张。

定义2［6］设C≤M，称C是M的t-闭子模，是指若C≤tesC′≤M，则C=C′，记为C≤tc M。设A≤B≤M，若B≤tesA且A≤tc M，则称A是B在M中的t-闭包。

定义3［6］称M是t-extending模，则M需满足如下等价条件之一：

（1）M的任意t-闭子模都是M的直和因子。

（2）M=Z2（M）⊕M′，其中M′是非奇异的extending模。

（3）M的包含Z2（M）任意子模是其直和因子的本质子模。

（4）M的任意子模是其直和因子的t-本质子模。

定义4［3］若M的任意子模在M中都存在唯一的本质闭包，则称M是UC模。

下面给出t-UC模的概念。

定义5若M的任意子模在M中都存在唯一的t-闭包，则称M是t-UC模。

由文献［3-4，6］易得下面结论。

引理1设M是模，则以下几条成立：

（1）若M是τ-挠自由模（即τ（M）=0），则M的τ-本质子模和本质子模是一致的，故当且仅当M是UC模，M是τ-UC模。

（2）若M是非奇异模（即Z（M）=0），则M的t-本质子模和本质子模是一致的，故当且仅当M是UC模，M是t-UC模。

（3）若M是 τ-挠自由且非奇异模（即 τ（M）=Z（M）=0），则M的τ-本质子模、t-本质子模和本质子模是一致的，故当且仅当M是τ-UC模当且仅当M是UC模，M是t-UC模。

（4）若M是Z2-挠模，则M是t-UC模。

下面例子说明t-UC模未必是UC模。

例1设p是一个素数则M是Z2-挠的，故M是t-UC模，但M不是UC模。

引理2［6］以下对模M等价：

（5）对任意m∈M＼Z2（M），存在r∈R，使得rm∈A＼Z2（A）。

引理3［7］设M、N是模，则以下结论成立：

（1）若A≤B≤M，则当且仅当A≤tesB且B≤tesM，A≤tesM。

（2）设f：M→N是R-同态映射。若A≤tesN，则f-1（A）≤tesM。

引理4［6］设C≤M，则以下等价：

引理5［7］M的任意子模都存在t-闭包。

显然，由引理4（4）可知，若C是M的t-闭子模，则C是M的闭子模。下面例子说明，闭子模未必是t-闭子模。

（4）Z2（M）≤C且C在M中是闭的。

（5）C是M的非奇异子模的补。

例2设M=，N=Z（1+2Z，2+23Z）。由文献［3］知，N不是M的本质子模，但N≤tesM；且N是M的闭子模，但N不是t-闭子模。

2 主要结果

先给出t-本质子模的几个命题。

命题1设M是模，N、L≤M。若N⊆L且N≤tesM，则L≤tesM。

证明设K≤M，L∩K≤Z2（M），则N∩K⊆L∩K≤Z2（M）。因为N≤tesM，所以K≤Z2（M）。

命题3设M是t-UC模，A，B，C≤M。若A是B在M中的t-闭包，且B≤tesC，则C⊆A。

证明若A是B在M中的t-闭包，则B≤tesA≤tc M。设D是C在M中的t-闭包，则C≤tesD≤tc M。由引理3知，B≤tesD≤tc M，因此D是B在M中的t-闭包。因为M是t-UC模，所以A=D，从而C⊆A。

下面给出t-UC模等价刻画。

定理1设M是模，A、A′、B、B′≤M。则以下等价：

（1）M是t-UC模。

（2）若A≤tesA′、B≤tesB′，则A+B≤tesA′+B′。

（3）设 {Ai}i∈I是M的子模族。若Ai≤tesBi（∀i∈I），则 ∑≤tes∑。

（4）若A∩A′≤tesA、A∩A′≤tesA′以及B∩B′≤tesB′、B∩B′≤tesB，则（A+B）∩（A′∩B′）≤tesA+B且 （A+B）∩ （A′∩B′）≤tesA′+B′。

（5）若A∩B≤tesB，则A≤tesA+B。

证明（1）⇒（2）。设C是A+B在M中的t-闭包，D是A在C中的t-闭包。则C≤tc M且D≤tc C，由文献［6］推论2.8知，D≤tc M。由命题3知，A′⊆D，故A′⊆C，同理可证B′⊆C。于是由A′+B′⊆C以及A+B≤tesC，可得A+B≤tesA′+B′。

（2）⇒（3）。设L≤ ∑i∈IBi且 （∑i∈IAi）∩L⊆Z2（∑i∈IBi）。设x∈L，则存在I的有限子集F以及xi∈Bi，使得x=∑i∈Fxi。于是 （∑i∈FAi）∩xR⊆Z2（∑i∈FBi）。由定理 1（2）知，∑i∈FAi≤tes∑i∈FBi，故xR⊆Z2（∑i∈FBi），因此x∈ Z2（∑i∈IBi）。从而

（3）⇒（4）。设A∩A′≤tesA、A∩A′≤tesA′以及B∩B′≤tesB′、B∩B′≤tesB，则由定理1（3）知，（A∩A′）+（B∩B′）≤tesA+B且（A∩A′）+（B∩B′）≤tesA′+B′。由于 （A∩A′）+（B∩B′）⊆（A+B）∩（A′+B′），由命题1知，（A+B）∩（A′∩B′）≤tesA+B且（A+B）∩（A′∩B′）≤tesA′+B′。

（4）⇒（5）易证。

（5）⇒（1）。设N≤M，A和A′都是N在M中的t-闭包，则N≤tesA≤tc M，N≤tesA′≤tc M。因为N⊆A∩A′，由命题 1知，A∩A′≤tesA′。于是由定理 1（5）知，A≤tesA+A′，从而A=A+A′，故A′⊆A。同理可证A⊆A′。从而A=A′，即M是t-UC模。

对任意N≤M，令｛m∈M|N∩mR≤tesmR｝。下面说明M是t-UC模与是M的子模是等价的。

定理2M是t-UC模是当且仅当对任意N≤M，｛m∈∩mR≤mR｝是M的子模。此时，tes=｛m∈≤tesN+mR｝且是N在M中的唯一t-闭包。

证明必要性。设M是t-UC模，N≤M。由定理1（5）知，m∈当且仅当N≤tesN+mR。设x1、x2∈，r∈R，则N≤tesN+x1R，N≤tesN+x2R。于是由定理1（2）知，N≤tesN+x1R+x2R。而由N≤N+（x1+x2r）R≤N+x1R+x2R以及文献［7］推论 1.2知，N≤tesN+（x1+x2r）R。从而x1+x2r∈，即≤M。

充分性。设任意N≤M，都有≤M。先证。设L，且满足L∩N≤tesZ2（）。对任意x∈L，则N∩xR≤tesxR，故（N∩xR）∩xR≤Z2（）∩xR=Z2（xR）。于是xR是Z2-挠的，因此x∈Z2（），从而N≤tes。再证是N在M中的唯一t-闭包。设N≤tesH≤tc M，对任意h∈H，由文献［7］知，N∩hR≤teshR，故h∈，因此N≤H≤。由文献［7］推论1.2知，H≤tes。故，即是N在M中的唯一t-闭包。所以M是t-UC模。

由定理1和定理2，可得出t-UC模关于子模具有遗传性质。

定理3M是t-UC模当且仅当M的任意子模是t-UC模。

证明必要性。对任意N≤M，证明N是t-UC模。设L≤N，W和W′都是L在N中的t-闭包，则L≤tesW≤tc M，L≤tesW′≤tc M。因为M是t-UC模，由定理1知，L≤tesW∩W′。由命题1知，W≤tesW+W′，W′≤tesW+W′。因此W=W+W′=W′，从而N是t-UC模。

充分性。设对任意N≤M，N是t-UC模。设A、A′、B、B′≤M，且满足A≤tesA′，B≤tesB′。由定理1（2）知，下面只需证A+B≤tesA′+B′。设W≤tesA′+B′且W∩（A+B）⊆Z2（A′+B′），则对任意x∈W，x=a+b，其中a∈A′，b∈B′。令C=aR+bR，则A∩C≤tesA′∩C，B∩C≤tesB′∩C。由于C是t-UC模，由定理1知，（A∩C）+（B∩C）≤tes（A′∩C）+（B′∩C）。又因为xR∩ （（A∩C）+（B∩C））⊆Z2（A′+B′）∩（（A′∩C）+（B′∩C））=Z2（（A′∩C）+（B′∩C）），所以xR⊆Z2（（A′∩C）+（B′∩C））⊆Z2（A′+B′），即x∈Z2（A′+B′），于是W⊆Z2（A′+B′）。从而有A+B≤tesA′+B′。

下面结论说明满足一定条件的t-UC模关于商模是封闭的。

推论1设N≤M。若M是t-UC模，N是M的t-闭子模，则：

证明（1）设N≤W≤M，N≤W≤M，使得和12中都是t-闭的。由文献［6］引理2.5（3）知，W1和W2在M中都是t-闭的。由定理2，W1∩W2在M中是t-闭的。因此由文献［6］引理2.5（3）知，在中是t-闭的。由定理2，是t-UC模。

（2）由于N是M的t-闭子模，由引理4知，是非奇异的，由（1）知，是t-UC模。

最后，在t-UC模前提下，给出t-extending模等价条件。

定理4 设M=⊕i∈IMi。若M是t-UC模，则以下等价：

（1）M是t-extending模。

（2）对任意i∈I，Mi是t-extending模，并且对任意K≤tc M，若K∩Mi⊆Z2（M）（i∈I），则K是M的直和因子。

证明（1）⇒（2）。设M是t-extending模，由文献［6］知，t-extending模的任意直和因子都是t-extending模，故（2）成立。

（2）⇒（1）。设对任意i∈I，Mi是t-extending模。对任意N≤tc M，由文献［6］知，N∩Mi≤tc Mi（∀i∈I），故对任意i∈I，N∩Mi是Mi的直和因子，于是存在Li≤Mi，使得Mi=（N∩Mi）⊕Li。因此M=⊕i∈IMi=（⊕i∈I（N∩Mi））⊕（⊕i∈ILi）=H⊕L，其中H=⊕i∈I（N∩Mi），L=⊕i∈ILi。于是N=N∩M=N∩（H⊕L）=H⊕（N∩L）。设K≤tc N，且满足N∩L≤tes K。由文献［6］知，K≤tc M。因为K=K∩（H⊕（N∩L））=（K∩H）⊕（N∩L），由文献［7］知，0=（K∩H）∩（N∩L）≤tesK∩H，所以K∩H⊆Z2（M）。下证K∩Mi⊆Z2（M）。设m∈K∩Mi，则m=a+b，其中a∈K∩H，b∈N∩L。因为K∩L≤Z2（M），所以存在I≤tes R，使得aI=0。于是（m-b）I=0，mI=bI∈（N∩L）∩Mi=0。从而b∈Z2（N∩L）=0，即m=a∈Z2（M）。由（2）知，K是M的直和因子，故N∩L是L的直和因子。从而N是M的直和因子。

3 结束语

extending模及其相关问题的研究是近年来环模理论的研究热点，研究成果受到了许多作者的关注。本文基于Asgari和Ceken等人引入的t-本质子模和t-UC模的概念，利用环模理论的研究方法，给出了环R上模M的一些刻画，使得M的每个子模有唯一的t-闭包。比较t-UC模、τ-UC模和UC模发现，当M是τ-挠自由且非奇异模时，M是t-UC模的前提是当且仅当M是τ-UC模当且仅当M是UC模。本文举例说明了t-UC模未必是UC模，并讨论了t-UC模的若干等价刻画，证明了t-UC模关于子模和商模的封闭性。最后，建立了t-UC模和t-extending模之间的紧密联系。当M=⊕i∈IMi是t-UC模时，得到了M是t-extending模当且仅当对任意i∈I，Mi是t-extending模且对任意K≤tc M，若K∩Mi⊆Z2（M）（i∈I），则K是M的直和因子。