从数学好玩到玩好数学

侯军 王娅梅

摘    要：高中数学第一课应是一节数学内涵的“欣赏课”，一节学生数学情感的“重塑课”.教师应该带领学生一起玩转高中数学的概念、方法、思想等，让学生欣赏数学之美，体会数学之用，进而认识到学习数学的意义和价值，帮助学生破除“高中数学难学”的心理障碍和错误认识.

关键词：高中数学第一课;概念;方法;思想

高中数学第一课教什么？怎么教？不同的教师有不同的教学构想.笔者认为，高中数学第一课应是一节数学内涵的“欣赏课”，一节学生数学情感的“重塑课”.通过第一课的教学，教师带领学生一起玩转高中数学的概念、方法、思想等，让学生欣赏数学之美，体会数学之用，进而认识到学习数学的意义和价值，帮助学生破除“高中数学难学”的心理障碍和错误认识，从而使学生的思想向想要“玩好数学”（学好数学）转变.

一、情感激发：认识高中数学的“好玩”

2002 年7月，陈省身先生应《上海教育》邀请给广大青少年题词：数学好玩.不久，中科院院士田刚教授也题了四个字：玩好数学.一个简单的“玩”字渗透了两位老一辈数学家对青少年的勉励和期待[1].如何才能让学生玩转高中数学？入学第一课是关键.教师不妨带领学生先从认识“数学好玩”开始，通过这一过程使学生初步了解高中数学的知识内涵，进而向想要“玩好数学”转变.

（一）好玩的数学概念

数学在本质上是玩概念的，数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，其抽象的数学表征是学生步入高中面临的一个重要难题.数学教学实质上就是数学概念的教学，课堂活动或课后作业的布置都是为了深化概念的理解.刚刚步入高中的学生学习数学时常犯的一个错误就是忽视概念理解，陷入“套路式”解题模仿.故起始课教学中让学生认识数学概念的重要性是十分必要的.

【教学片段1】

面对新的教师，新的同学，学生往往比較拘谨，不敢表达，这无疑会影响教师教育教学的质量.故而，教师在课程导入时，不妨以集合的“确定性”为背景和学生开一个小玩笑.

班长：起立！

学生：老师好！

教师笑语：同学们好！请所有长头发的同学站一下，其余同学请坐下.（停顿几秒给学生思考）

教师继续：（目测包含所有站着的学生）请站着的同学中身高低于2米的坐下.

【设计说明】意在建立学生对集合概念的感性认识.“长头发”的不确定性引发学生思考：多长的头发算长头发？部分头发较长的女生不知所措，有的男生也在纠结自己的坐与站的问题.教师快速追加坐下的条件“身高低于2米”，则所有站立的学生坐下，化解了这一部分学生的尴尬.课堂上，师生谈笑间拉近了心理的距离.

教师开始本节课的导入语：首先祝贺大家升入高中的学习，老师刚刚以高中数学中“集合” 的概念为背景和大家开了一个小玩笑.什么是集合？我们全班的全体同学可以是一个集合，全体的男同学或全体的女同学也都是一个集合，但所有长头发的同学不能构成一个集合，因为集合要满足其内在的个体（元素）是确定的.这也是引发部分同学不确定自己是坐还是站的原因，而站着的同学中“身高低于2米的同学”显然是能够确定的，它是一个集合.集合是现代数学的一个基本概念，也是我们高中数学学习的第一个概念.同学们在后续的学习中要注意数学概念的学习，概念的理解程度决定了我们数学学习的深度，也直接决定了数学解题水平的高低.

【设计说明】通过学生不难理解的集合概念，让学生体会数学概念在数学学习中的重要性.教学中，教师不必对集合的概念加以定义，以学生的感性认识理解即可，意在提升学生的学习兴趣和数学认知，也可留下悬念为后续正式学习集合相关知识铺垫情感因素.

【教学片段2】

问题1：比较[1.01365，1365，0.99365]之间的大小.

问题2：它们之间相差大吗？

【设计说明】问题1到问题2意在建立矛盾冲突，学生通过自己的直觉即可回答问题1，然而再用直觉判断问题2则会带来错误.事实上，教师引导学生使用科学计算器完成以上数据的计算，可得[1.01365=37.78343433289]，[0.99365=0.02551796445229].进一步的，教师运用Geogebra等动态可视化软件带领学生进一步观测不同指数、三个数值之间的差异，初步体会从函数的视角看数值的变化，简单了解函数的单调性及指数爆炸等数学概念.并引导学生思考：努力学习和不努力学习的差异，努力一周和一年、三年的差别.

（二）好玩的数学方法

数学方法即用数学语言表述事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形成对问题的解释、判断和预言的方法.数学方法是学习者解决具体问题的数学手段，是数学概念应用于解题过程的显化.教师在起始课教学中，不妨让学生初步感受高中数学中常见的数学方法.例如基于“二分法”设计的猜数字游戏，再如基于“算两次”设计一些代数或几何问题，以提高学生对数学方法的理性认识.需要注意的是，问题设计应贴合学生认知水平，不可超出学生的“最近发展区”.下面是基于作差法比较大小的第一课教学片段.

【教学片段3】

一个唱片商店里，有两类唱片，其中30张老式硬唱片一块钱2张，另外30张唱片是一块钱3张.那天，这60张唱片全卖完时，老板经过计算，30张一块钱2张的唱片共卖15元，30张一块钱3张的唱片共卖10元，总共是25元.第二天老板又拿出这样的60张唱片，他想何必自找麻烦来分唱片？30张老唱片是一块钱2张，另30张一块钱3张，何不把60张唱片放在一起，按2块钱5张来卖？这一天60张唱片全按2块钱5张卖出去了，可是老板点钱时发现只卖得24元，不是25元，这1元钱到哪儿去了？老板百思不解，你能帮助分析原因吗？

现实生活中，市场上经常有两种物品混合售卖的情况，例如水果的混合、瓜子的混合、糖果的混合等等，商家如何搭配销售才能赢利？

我们可以利用数学方法作如下更一般性的分析，请同学们思考以下问题.

问题1：假设价格较高的甲商品买[a]单位需要[b]元， 价格较低的乙商品买[c]单位需要[d]元，则甲、乙两种商品单价分别为多少？

学生：甲商品单价为[ba]元/单位，乙商品单价为[dc]元/单位.

问题2：两种商品混合后的售价为多少？（取平均售价）

学生：两种商品混合后的售价为：[21ba+1dc=2ab+cd=2bdad+bc].

教师：故只需比较混合后的销售额：[2bdad+bc（a+c）] ，未进行搭配的销售额为[b+d].

问题3：回到上面的唱片案例，可知[a=30，b=15，c=30，d=10]，故混合后的销售额：[2bdad+bc（a+c）=24]，未进行搭配的销售额为[b+d=25]，搭配销售亏了1元钱.怎样才能赚钱或不亏呢？（启发学生比较大小）

学生：显然[ba>dc]，即[bc>ad]，

两种销售方式的额差为[（b+d）-2bd（a+c）ad+bc=（d-b）（ad-bc）ad+bc]

因为[bc>ad]  ∴[ad-bc<0]，

当[b>d]时，搭配销售吃亏;当[b=d]时，搭配前后一致;当[b

【设计说明】以问题串的形式让学生的思考层层递进，案例中主要体现了高中常见的作差比较法，通过对现实生活中实际问题的解决，让学生体会数学方法对解决问题的重要性，理解学好数学的现实意义.

（三）好玩的数学思想

数学思想是数学的灵魂，教师通过对数学思想的介绍，能让学生领会知识背后的数学思维方式.常见的数学思想有数学结合思想、函数思想、分类讨论思想、极限思想等[2].

【教学片段4】

数学实验：请学生在移动端的GeoGebra上打开老师做好的旋转体实验平台（初始几何体为圆柱，如图1），通过调整几何体上、下底面半径、高度[h]三个参数進行如下实验.

实验一：当上底面半径逐渐接近于[0]时，图形是怎样变化的？（见图2）

实验二：当上下底面不相等时，图形是怎样的？（见图3）

实验三：当几何体的高度[h]逐渐接近于[0]时，图形是怎样变化的？

【设计说明】学生亲自动手操作，体会几何图形动态的变化过程.图形之间从量变到质变的转换可以使学生直观感知极限思想的内涵.值得一提的是，GeoGebra可以360度查看几何体各个视角的形态，这为学生建立几何直观提供了强有力的技术支持.例如，图4是实验三的正视图，图5是俯视图.

【教学片段5】

题目   用函数思想证明一道高考题.（2013年全国高考数学理科新课标Ⅱ卷第23题）

设[a，b，c]均为正数，且[a+b+c=1]，证明：[ab+bc+ca≤13].

证明：由[a+b+c=1]得[c=1-a-b]，

所以[ab+bc+ca-13=ab+][b][1-a-b][+1-a-ba-13]

[=-b2+1-ab-a2+a-13]，

令[y=-b2+1-ab-a2+a-13]，

因为[Δ = 1-a2 + 4 -a2+a-13 =]

[-3a-132≤0]，

所以[ab+bc+ca-13≤0]，故[ab+bc+ca≤13].

【设计说明】在没有运用高中数学知识的前提下完成一道高考真题，这样的成就感无疑为学生进一步的学习数学打了一针“强心剂”，也能让学生认识到数学思想的无限魅力.其中对于[y=-b2+1-ab-a2+a-13]的理解需要教师进行适当的指导.

二、学法指导：如何“玩好”高中数学

学会学习是高中数学教学的一个重要隐性目标，教师不仅要教给学生必要的考试知识，更要教会学生如何学习数学.第一课中，从“数学好玩”到“玩好数学”的过程本质上恰是从授之以“欲”到授之以“渔”的过程.教师在带领学生完成“数学好玩”的体验过程后可趁热打铁指导学生“玩好数学”，相信学生必能听之信之.

（一） 数学运算重推理，听课过程听“分析”

初中阶段的数学运算普遍是技巧层面的代数变形，且运算难度小，高中阶段的数学运算则普遍是带有逻辑推理的运算，且运算量较大.算不对、算不准也就成了高中生学习数学的常态.故在第一课教学中，教师有必要在课堂教学中展示一些往届学生的数学作业或答题卡的解题图片，通过展示不同水平毕业生的解题图片让学生认识到苦练数学运算的重要性.

数学学习过程外显的是知识的汲取，内隐的却是思维的培养.不同于初中阶段的数学学习，高中阶段，学生听得懂教师所讲的数学知识，但自己独立运用的时候却往往又不会解题了.其主要原因是学生的听课方式不正确，习惯性地关注教师解题步骤的书写过程，而对教师分析问题（暴露思维）的过程重视不够.故在第一课教学中，教师需指导学生高中数学听课的关键要点——听“分析”，即重视听教师分析怎样“想问题”，听教师分析概念、定理、公式内在的知识内涵或思想方法.

（二） 坚定信念苦钻研，善于纠错勤复习

数学解题不仅需要扎实的基础，更需要坚定的信念.高中数学学习过程中，学生遇到难题需要花费较多的时间去思考，要求学生具有坚定的信念和刻苦钻研的精神.故教师在授课时可介绍一些著名数学家的个人事迹或身边学生刻苦学习获得好成绩的成功案例，以激励学生学习的斗志.最后，教师还需指导学生高效整理笔记、错题的方法以及养成科学复习的好习惯.

高中数学第一课的教学中，认识“数学好玩”立足于学生数学学习兴趣的培养、学生数学情感重塑这两个层面，而如何“玩好数学”则是针对学生学习方法的指导和学习习惯的建议.高中阶段培育学生的核心素养首先在于育“情”（对数学的态度、兴趣、学习意志等），有“情”的学生才能在日积月累的数学学习中不断地思考、积累、探索，才能真正地“玩好数学”，才能实现“会用数学的眼光看世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”的目标.

参考文献：

[1]谢玉娓.情智数学：数学好玩，玩好数学[J].中国教师，2015（10）：71-74.

[2]侯军.叩两端而执其中，探极限而露本质[J].高中数学教与学，2017（10）：16-18.