Caputo 型分数阶导数的一个离散格式

孙轶男 徐晓明 冯立婷

（东北大学，辽宁 沈阳110004）

1 Caputo 型分数阶导数的离散格式

考虑只有时间t 得Caputo 型分数阶导数的离散。

引入如下记号

在节点tn处由（1）可以得到

在[tk-1，tk]对u 作Hermite 插值，则

显然有

将H"2，ku（t）代替u"带入（2）得

误差函数为：

令

由于

那么，由（5）有

应用分步求和公式

得：

令yk=u'k，k=1，2…n，由（8）有

我们知道其中误差函数将（10）带入（9）整理

其中误差函数

2 离散格式的误差

对于二次多项式H2，ku（t），它的误差函数RH，k（t）=u（t）-H2，ku（t），1≤k≤N，有

将（14）带入（6）

由于

我们有

由于

再将（11），（15）带入（13）放缩整理有

3 结论

本文针对只含有时间t 的Caputo 型分数阶导数，为分数阶导数的离散提供了一个新的来源，并得到了O（τ3-β）的收敛阶。利用本格式可以为以波动扩散方程为例的分数阶偏微分方程提供新的差分格式，并得到收敛性与稳定性分析。