为“错”说理

□ 郜舒竹

在某培训机构的网络课程中，看到一个一年级小学生的错题讲解。题目是：“小猴子说：我吃了3个桃子，还剩下4 个桃子，原来有多少个桃子？”学生的答案为：7-3=4（个）（如图1）。

图1 学生“错”题

教师讲解的大意是，这样列式计算是错误的，正确答案应当是“3+4=7（个）”。此类“加减混淆”的现象在低年级学生中极其普遍，这是不同于教师预设的生成，不妨叫作“异样生成”。如今的教学倡导“变教为学”，将以教师教的活动为主的课堂教学，改变为以学生学习活动为主的课堂教学。主旨是“育人为本，活动中心，多样生成”。育人为本是实施教学的指导思想，活动中心是践行指导思想的途径与方法，多样生成是活动中心教学必然的结果。多样生成自然包括异样生成，教师在“变教为学”教学改革中面临的一个挑战，就是如何面对异样生成。

一、如何看待异样生成

面对学生的异样生成，教师如果采用“是非分明”的态度，将不同于标准答案的生成一律视为“错误”，归因为学生“没学好、不认真听讲”或“粗心、马虎、不认真”，简单地让学生对照标准答案改错，在学生面前表现出“愤怒+指责+厌恶”，那么带给学生的自然是“恐惧+盲从+气馁”的负面效应。

学生学习过程中出现不同于预设的异样生成，是正常的，还是反常的？是好事情，还是坏事情？如果把异样生成视为学生经过自主思考产生的独特的、个性的想法，当然就是多样的，符合育人为本、活动中心的教学主旨。因此面对异样生成，包括错误，教师应当采取肯定和接纳的态度，异样生成可以成为研究学生思维规律的“数据（Data）”，进而成为教师的教学资源。这样的教学研究至少应当包括“辨别、解释、应用”三个方面的内容。

所谓“辨别”，就是需要回答“错没错”的问题。错没错的辨别标准，往往会以教科书或教学参考书、命题专家给出的标准答案为参照，简言之就是以成人事先预设为标准，而这样的标准明显具有主观性和局限性。学生的认知是复杂的过程，具有动态的过程性和多样的差异性。错误的答案可能蕴含着合理的思维，错误的过程可能得到正确的结果，独特的生成可能隐藏着创新的思维。因此，辨别错误应当站在学生的立场上，从学生的思维过程中寻找规律，寻找其合理成分。

在辨别的基础上解释学生的生成，指的是需要回答“为什么”的问题。任何事物都有存在的理由，任何现象都有出现的原因。学生的生成是认知过程的结果，这个结果必然与认知过程中的某些规律相关。努力寻找并发现这样的规律，为学生的生成找到原因，对于教师了解学生的学习认知规律，提升教学水平，无疑是重要的。

有了相对准确的辨别和解释，就可以应用生成开展学习活动的教学，让学生的生成包括错误，成为教学资源。让学生之间有机会交流、分享，让学生有机会自我反思，让学生能够在反思、交流中自我评价、自我否定。应当相信：

·生成是创新

·生成必多样

·生成是财富

二、“错误”的合理性

人的认知活动通常体现为三个方面：第一是对情境的感知；第二是在感知过程中头脑中无意识的判断；第三是符号表征。法国的格拉德·沃格诺德（Gérard Vergnaud）把这样三个方面的综合叫作“理解域（Conceptual Field）”[1]。就是说，感知、思维和表征三个过程并不是依照时间顺序进行的，而是交互着相互影响的。

前面“猴子吃桃”的情境，是在时间、空间和数量三个方面，体现运动与变化的“事件（Event）”。任何事件都有一个从始到终的过程，从时间顺序上涉及三个要素：起始状态、变化过程、终极状态。这三个要素表现在“猴子吃桃”情境中，分别为：

·起始状态：原有桃子

·变化过程：吃掉桃子

·终极状态：还剩桃子

如果把起始状态“原有桃子”的全体视为一个“类”，个别桃子视为“类”中的对象或元素，联系到熟悉的容器思维（容器图式），这个事件在头脑中的意境就成为：

·起始状态：容器中有物品

·变化过程：取出部分物品

·终极状态：还剩部分物品

应用格拉德·沃格诺德所说的理解域，头脑中会无意识地形成如下判断，容器中的物品数量：

·放入会增加

·取出会减少

“放入会增加”指的是起始状态和终极状态之间的数量关系，也就是如果变化过程是向容器中放入物品，那么终极状态的数量应当多于起始状态的数量。反过来说，起始状态的数量应当少于终极状态的数量。同样，“取出会减少”指的是终极状态的数量应当少于起始状态的数量，或起始状态的数量应当多于终极状态的数量。

格拉德·沃格诺德把这样在情境感知中，不知不觉的判断，叫作“行动中的定理（Theorem in Action）”，是支配后续行为的重要因素。头脑中形成了这种判断，接下来是用符号表征这样的事件。延续前面“放入会增加、取出会减少”的判断，自然推理出新的判断：

·增加应当用“加”

·减少应当用“减”

“猴子吃桃”事件与“从容器中取出”相对应，头脑中起支配作用的判断自然是容器中数量减少，减少应当用减法。这样的思维过程自然就会导致“7-3=4”的符号表征。

另外，用算式表征情境，相当于涉身认知中的“隐喻（Metaphor）”，指的是不同领域之间的“对应（Mapping）”，也可以认为是“类比（Analogy）”推理。这样的对应通常会遵循“同构（Isomorphism）”的对应原则（同构就是结构相同的意思），表现为三个方面的“一一对应（One-One Mapping）”：

·对象与对象对应

·动作与动作对应

·关系与关系对应

“猴子吃桃”情境中，“桃子”与“数”的对应可以认为是对象与对象的对应，“吃了”与“减”的对应是动作与动作的对应，情境中的时间顺序与符号表征从左到右的顺序保持一致，可以认为是关系与关系的对应。具体表现为，起始状态的“原有”与“被减数”对应，“吃了的桃子”与“减数”对应，终极状态的“还剩”与“差”对应，保持了事件“发生—发展—结束”的时间顺序，与算式中被减数、减号、减数、差从左向右的空间位置关系保持一致。这种在隐喻映射中保持不变的内容，在认知科学中叫作“不变量（Invariance 或 Uniformities）”[2]。

终极状态还剩还剩=4事件猴子吃桃容器算式起始状态原有原有7变化过程吃了取出-3

因此，这个对应完全符合“对象与对象、属性与属性、关系与关系”的同构原则。学生对于“猴子吃桃”问题列出算式“7-3=4”，符合涉身认知中隐喻思维规律。从时间顺序上说，是从起始开始，经历变化，到终极结束；从属性上说，是从多到少的变化过程；从事件发生、发展上说，是从开始到结束。可以用图2直观表示这样的隐喻过程。

图2 同构对应示意图

像这样同构对应的思维方式，在语言转换或互译中也很普遍。比如英语学习中“Nice to meet you”这句话，对于母语为汉语的中国人不会感觉困难，因为它与汉语“很高兴见到你”的字词及其顺序基本相同，也即英语表达与汉语表达相互之间的对应符合同构原则（如图3）。

图3 英—汉同构对应

中文的“谢谢你”转换为英文“Thank you”，如果“谢谢”对应“Thank”，“你”对应“You”，同样具有同构的对应，也很容易理解。反过来，中文中回应感谢时常说“不用谢”，在英文中就不存在具有同构对应的说法，回应“Thank you”时，不能说“Not thank”或“No thanks”。说法可能是“You are welcome”“It’s okey”“No problem”。

这些说法都无法与“不用谢”建立同构对应，自然就会成为英语学习的难点。因此可以说，同构对应思维会成为违背同构关系对象认知的障碍。这也就解释了在“猴子吃桃”情境中，为什么学生对“3+4=7”难以接受，原因就在于算式“3+4=7”，破坏了从情境到算式的同构对应。元素之间的对应，打乱了时间顺序关系以及数量增加、减少的属性变化规律（如图4）。

图4 非同构对应示意图

三、互逆关系

接下来的问题是，如何将算式“3+4=7”与“猴子吃桃”情境之间建立起合乎思维规律的联系？原题事件整个过程是由于“吃掉”，从而“减少”的过程，与符号表征“7-3=4”具有同构对应关系。而“3+4=7”需要想象反过来的过程，也即“补回”，进而“增加”的过程（如图5）。

图5 互逆过程示意图

这个反过来的过程在“猴子吃桃”事件中并未发生，属于“虚构（Fictive）”的事件，具有“想象（Imaginary）”的特征，把想象的过程用算式描述出来，实际是两步计算：

7-3+3

=4+3

=7

第一步“7-3=4”对应“吃掉”或“减少”3 个，还剩4 个；第二步“4+3”对应“补回”或“增加”3 个，得到原有桃子数量。这样的过程，对于一年级学生显然具有难以理解的复杂性。加与减作为运算的“互逆（Inversion）”关系，需要许多涉身活动经验的积累才有可能逐步理解。比如：

·前进 10 步后，倒退 10 步，回到原地。“前进”与“倒退”具有互逆关系。

·上学是从家到学校，下学就是原路返回，回到家中。“上学”与“下学”具有互逆关系。

·收拾书包准备上学是向书包中放入书本，到学校准备上课，从书包中取出书本。“放入”与“取出”具有互逆关系。

·工资的“收入”与消费的“支出”，具有互逆关系。

诸如此类的涉身活动，都可以成为隐喻加、减运算互逆关系的涉身经验。这种“增”与“减”的互逆关系，是沟通这两个运算联系的基本规律。数学家建构代数结构时，运算的互逆关系起着基础性的重要作用。

四、预见错误

通过解释学生的异样生成，可以帮助教师预测学生的认知困难以及可能出现的错误。以上案例分析可以得到一个结论：凡违背隐喻同构对应的现象，学生都会出现类似的理解困难，进而写出与教师期望不同的算式。将“猴子吃桃”推广到一般的事件，其基本结构可以用图6表示。

图6 一般事件示意图

从时间顺序关系上看，分别为起始状态在“前”，变化过程在“中”，终极状态在“后”。事件发生、发展的顺序遵从“从前到中”和“从中到后”规律。学生熟悉的问题自然是符合事件发生发展顺序的“知前想后”（如图7）：已知有7个桃子，小猴子吃了3个，还剩几个？可以轻易得到“7-3=4”的算式。

图7 “知前想后”示意图

前面“猴子吃桃”问题之所以难，是已知“中、后”，求“前”（如图8）。

图8 “知后想前”示意图

这相当于时间倒流，与学生熟悉的“知前想后”顺序相悖。如果题目更改为：有7 个桃子，小猴子吃了一些，还剩4 个，问小猴子吃了几个？信息结构为已知“前、后”，求“中”，同样破坏了事件的时间顺序（如图9）。

图9 “求中”示意图

可以预测，一定会有学生写出“7-3=4”的算式，而不是期望的“7-4=3”。原因就在于按照从左到右的顺序看，“7-3=4”符合题目叙述事件的顺序。有了这样的理解，就不难预测下面几个问题对于学生的难易程度，以及可能出现的异样生成。

·小明有5 块巧克力，需要增加多少块，才能拥有8块巧克力？

·小明有8 块巧克力，给了小红一些后还剩5块。小明给了小红多少块巧克力？

·小明有8 块巧克力，给了小红3 块。小明还剩多少块巧克力？

·小明有一些巧克力，小红给了小明3 块后，小明共有8块。小明最初有多少块巧克力？

五、情境与语言的复杂性

图10 整体与局部关系示意图

如果已知两个局部的数量，则运用加法可以计算出整体的数量。与之对应的减法问题就是知道整体和一个局部的数量，求另外一个局部的数量（如图 11）。

图11 已知整体求局部示意图

用文字叙述这个问题可以是：小明有8块巧克力，5 块是黑色的，其余是白色的。他有多少块白色的巧克力？

这种整体与局部关系的情境不涉及空间位置和时间顺序的变化，从结构上看相对单一。较为复杂且对于低龄学生不易理解的类型，是不同对象间进行比较与变换的数量关系，以及前面介绍的事件中运动与变化的类型。[3]会出现同样的算式对应不同的情境，以及同样的情境对应不同的语言表述的情况，表现出语言表述与情境的多样性和复杂性。

比较关系的故事情境需要有两个对象，各自的数量不同，因此就会出现“多多少”或者“少多少”的问题。比如对于“5+3=？”这样一个算式，可以对应下面不同的语言表征。

·小红有5 块巧克力，小明比小红多3 块。小明有多少块巧克力？

·小红有5 块巧克力，如果小明减少3 块就和小红一样多。小明有多少块巧克力？

还可以交换主语和宾语的位置叙述为：

·小红有5 块巧克力，比小明少3 块。小明有多少块巧克力？

·小红有5 块巧克力，如果小红再增加3 块就和小明一样多。小明有多少块巧克力？

利用加法和减法的互逆关系，从这些加法算式的情境，还可以衍生出用减法算式计算的情境。

·小明有8 块巧克力，小红有5 块巧克力。小明比小红多多少块巧克力？

·小明有8 块巧克力，小红有5 块巧克力。小明减少多少块就和小红一样多？

·小明有8 块巧克力，小红有5 块巧克力。小红比小明少多少块巧克力？

·小明有8 块巧克力，小红有5 块巧克力。小红需要得到多少块巧克力才能和小明一样多？

·小明有8 块巧克力，如果小红再得到3 块就和小明一样多。小红有多少块巧克力？

·小明有8 块巧克力，如果减少3 块就和小红一样多。小红有多少块巧克力？

表面看都是相同的情境，但由于语言表述以及顺序差异，会给学生带来不同的认知困难。因此“运算”作为一类数学学习活动，是多元的、复杂的。计算教学仅限于针对算式的算法和算理是远远不够的。把计算拓展为运算，把运算与涉身认知活动联系起来，实质是“情境、判断、符号”之间的互动过程。

在这样的过程中，学生会出现多样的生成，包括错误。教师应本着“育人为本”的指导思想，秉承“错误是必然的，错误是普遍的，错误是有理的，错误是有用的”信念，用宽容、接纳和研究的态度面对学生的异样生成和错误。

应当承认，我国社会目前对于基础教育中的学科教学的认识仍然囿于“应试”思维，“办老百姓满意的教育”就成为顺应这种思维的教育。评价学校教育质量看分数，评价教师教学质量看分数，教学“质量”的高低与“分数”的高低成了正比例关系。

在这样的现实中，家长、教师厌恶学生的“错”，是顺理成章的，因为“错”是“低分”的根源。因此，教学的改变需要时间，需要政府管理和评价的改变，需要家长乃至社会观念的改变，需要学校教学管理的改变，由此才有可能带来教师教学真正的改变。

作为最基层、最普通的教师，不妨从“收集、解释、应用”学生错误入手，让“错”发挥教学资源的作用，这样的做法或许会获得“素质教育”与“应试教育”的双丰收。