弱幻方的代数系统

2020-07-01 07:26刘兴祥刘娟娟

延安大学学报（自然科学版） 2020年2期

刘兴祥，刘娟娟，张婧

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安 716000)

幻阵学对研究代数的前沿问题有很大价值和影响，其中幻阵学的分支——弱幻方的定义及其代数系统前人还没有研究过。本文在幻阵学及抽象代数[1-7]的基础上，提出弱幻方的代数系统，对于丰富幻阵学与代数的研究内容，完善幻阵学与代数的框架体系具有重要意义。

1 弱幻方的相关定义

定义1 设F是数域，如果矩阵A=(aij)n×n满足

则称矩阵A称为数域F上的n阶弱和幻方，并称Sw为数域F上n阶弱和幻方A的弱幻和。

定义2 设F是数域，如果矩阵A=(aij)n×n∈Fn×n满足

则称矩阵A称为数域F上的n阶和幻方，并称Sm为数域F上n阶和幻方A的幻和。

定义3 设F是数域，如果矩阵A=(aij)n×n∈Fn×n满足

则称矩阵A称为数域F上的n阶弱积幻方，并称pw为数域F上n阶弱积幻方A的弱幻积。

定义4 设F是数域，如果矩阵A=(aij)n×n∈Fn×n满足

则称矩阵A称为数域F上的n阶积幻方，并称pm为数域F上n阶积幻方A的幻积。

定义5 设F是数域，如果矩阵A=(aij)n×n∈Fn×n满足

则称矩阵A称为数域F上的n阶弱和弱积幻方，并称pw为数域F上n阶弱和弱积幻方的弱幻积，Sw为数域F上n阶弱和弱积幻方的弱幻和。

定义6 设F是数域，如果矩阵A=(aij)n×n∈Fn×n满足

则称矩阵A称为数域F上的n阶和积幻方，并称p为数域F上n阶和积幻方的幻积，S为数域F上n阶和积幻方的幻和。

2 弱幻方的代数系统研究

定理1 设(S,+)是一个代数系统(半群、交换半群、群、交换群)，Mn(S)={A|A∈Sn×n，A是n阶弱和幻方}，对于Mn(S)中的矩阵定义如下二元运算⊕：∀A,B∈Mn(S),A⊕B=(aij+bij)n×n，则(Mn(S),⊕)是一个代数系统(半群、交换半群、群、交换群)。

证明对∀A=(aij)n×n∈Mn(S),

∀B=(bij)n×n∈Mn(S),∀C=(cij)n×n∈Mn(S)，

A⊕B=(aij+bij)n×n∈Mn(S)且

故所给二元运算⊕在Mn(S)上满足封闭性。

(A⊕B)⊕C=(aij+bij)n×n⊕(cij)n×n=

(aij+bij+cij)n×n=(aij)n×n⊕(bij+cij)n×n=

A⊕(B⊕C)，

故所给二元运算⊕在Mn(S)上满足结合律，因此Mn(S)是半群。

∀A∈Mn(S)，

因此O是Mn(S)中非零元A的单位元。

∀A∈Mn(S)，

-A⊕A=(-aij)n×n⊕(aij)n×n=

(-aij+aij)n×n=(0)n×n=O，

因此-A是Mn(S)中非零元A的逆元，因次(Mn(S),⊕)是群。

又因为矩阵加法对于交换律成立，即(Mn(S),⊕)是交换群。

(S,+)是一个代数系统，则(Mn(S),⊕)是一个代数系统证明完毕，其他证明同理可证。

推论1 设(S,+)是一个代数系统(半群、交换半群、群、交换群)，Mn(S)={A|A∈Sn×n，A是n阶和幻方}，对于Mn(S)中的矩阵定义如下二元运算⊕：∀A,B∈Mn(S),A⊕B=(aij)n×n⊕(bij)n×n=(aij+bij)n×n，则(Mn(S),⊕)是一个代数系统(半群、交换半群、群、交换群)。

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证明对∀A=(aij)n×n∈Mn(S),

∀B=(bij)n×n∈Mn(S),∀C=(cij)n×n∈Mn(S)，