基于能量法的水环境混凝土疲劳裂缝扩展模型

张秋宇，王立成

(大连理工大学 海岸和近海工程国家重点实验室，辽宁 大连 116024)

混凝土水坝、桥墩、近海结构物和海洋石油平台，常年承受外部疲劳荷载作用，疲劳荷载导致混凝土内裂缝不断萌生、扩展，加快了有害离子（氯离子和硫酸根离子等）在混凝土中的传输速度。同时，膨胀的硫酸盐产物会形成新的裂缝或促进裂缝的扩展，加速混凝土的损伤，大幅度降低结构的服役寿命[1-2]。由于服役于水环境中，结构除了承受外部疲劳荷载作用外，还会受到内部孔隙水压力的作用。当混凝土中的裂缝在疲劳荷载作用下不断萌生、扩展时，水分会在外界压力的作用下侵入裂缝，形成孔隙水压力，加速裂缝的扩展，导致混凝土服役寿命降低。Haynes等[3]首次研究了水压力对混凝土力学性能的影响，结果表明：当水压力为61 MPa时，混凝土的静态抗压强度降低了10%。谢京辉等[4-5]研究了孔隙水压力对混凝土动态力学性能的影响，结果表明：孔隙水压力在较大程度上提高了混凝土峰值应力的率敏感性，且历经0～200次孔隙水循环后，混凝土的峰值应力随循环次数增加呈现指数增加的趋势。因此，研究孔隙水压力对混凝土疲劳裂缝扩展的影响规律，建立水环境下混凝土疲劳裂缝的扩展模型，分析水环境中混凝土结构的服役寿命与劣化性能具有重要意义。

目前关于混凝土中孔隙水压力作用的研究，大多数学者采用力学分析方法，定性探讨了孔隙水压力对混凝土裂缝扩展及强度变化的影响规律。针对加载速率对湿态混凝土力学性能的影响分析，王海龙等[6-7]通过试验研究了不同加载速率对湿态混凝土强度的影响，发现当加载速率为1×10−6s−1时，饱和混凝土和干燥混凝土的抗压强度分别为34.13和35.73 MPa，即饱和混凝土抗压强度值较低；当加载速率为1×10−4s−1时，饱和混凝土和干燥混凝土的抗压强度分别为39.03和36.56 MPa，即干燥混凝土抗压强度值较低。上述试验结果表明：在快速加载条件下，由于混凝土中的裂缝扩展速率较快，裂缝中的自由水不容易达到缝尖，此时孔隙水的填充速率小于裂缝的张开速率，水会由于Stenfan效应，产生黏聚力并阻碍裂缝的扩展，此时孔隙水作用力为拉力，与裂缝的扩展方向相反；在慢速加载条件下，裂缝开展速率较慢，孔隙水到达裂缝尖端，起到“楔入”作用，加速了微裂缝的扩展（图1）[6]。黄长玲等[8]分析了孔隙水压力和孔隙率对饱和混凝土微裂缝的演化及宏观力学性能的影响，利用劈裂因子ζ来表征水压梯度对裂缝尖端的劈裂作用，提出了孔隙水压力和孔隙率影响下的Ⅰ型张开裂缝和Ⅱ型剪切裂缝的应力强度因子模型。除了采用力学分析方法外，能量法也是分析材料疲劳性能的一种普遍方法。材料疲劳损伤的产生、累积和材料的破坏都与疲劳过程中能量的吸收、耗散等密切相关。运用能量的观点可以分析疲劳损伤过程中的能量耗散和微结构演化等问题。它的优点在于方便计算，相关参数容易测定，而且能量耗散更能反映疲劳现象的不可逆热力学本质，因此能量法已经成为研究材料疲劳性能的重要方法。

对于不同受力状态下的混凝土，当承受压缩荷载时，裂缝的扩展方向垂直于加载方向；当承受拉伸荷载时，裂缝的扩展方向与加载方向相同。本文的研究重点是低频疲劳荷载对水环境下混凝土裂缝扩展的影响，因此孔隙水压力作用方向总是与裂缝扩展方向相同（垂直于压缩荷载方向，平行于拉伸荷载方向），如图2所示。文中采用能量分析方法，将疲劳裂缝扩展消耗的能量分为两部分，分别由低频疲劳荷载和水压力的提供，并结合能量释放率的概念，建立了低频疲劳荷载与孔隙水压力耦合作用下混凝土的裂缝扩展模型。

图 1 不同加载速度下裂缝中的水压力分布[6]Fig. 1 Sketch of water pressure in crack under different loading rates[6]

图 2 不同加载方式下裂缝中的水压力方向Fig. 2 Direction of water pressure in cracks under different loading modes

1 模型建立

能量法最初在1961年由Morrow[9]提出，他认为塑性功的累积是材料产生不可逆损伤进而导致疲劳破坏的主要原因。其核心是在每一次循环中，材料由于吸收了外界施加的能量，从而在其内部造成不可逆损伤，损伤程度与吸收能量成正比。损伤累积达到临界值时，材料便发生疲劳破坏。同时，材料达到疲劳破坏时所需的能量与外力加载方式无关。随后，不断有学者对疲劳损伤与能量耗散之间的关系进行研究，并提出了不同的观点[10-12]。本文基于Onoue等[11]和Lei等[12]的观点，将外部荷载和水分做功输入的能量分为弹性应变能、材料损伤耗散能和摩擦耗散能，即疲劳荷载和孔隙水压力共同作用下混凝土中的能量转化为：

式中：El为外荷载所做的功；Ew为裂缝中水分所做的功；Ee为弹性应变能；Ed为由于材料损伤引起的能量耗散；Eh为由于摩擦产生的能量耗散。

设裂缝体厚度为B，单位裂缝扩展所耗散的能量称为能量释放率，则能量释放率与各耗散能之间的计算式[13]为：

同时，基于线弹性断裂力学原理[14-16]，疲劳荷载作用下能量释放率与混凝土断裂韧度之间的关系式为：

式中：G为能量释放率；δa 为裂缝扩展长度；δW为外力所作的功；δU为弹性应变能变化；δU'为塑性应变能变化；δΓ为表面能变化；μ为剪切模量；v为泊松比；KIC为疲劳破坏时混凝土的断裂韧度。对于平面应力状态；对于平面应变状态，。

因此，单次低频疲劳荷载和孔隙水压力共同作用下混凝土中能量转化模型为：

式中：Δai为第 i 次加载过程中裂缝扩展长度；El−Ee为应力-应变曲线围成的面积（图3），即CaDbC围成的面积[11]，则：

式中：σi为第i次加载所对应的应力应变曲线；σi'为第i次卸载所对应的应力应变曲线；i为循环加载次数；εi为第 i次加载结束时对应的应变值；εi−1为第i次加载开始时对应的应变值，εi'为第i次卸载结束时对应的应变值。

图 3 疲劳荷载下混凝土应力-应变曲线[11]Fig. 3 Stress-strain curve of concrete under fatigue loading[11]

材料内部由于摩擦引起的热能耗散被称为热耗散，最早应用于金属材料研究中。热耗散是由晶体（晶粒）一部分相对另一部分的晶体剪切移动时产生的摩擦引起。另外在塑性变形期间，运动错位将产生原子震荡，使大部分能量转换为热，从而形成热耗散[10]。对于热能的测定方法，目前多数采用测定试件表面温度的方法[11]，不过由于热能耗散是由内至外的过程，且试件中的水分会吸收部分热量，因此试件表面温度低于内部温度，导致测定结果偏低。有研究[11,17-18]表明：在施加疲劳荷载过程中，总的耗散能在第1个循环中最大，然后随着循环次数的增加急速下降，最后趋于稳定。因此可以通过试验测定耗散能随加载次数增加的变化曲线，当耗散能趋于稳定时，取稳定值作为热能的近似值，即内摩擦引起的能量耗散可以采用下式计算：

式中：k为耗散能趋于稳定时循环加载次数。

在疲劳加卸载过程中，混凝土中的裂缝出现张开与闭合的现象。在张开过程中裂缝在孔隙水压力和外部荷载作用下不断扩展，此时裂缝中的水分起到了楔体的“楔入”作用[6-7]，减小了外部荷载在裂缝张开过程中的能量消耗，间接增大了作用于裂缝开裂和扩展的能量，加速混凝土的损伤和裂缝扩展。假设在疲劳加载过程中，裂缝均匀地向左右两个方向分离，则水压力做功为孔隙水压力与相应裂缝张开位移的乘积，且对于低频疲劳加载，由于裂缝与外界连通，因而裂缝中的孔隙水压力与外界水压力相等，此时裂缝扩展过程中水压力做功为：

式中：Σ∆а为卸载过程中闭合裂缝的长度；p为孔隙水压力，其表达式为p=σx，σ为裂缝中水分压应力，x为裂缝扩展值；wx为裂缝扩展x时对应的裂缝宽度值；2α为裂缝张开角度，假设在裂缝扩展过程中张开角度不发生变化。

将式（8）代入式（7）并进行积分可得：

将式（5），（6）和（9）代入式（4）可得：

根据式（10）可得单次低频疲劳荷载和孔隙水压力共同作用下混凝土裂缝扩展长度为：

式中：a0为裂缝的初始长度；N为疲劳加载循环次数；aN为疲劳加载N次后的裂缝长度。

2 模型验证

本文采用了文献[19-20]中疲劳荷载作用下三点弯曲梁裂缝扩展试验数据。文献[19]中制备试件的水泥是比重为3.15的标准硅酸盐水泥；细骨料为天然河砂，细度模数和比重分别为2.37和2.67；粗骨料采用比重为2.78的花岗岩碎石，最大粒径为12 mm。文中设计了4种不同的配合比，具体配合比见表1。试验用梁的尺寸为：跨度S×高度D×厚度B=190 mm×76 mm×50 mm，裂缝初始长度为15.2 mm，加载方式采用变幅疲劳荷载，每循环加载500次，疲劳荷载上限增加0.5 kN，直至试件疲劳破坏。基于文献[19]的试验数据，文献[20]提出了预测混凝土疲劳寿命的模型，得出了混凝土疲劳耗散能与裂缝扩展之间的关系。

表 1 混凝土配合比[19]Tab. 1 Details of mix proportion[19]

当混凝土中孔隙水压力为0时，式（13）退化到干燥混凝土裂缝扩展的计算：

随着断裂力学概念在混凝土上的应用，很多学者对混凝土的断裂性能进行了研究，并提出了很多断裂模型[13,21-23]，但是很多模型采用标准相对缝深（裂缝长度与梁高度的比值）作为试验参数，存在计算过于复杂的问题，考虑到试验[19-20]中梁相对缝深的非标准性以及计算的简便性，本文采用文献[13]中提出的静态荷载下混凝土失稳时断裂韧度Kun的计算式：

式中：Pun为混凝土加载过程中的最大荷载，取4 kN；ac为混凝土失稳时临界等效裂缝长度，取30 mm。

Perdikaris等[16]分别测定了疲劳荷载和静态荷载作用下混凝土断裂韧度值。通过对比静态荷载和疲劳荷载作用下混凝土断裂韧度值发现，疲劳荷载作用下混凝土断裂韧度约为静态荷载下混凝土断裂韧度的2～3倍。本文取2.5倍，则混凝土的疲劳断裂韧度KIC取3.525 MPa·m1/2，混凝土剪切模量μ取12 GPa，泊松比ν取0.15，裂缝厚度与试验梁相同，取50 mm。文献[24]中指出：如果物体是厚度均匀的薄板，且在某一方向上的应力均为零，则薄板的受力问题属于平面应力问题，因此式（14）中的ν'=ν=0.15。根据式（14）可得到干燥混凝土裂缝扩展的模型曲线，并将模型曲线与关于疲劳耗散能与裂缝扩展对应关系的试验数据[20]进行对比，图4为二者的对比结果。从图4中可以发现，模型曲线与试验数据较为吻合，但在相同耗散能情况下，试验数据中裂缝扩展值稍大于模型曲线值，这是因为试验数据中的混凝土并不是处于完全干燥状态，孔隙中还存在一定的水，在加载过程中孔隙中的水会对裂缝产生压力，加速裂缝的扩展。但是当裂缝长度为30 mm 时，试验数据与模型曲线差距较大，这是因为当裂缝长度为30 mm时，混凝土已经处于疲劳裂缝发展的第3阶段，即失稳扩展阶段。这个阶段裂缝扩展值随疲劳次数的增加而显著增大，试件迅速破坏。根据文献[13]所述，在混凝土裂缝发展的过程中应引入两个断裂控制参数（起裂断裂韧度和失稳断裂韧度）来判定裂缝的起裂和失稳。由于文中失稳数据点只有1个，为了简化计算，只引入了起裂断裂韧度作为控制参数计算疲劳荷载作用下的裂缝扩展值，因此出现上述试验数据和模拟曲线相差较大的现象。

图 4 干燥混凝土裂缝扩展与耗散能之间的关系Fig. 4 Relationship between crack propagation and dissipation energy in dry concrete

图 5 不同水压力下裂缝扩展与耗散能之间的关系Fig. 5 Relationship between crack propagation and dissipation energy under different pore water pressures

混凝土中裂缝扩展时消耗的能量包括生成裂缝时增加的表面能和非弹性效应（如塑性变形）消耗的能量[24]，当混凝土孔隙中存在一定的水分时，混凝土的断裂能会因水分表面张力的存在而降低[25]，因此孔隙水压力作用下混凝土单位面积裂缝扩展时消耗的能量为：

式中：G′为孔隙水压力作用下混凝土的能量释放率；Gd为混凝土干燥状态下的能量释放率；γw为水分表面表张力，取0.071 2 N/m；θ为水分与水泥基体的接触角，由于实际接触角很小，可取θ=0°。

假设混凝土分别处于深度为5，10，15和20 m的水环境中，此时环境水压力分别为0.05，0.10，0.15和0.20 MPa，即与外界连通的裂缝中孔隙水压力分别为0.05，0.10，0.15和0.20 MPa。利用本文提出的式（13）计算不同孔隙水压力与疲劳荷载耦合作用下裂缝扩展曲线，并与无孔隙水压力作用下的试验数据进行了比较，结果如图5所示。从图5可以看出，当存在孔隙水压力时，混凝土中的水分作为楔体“楔入”裂缝中[6-7]，增大了裂缝的扩展速率，降低了裂缝张开过程中的能量消耗，对裂缝的开裂扩展起到促进作用；同时，孔隙水压力越大，裂缝扩展速率越快，混凝土失效时荷载提供的能量越少。但当裂缝长度超过20 mm时，模型曲线与试验数据差距过大，原因可能是卸载过程中闭合裂缝中的水分没有完全排出导致。图6为卸载后理想状态下裂缝和实际中裂缝闭合示意图。从图6可见，理想状态下裂缝完全闭合后A1B1段中没有水分存在，但是实际情况下裂缝闭合后水分不会完全排出，如图6中 C1D1段所示。当再次加载时C1D1段中水分产生的黏聚力会阻碍裂缝张开，消耗用于裂缝开裂扩展的能量，阻碍裂缝的扩展。而本文模型中没有考虑到这点，因此出现模型曲线与试验数据在裂缝长度超过20 mm后差距过大的现象。

从图5还可发现，当裂缝长度达到30 mm时，试件发生失稳破坏，不同孔隙水压力作用下失稳破坏时的耗散能分别为 0.222 9 J（0 MPa），0.183 8 J（0.05 MPa），0.170 8 J（0.10 MPa），0.164 8 J（0.15 MPa）和 0.153 0 J（0.20 MPa）。图7[20]为试验梁加载次数与耗散能之间的关系，从图中可以得出不同孔隙水压力作用下试验梁疲劳寿命（最大加载循环次数）与耗散能之间的关系，进而得到孔隙水压力与疲劳寿命之间关系（见图8）。从图8可以看出，孔隙水压力降低了混凝土的疲劳寿命，且随着孔隙水压力的增大，混凝土的疲劳寿命逐渐降低。同时，由于水压力下疲劳裂缝扩展的相关论文并不多，因此并未找到类似的试验数据。基于此本文并未对水压力下疲劳裂缝扩展模拟进行验证，而是进行了参数分析。具体的试验论证将会在后续的研究中进行。

图 6 理想状态（左）和实际（右）闭合裂缝示意Fig. 6 Sketch of closed cracks in ideal (left) and actual (right)states

图 7 耗散能与疲劳循环次数的关系[20]Fig. 7 Relationship between dissipation energy and number of cycles[20]

图 8 孔隙水压力与混凝土疲劳寿命的关系Fig. 8 Relationship between pore water pressure and fatigue life of concrete

3 结 语

混凝土承受疲劳荷载作用时，孔隙中的水分会对疲劳裂缝的扩展产生影响，当裂缝张开时，孔隙水压力作用于裂缝表面，减小了外部荷载在这个过程中的能量消耗，间接增大了作用于裂缝开裂和扩展的能量，加速了疲劳裂缝的扩展。本文基于能量的可叠加原理，将裂缝扩展所消耗的能量分为疲劳荷载做功和水压力做功两个部分，并结合能量释放率的概念，建立了疲劳荷载与孔隙水压力耦合作用下混凝土裂缝扩展模型。通过与已有试验数据的对比发现，当孔隙水压力为0时，模拟曲线与试验数据具有较好的吻合性；当考虑疲劳荷载与孔隙水压力耦合作用时，孔隙水压力会在闭合裂缝张开的过程中起促进作用，减少荷载作用在裂缝张开过程中消耗的能量，间接增大裂缝开裂扩展过程中荷载提供的能量，导致裂缝扩展速率增大，且孔隙水压力越大，裂缝扩展速率越大，混凝土疲劳寿命越低。