凸显本质，发展代数思维

陈瑛

【摘要】当下对于方程的教学，紧扣书本定义的为多数，真正挖掘方程本质的并不多。张奠宙先生质疑书本定义，并给予替代性定义，直指方程的本质。为此，笔者通过方程教学实践的探索，尝试淡化方程的泛化定义，把握核心价值，凸显知识本质，让学生的代数思维不断走向深入，最终促进核心素养的发展。

【关键词】方程 本质 代数思维

现行小学数学教材中将方程定义为 “含有未知数的等式是方程”。 不少教师在教学中紧扣定义，从若干等式和不等式中让学生发现方程的特征，并在定义中寻找关键词“含有未知数” “等式”，认为只要符合以上两点，这个式子就是方程。这样的教学片面追求了方程的“形”，忽略了方程的本质。

一、叩问：方程的本质是什么

纵观苏教版、人教版、北师大版等教材，几乎一致定义：“含有未知数的等式是方程。”这句话意味着方程是等式里的一类特殊对象，“等式+含有未知数→方程”。如果教学只停留在这个程度，那只是表层与形式化的理解，但从长远来看，学生对方程的意义并不理解，这样的学习是有缺失的，不深刻的。比如，对于2x-x=x这样的等式，按照方程的字面含义，学生会默认为这就是方程，但这其实表示的是符号的运算，不是真正意义上的方程，它并未体现“求”未知数的过程。因此，对于方程的本质教师需要有明确的认识，教师的高度将直接决定学生思维的深度。

张奠宙先生也曾质疑这一定义，他认为方程概念的核心是“求”未知数，方程作为一种数学模型是为了去“解”的。为此，张奠宙先生给出了一个替代性定义：“方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。”笔者对这一定义深表赞同，他把方程的核心价值提炼出来了。方程意义的建构需要建立在对相等关系的理解上，这种相等关系不仅包括已知量和未知量之间的相等关系，也包含未知量与未知量之间的相等关系。这样的学习方式，不直奔结果，不停留在表象，而是深入本质，是动态深度的学习过程，对学生代数思维的培养及核心素养的提升较有帮助。

二、慎思：如何让学生对方程概念理解深刻

方程是学生从算术转入代数的第一次正式系统认识，这种认识的深刻与否将影响到学生后期列方程解决问题及初高中对于一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程，甚至是多元方程的理解与运用。小学阶段只学习简易方程，即只限于ax±b=c，ax±bx=c的方程。事实上，小学生在学习方程过程中会遇到实际困难，如不能很好理解已知数和未知数之间的平等关系;不能找准等量关系列出方程;不能正确区分恒等变换和同解变换等。鉴于此，方程的意义教学尤为关键，笔者认为可以从以下三方面帮助学生对方程概念的理解走向深刻。

1.寻找联结，孕伏渗透

方程所蕴含的代数思维并不是从这节课才开始建立，早在学生一年级起就已经进行了孕伏渗透，如一年级有形如：8+（   ）=10的填空。学生可以根据10的分与合及算加法想减法10-8=2等方式来解决问题，这是早期代数思维的启蒙，这种逆向思考对后续的求解方程具有很大的作用。到了五年级系统学习方程时，教师可充分寻找知识间的联结点，以熟悉的低年级情境引入，通过逆向求解和顺向列式的方式，让学生充分体会到算术和方程的联系与区别。

2.变逆为顺，深入核心

由于长期受算术思维的影响，学生解决问题的常用方式是算术表达。而方程是顺着题意，在已知量和未知量之间建立的等式关系。因此，学生只有正确寻找到题目中的等量关系，才能更好地列出方程，从而突破未知数的求解。

3.多元表征，丰富意义

随着方程学习的不断深入，练习的选择需要具有一定的典型性和深入性，直指知识的本质，让学生不断走向深度学习。此时，可以将书本习题进行改编重组，挖掘资源，凸显核心价值。如根据一幅图列出方程，学生在图中找到的等量关系不同，列出的方程也不同。此时将情境图范围缩减，变成简易关系图，让学生给这幅图赋予不同的情境，拓宽学生的思维。

三、实践：凸显核心的意义建构，让代数思维走向深入

如何把握方程的本质，让学生深入理解方程的概念？笔者进行了尝试：

片段一：勾连创造方程，初步体会属性

出示情境图：

师：一年级的题，你会吗？

生：太简单了，15-9=6。

师：一年级有个小朋友想不明白，他想顺着题目的意思，9加多少等于15呢？他想啊想，终于想出来了，9+6=15，但是看着这个算式又觉得怪怪的，答案不是15，是6呀。你能帮他想个辦法吗？

（教师引导学生用符号或字母表达，如9+□=15，9+（）=15，9+a=15，9+x=15……随后又呈现几个熟悉的情境图，通过逆向思维求解，通过顺向思维列出方程）

在这个过程中，学生经历了逆向思考求解问题、顺向思考列出方程的过程，从原有算术思维迈入代数思维，这个过程是学生亲自经历的，因此，对于方程的属性已有初步认识，同时随着题目的求解难度提高，越来越深刻地意识到用顺向思考列式更加简单，这无形中解决了学生不愿用方程解决问题的困惑。

片段二：建立等量模型，理解方程本质

学生借助天平先认识了平衡和不平衡两种现象，并聚焦到平衡关系中。根据天平平衡理解左右两边的质量是相等的，从而确定了其中的等量关系：2个20克砝码的质量+10克砝码的质量=50克砝码的质量。

师：你能用一个式子把这种相等关系表示出来吗？

生：20+20+10=50 或 20×2+

10=50

（学生通过这样的方式明确了如何寻找相等关系，并根据相等关系列出等式。随后小组内交流课前小研究，先说说相等关系再交流式子）

思考：每幅图中存在怎样的相等关系？

学生交流：

图一：相等关系：苹果的质量+梨的质量=200克砝码的质量+100克砝码的质量

式子：x+y=200+100

图二：相等关系：三本数学故事的价格=15.6元

式子：3a=15.6

图三：相等关系：甲车的速度×甲车行驶的时间=乙车的速度×乙车行驶的时间

式子：100×4=80×5

接着，将课始列出的式子与刚才的式子放在一起观察，明确把表示相等关系的数学式子称为等式。

师：同样都是等式，有什么不同？

指出：有些等式表示的是已知数之间的相等关系，而有些表示的是已知数和未知数之间的相等关系。像这些表示已知数和已知数相等关系的式子只是等式，而含有未知数的等式就是方程。

师：我们可以顺着题目的意思，带着一个或多个未知数，把相等关系用等式表示出来，这样的等式就是方程。

天平不仅体现了不同物体的质量关系，还能具体到称量物体的质量，将一种模糊的平衡或不平衡的状态，变得更精确、更具体，具体到可操作、可表达。因此，等量关系的难点突破从天平入手，从已知量间的平衡关系引出相等关系，构建已知量与已知量间的等量关系。随后出现一些常见的等量模型，让学生深入理解等量关系。这些图片中，出现了一些未知量，学生之前已经学过用字母表示数，因此，对于这些字母并不陌生，可借助等量关系列出相应等式。

在对比环节区分了等式和方程，同时结合一开始的顺向思维，将方程的概念进行了深入理解，此时，方程的定义呼之欲出，并不仅局限于字面，学生不仅知道方程是含有未知数的，并且是等式，更知道方程是在顺着题目意思的情况下，带着一个或多个未知数，把相等关系表达出来的过程。这也呼应了张奠宙先生对方程本质的理解。

片段三：深化理解意义，发展代数思维

师：看图先说说相等关系，再列方程。

学生根据图意依次列出4x=400，发现三幅图情境不一样，但却可以用相同的方程式表达。

师：4x=400还可以表示什么？

教师引导学生展开想象：汽車每小时行驶x千米，4小时共行驶400千米;一个工厂每小时生产x个零件，4小时生产400个零件;一个书架有课外书x本，4个书架共400本……

这一拓展练习既巩固了相等关系，又从不同情境中寻找相同结构模型，进而引发学生思考，这一方程模型除了可以表示这三种情境，还可以表示什么，让学生充分展开联想。学生在寻找同一结构的不同问题情境过程中体会方程模型的普适性，将深度学习落到实处。学生会举例、会解释、会运用，才是真正地理解。这一过程不仅发展了学生的数学思维，又提升了数学素养。

方程，不仅是含有未知数的等式，更是体现已知量与未知量、未知量与未知量之间相等关系的等式，它是为解决问题而来。方程意义的理解，着眼点在“相等关系”（即“等量关系”）。它是学生从算术思维方式转向代数思维方式的一次巨大转变，学生的代数思维开始发展。挖掘知识的本质，将其凸显，寻求合理的思维发展过程，以核心问题促概念的深入理解。教学中不断追求学生从浅层学习到深度理解，最终促进学生核心素养的提升。

【参考文献】

[1]张奠宙，等.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]张奠宙，等.小学数学教材中的大道理——核心概念的理解与呈现[M].上海：上海教育出版社，2018.