经历建模过程感悟模型思想

郑圣发

基于小学生的认知规律和《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求，小学的数学建模活动应从实际生活原型或现实背景出发，引导学生抽象出数学问题，经历观察、操作、比较、分析、概括等思维活动，尝试用代数式、关系式等数学语言和数学符号表征数学模型，再运用数学模型解释和解决相应的实际问题，初步形成模型思想，帮助学生体会和理解数学与外部世界的联系，提高他们学习数学的兴趣和应用意识。

一、激活生活经验，整体感知数学模型

教学要选取学生熟悉的生活素材，创设具有现实背景的数学情境，激活学生已有的生活经验和活动经验，引导学生抽象形成数学问题，多维度驱动数学思考，促进学生整体感知数学模型，为后续数学建模搭建拾级而上的阶梯。如在教学“植树问题”这节课时，有如下片断——

师：知道这节课我们要研究什么吗？

生：植树问题。

师：看到这个课题你想到了什么？植树问题是不是植树的问题？认为植树问题就是植树的问题的请举手，认为植树问题不是植树的问题的请举手，还有两次都没举手的同学，是不是不太确定？

师：到底植树问题是不是植树的问题呢？随着我们的探究，相信同学们会有更全面、更深刻的认识。

开门见山，直奔主题的教学导入，看似简单实则富有辩证意味的“植树问题是不是植树的问题”的问题，引发了学生的思辨活动。不仅把学生的注意力快速聚焦到了学习活动中，还营造了轻松愉悦的课堂氛围，让学生自由表达对“植树问题”的理解，培养了学生的思辨能力。

师：学校为了美化校园，向全校师生发出了一个方案征集启事，我们来看一看。

方案征集启事

学校为了美化校园，决定对校园东侧进一步绿化，诚邀同学们设计植树方案（要求附后），择优采用。

××学校后勤处

××年×月×日

要求：请在校园东侧全长300米的小路一边，每隔5米种一棵柳树，设计一份植树方案。

师：从这份要求上，你能获得哪些数学信息？

生：小路的全长300米，在路的一边植树，每隔5米种一棵。

师：每隔5米种一棵什么意思呢？请用你喜欢的方法说明你的理解。

师：你准备如何设计植树的方案呢？先独立思考，想一想、画一画，再跟你小组的同学议一议，看看能否设計出不同的方案。

师：请小组派出代表展示设计方案。

方案1：两端都种 ;方案2：头种尾不种;

方案3：尾种头不种;方案4：两端都不种。

师：比较上面的四个方案，你还有什么补充的？

生：头种尾不种和尾种头不种，可以看作只种一端。

基于现实背景的方案征集活动，唤醒了学生的生活经验，让学生直面数学挑战，思考方案中可能有几种情形，每种情形如何表征，这些情形可以分为几种不同类型等。有的学生想到一种，有的想到两种或更多，在小组讨论和集体评议中形成了两端都种、只种一端、两端都不种三种不同情形的共识。让学生自主根据问题可能的类型分门别类地思考并解决了问题，从整体入手，结构化感知植树问题的数学模型，为后续数学建模夯实基础。

二、聚焦 “种子” 模型，数形结合初建模型

如果把棵数看作点的个数，间隔数看作线段的条数，植树问题的三种不同情形，本质上都可以抽象成“点与段”的对应关系：只种一端时，点与段一一对应;两端都种时点比段多1;两端都不种时点比段少1。一一对应思想学生在之前的学习中已有多次的感悟，只种一端的情形，点与段正好一一对应，无疑为“种子”模型，抓住主干，着力构建。如在教学“植树问题”这节课时，有如下片断——

师：这三种方案分别要准备多少棵树苗呢？我们先重点研究只种一端的情形。

师：全长300米的小路一边，按照每隔5米种一棵柳树，只种一端，一共要多少棵树苗？大胆地猜一猜。

生：60棵，61棵，62棵，59棵。

师：有不同的猜测，说明有不同的理解，那么到底是多少棵呢？可以用什么方法来验证？

生：画图，我们用一条线段表示300米的小路，每隔5米栽一棵，每隔5米栽一棵，照这样一棵一棵栽下去，很麻烦。

师：那怎么办呢？

生：从300米中选择一小段来研究，看看有没有规律。

师：是的，从简单情形入手寻找规律来解决问题，就把一个复杂的问题变得简单了。请自由选择一小段进行研究吧。

师：观察比较我们研究出的结果，你有什么发现？

生：虽然小路的长度不一样，种树的棵数也不相同，但是每次种数的棵树和间隔数相同。

师：通过这些数据能确定得出的结论是正确的吗？是不是要举出更多的例子？你能解释为什么棵数刚好等于间隔数吗？

生：不用举更多的例子也能说明只种一端时棵数和间隔数肯定相等。请看这个图，一棵树一个间隔，一棵树一个间隔，如此下去，刚好一一对应，最后还是一棵树一个间隔，所以只种一端时，棵数和间隔数是相等的。

师：一棵树对应一个间隔，像这样数的方法在数学上叫作一一对应。你们能用“一一对应”的方法向你的同桌说一说吗？

师：我们用一一对应的方法数出30米的小路一共栽了6棵树。你能用算式把想法表示出来吗？

生：30÷5=6（棵），30米长的小路，每5米种一棵，一共有6个间隔，只种一端，一个间隔对应一棵树，6个间隔就是种6棵树。

师：结合线段图想一想，在只种一端的情况下，棵数与间隔数之间有什么关系？

生：在只种一端的情况下，棵数等于间隔数。

以“只种一端”作为切入点，避免了“棵数”与“间隔数”不一致的干扰，学生的思维自然聚焦到“点与段”之间的对应关系上，这样就顺应了学生已有的思维经验，使他们借助数形结合建立起了“棵数=间隔数”的数学模型。

三、应用数学推理，类推完善数学模型

数学思维的本质是推理，推理应贯彻于教学的始终。可以利用“种子”模型的生长力，类推出另外两个模型，以完善数学模型的构建，培养学生举一反三、触类旁通的能力。如在教学“植树问题”这节课时，有如下片断——

师：通过前面的研究，我们知道了只栽一端时棵数和间隔数之间的关系可以用关系式“棵数=间隔数”表示。想一想，另外的两种情况，棵数和间隔数之间有什么关系呢？

生：两端都种，棵数=间隔数+1;两端都不种，棵数=间隔数-1。

师：能说说你是怎么想的吗？

生：两端都种时，一棵树对应一个间隔，如此下去，最后一棵树没有间隔可以对应了，这样就多了一棵树。所以两端都种，棵树=间隔数+1。

生：两端都不种时，一个间隔对应一棵树，如此下去，最后一个间隔没有树可以对应了，这样就多了一个间隔。所以两端都不种，棵数=间隔数-1。

以只种一端“棵数=间隔数”为“种子”模型，引导学生类推构建两端都种，棵数比间隔数多1，两端都不种，棵数比间隔数少1，自然地生长出了“棵数=间隔数+1”和“棵数=间隔数-1”两种模型。这样就从整体架构入手，打破了教材分散安排的三种模型逐一学习的形式，以结构化的思想建构了植树模型，有利于学生更深刻地理解植树问题的本质。

四、回归实际生活，解释应用数学模型

建立数学模型不是最终目的，学会解释、应用模型才是真正目的。因此，教学中要重视设计与相应模型同构的问题情境，让学生尝试应用模型分析和解决实际生活问题，以促进同一类数学问题之间的模型融通。如在教学“植树问题”这节课时，我先出示了两道例题：

1.学校两座教学楼之间的距离是40米，如果每隔5米种一棵树，一共要种多少棵树？

2.马拉松比赛全程约42千米，平均每3千米设置一处饮水点（起点不设，终点设）。全程一共有多少处这样的服务点？

接下来的教学中，有如下片段——

师：第2题还是植树的问题吗？怎么解决？

生：可以看作植树问题，用两端都不种的植树问题关系式就能解答。

师：请问你眼中的树是指什么？

生：饮水点可以看作树，两个饮水点之间是一个间隔。

师：今天学的是“植树问题”，做完这道题，你有什么发现？

生：我感觉植树问题不一定只和植树有关。

师：看来，植树问题并不只是植树的问题，生活中还有很多问题和植树问题相似，请大家找找下面图片中的 “树”分别在哪里？

（课件逐一呈现：卢沟桥的狮子，地铁运营停靠路线图，男生衬衣的纽扣，一条打了结的绳子。）

生：桥上的狮子可以看作“树”;地铁站可以看作“树”;衬衣的纽扣可以看作“树”;绳子上的结可以看作“树”。

师：你们都有一双慧眼，现在请听播放闹钟敲钟的声音，你还能找到“树”吗？

生：每一个钟声都可以看作“树”。

然后，我又出示了第三道例题：

3.植树节到了，学校计划组织五年级4个班的同学参加植树活动，每个班分到50棵树苗，买树苗共用了5000元，请问每棵树苗多少元？

师：做完这道题，你又有什么发现？

生：这道题其实不是今天学的植树问题，虽然跟植树有關，但数量关系不同。

师：看来有关植树的问题不一定就是植树问题。

通过设置富有启发性的数学问题，检验学生对植树问题数学模型的理解和感悟。第1题是植树模型在实际生活中的直接应用，起到了巩固新知的作用;第2题虽然没有讲植树，但与植树问题有着内在的联系，可以抽象成点与段之间的一一对应关系，建立“点与段”的数学模型，培养学生的变通能力。通过生动的画面重现，从真实的树到虚拟的树，从看得见的树到看不见的树，把植树问题拓展到相应的一类问题，让学生深刻领会“植树问题不只是植树的问题”，培养了学生透过现象揭示本质的洞察能力，使他们体会到了模型思想的应用价值。第3题，意在让学生体会“并非有关植树的问题都是植树问题”，注重引导学生感悟并判断：数学问题的模型，不是看内容情境，而是看数量关系的本质。

课题项目：本文系福建省教育科学“十三五”规划2019年立项课题“核心素养背景下小学教学结构化学习的研究”相关成果。课题号FJJKGG19-080。

（责任编辑：杨强）