中低海拔地区公路工程测量中央子午线确定方法探讨

曹立静 姚守峰

(1.山东协和学院，山东 济南 250107；2.山东省交通规划设计院有限公司，山东 济南 250031)

1 数学模型

观测边长在进行平差计算的过程中，要经过高程归化改正和投影改正。一般海拔较高地区两点之间的观测边长D在进行高程归化时边长缩短。设两点之间的平均概略高程为H，两点所处地球位置平均曲率半径为Rm，则归化至参考椭球面时其长度近似变形值ΔD计算公式为：

观测边长D归化至参考椭球面的距离S计算公式为：

归化至参考椭球面的边长S再归算至高斯平面时，其长度会增加ΔS。设两点平均横坐标(即观测边长中点距离中央子午线的偏移量)为ym，则其近似计算公式为：

由(1)式、(3)式可见观测边长D在高程归化和高斯投影改正存在抵消关系，经过高程归化和高斯投影改正后的边长L为：

带入(2)式得L与观测边长D关系式为：

由(5)式可推算出观测边长D经过高程归化、高斯投影后变形值Δ为：

设D为1000m，则根据(6)式可以计算出偏移量ym、每千米允许变形值Δ与观测边长D两点之间平均高程H的数学模型：

由(7)式可知，已知一点P的高程及限差要求，可以推算出以该点为中点的任意观测边距离待确定中央子午线的最佳偏移量ym的范围值。

2 平均曲率半径

根据《公路勘测细则》规定，Rm为参考椭球体在测距边方向上的法截弧曲率半径，因为任意法截弧曲率半径与法截弧方位角有关，而方位角是任意不确定的，因此Rm的值在M(最小值，子午圈曲率半径)和N(最大值，卯酉圈曲率半径)之间，为便于计算，在日常计算中选取任一点P的平均曲率半径作为Rm的值，公式为：

式中a为地球长半轴，e为第一偏心率，B为P点的纬度值。

3 归化投影数学模型案例应用

京台高速济南至泰安段起点位于晏城枢纽立交，途经德州市齐河县、济南市槐荫区、市中区、长清区、泰安市岱岳区，长度约80km，方向南北偏东，地形穿越平原、丘陵和山地，测区海拔从20～230m不等，根据(1)式计算可知，当海拔超过159m时，每千米高程归化变形值超过25mm，不符合《公路勘测规范》规定，因此需要利用(7)式数学模型确定该线路合适的中央子午线进行高斯投影改正，使变形值满足规范规定的要求。

沿路线每隔1km选取约83个点，将每个点Pi的纬度带入(8)式，计算出其对应的平均曲率半径Rm，将Rm、海拔H和限差Δ带入(7)式，利用EXCEL函数即可推算出Pi点在变形值限差为-25、25、-10、10对应的偏移量ym值，如点P66，纬度36.25°，高程为223.2，经公式(8)计算的该位置处曲率半径为6371688m，带入公式(7)可分别算得变形值限差为-25、25、-10、10对应的偏移量ym值为69.8km、60.4km、45.1km、28.5km。

4 经度差计算公式

赤道每隔经度1度的实际长度约为111km，纬线的周长越靠南北两极越小，同一纬度B每隔经度1度距离就会变成111乘COSB，因此同一纬度只要知道2点之间的经度差ΔL就可以计算出2点之间的距离，如式(9)；

ym=ΔL*111*cosB(9)，

由(9)式可得经度差计算公式，

式中ym为任一点至中央子午线的距离，即偏移量，

将(10)式带入EXCEL计算表，可得每点4个ym值对应的经度差，如点66，分别算得的经度差为0.78°、0.68°、0.50°、0.32°。

5 经纬度范围确定

经度差确定后，可由点Pi的精度加经差(Pi对应的中央子午线位于该点东侧)获得该点高斯投影对应的中央子午线值，也可由点Pi的精度减经差(Pi对应的中央子午线位于该点西侧)获得该点高斯投影对应的中央子午线值，如点66向西偏时所得中央子午线范围值为116.20°、116.30°、116.48°、116.66°。经对所有点中央子午线范围进行对比可以确定当选取116.50度作为中央子午线时，全线每个测区观测边长经高程归化、高斯投影改正后边长变形值可以满足规范规定。

6 变形值验算

将最终确定的中央子午线116.50度带入(6)式，计算出每个点对应变形值，依次进行验证中央子午线选取的可靠性，如点2，116.8248，36.7673，23.85，经计算得归化投影变形值为6.6mm；点P66，116.9787，36.2534，223.17，经计算得归化投影变形值为-12.4mm。

利用ECXEL表将所有点带入，经验算，当选取116.50度作为中央子午线进行高斯投影改正时，整个测区最大边长变形值为12.4mm，平均数学变形值为-1.5mm，可以满足《公路勘测规范》中关于测区内投影长度每千米变形值小于2.5cm；大型构造物投影长度每千米变形值应小于1cm的要求。

7 总结

在中低海拔地区用偏移中央子午线抵消高程归化边长变形的方法确定合理的中央子午线是非常方便和合理的，投影的中央子午线不会较大地偏离实际坐标系正确的中央子午线，避免了选取抵偿高程面带来的坐标转换问题，便于设计人员在超图等GIS软件中进行BIM设计的应用，具有较好的参考价值。