斜轴墨卡托投影在水利工程中的应用探讨

徐建忠

（四川省水利水电勘测设计研究院测绘分院，成都610500）

1 研究背景

在水利工程建设中，为满足施工精度，控制网的投影是一大难题。由于水系发达区都在山区，缺水区域都在平原或丘陵，灌渠高差很大，控制网平面投影改算一般采用高程面投影和高斯-克吕格正形投影。根据GB 50026—2007《工程测量规范》要求【1】，平面控制网的坐标系统应满足测区内投影长度变形≤2.5cm/km（1/40 000），而高程面投影满足投影变形规范的高差范围为-159～159m，高斯-克吕格正形投影满足投影变形距离中央子午线＜45km。高斯投影要满足规范要求，就必须对东西走向的大型灌渠平面控制网坐标系统进行分带投影计算，灌渠施工过程中要对不同带的坐标系统进行频繁转换，不方便施工；而斜轴墨卡托投影具有中央子午线在圆柱面投影长度不变的特点，斜轴墨卡托投影在水利工程中使用就显得极其重要。下面对CZQ 引水工程平面控制网坐标系统投影过程进行解析。

2 高程投影面的变形分析

CZQ 引水工程总长200km 左右，东西走向。此水利工程布设GPS 平面控制点58 点（CG01～CG58），CZQ 引水工程平均高程为380m，控制点最大高差105m，测区平均纬度为29.47°，测区曲率半径为6 367 500m。

根据实测边长水平距离归化到测区参考椭球面上长度变形，见式（1）：

式中，ΔH为长度所在高程面对于参考椭球面的高差，m；RH为测区所在椭球曲率半径，m。

取测区平均高程380m 为高程抵偿投影面，则|δ|=1/60 642＜1/40 000，满足规范要求。下文对斜轴墨卡托投影进行分析计算。

3 斜轴墨卡托投影参考圆球的建立

3.1 建立区域性椭球

CZQ 引水工程是比较长的带状灌渠，为了让参考椭球更接近原始地形，在WGS84 椭球基础上建立一个区域性独立椭球，此方法为椭球变形法——E3 椭球，只要将已知参考椭球的中心和区域性椭球中心重合，并保持轴向一致。

WGS84 椭球参数：长半径a=6 378 137m；短半径b=6 356 752.314 2m；扁率α=1/298.257 223 6；第一偏心率平方e2=0.006 694 379 990 13；第二偏心率平方

为了满足上述要求，必须求出已知椭球元素（a，e2）的变化量Δa、Δe2，确定区域椭球元素a（1区域椭球长半径）和区域椭球第一偏心率），则有式（2）、式（3）：

通过计算，得到区域椭球元素见表1。

表1 区域椭球元素

通过计算，由于测区纬度改正值ΔB很小，区域椭球和圆球面经纬度上的大地坐标Bi′和Li′与WGS84 椭球上的大地坐标相同，只有高程改变，使区域椭球面更接近测区平均高程面。

3.2 圆球面经纬度到斜轴圆球面的转换

本测区球面坐标系的建立：是以测区线路中的一个控制点CG58 作为极点，过极点CG58 至测区任一点方向为中央子午线，过极点CG58 且垂直中央子午线的圆为赤道，球面坐标网由经线和纬线组成，中间通过球面极坐标转换为斜轴球面上的经纬度。

斜轴墨卡托投影按照球面三角形正弦和五元素求球面极坐标（ai，zi），计算公式见式（4）、式（5）：

式中，φi为圆球面大地坐标纬度；Δλi为测区控制点圆球面大地坐标经度与极点经度差；φ0为圆球面大地坐标极点纬度；ai为极角；zi为极距。

测区球面极坐标见表2。

表2 圆球面极坐标成果

3.3 测区球面极坐标到斜轴墨卡托投影经纬度的转换

下面采用斜轴圆柱投影转换为正轴圆柱投影，测区线路中CG58 控制点作为极点，线路中央子午线方位角a0通过优化计算求得，斜轴圆球上的各个控制点以CG58 控制点为极点的极坐标为：ai′=ai-a0+π/2，zi′=zi。

求出各个控制点的斜轴圆球极坐标（ai′，zi′）后，依据球面大地主题正算，计算出斜轴球面各控制点新的大地坐标（Φi′，λ′），公式如式（6）、式（7）：

式中，Φ0′、λ0′为极点CG58 新大地坐标。

极点CG58 新大地坐标取值：Φ0′=0，λ0′=0。

线路CG58 为极点中央子午线的确定：

测区宽度为83km，中央子午线在测区中间的投影变形为2.1cm/km，满足规范要求的2.5cm/km，通过测区宽度和长度确定斜轴墨卡托投影中央子午线方位角范围。通过优化计算，选择起算方位角a0=117.031 90。

测区斜轴墨卡托投影的平面直角坐标成果见表3。

表3 平面直角坐标成果

从表3 计算成果可以看出，中央子午线的选择是合理的，测区斜轴墨卡托投影的边长变形完全满足2.5cm/km 的规范要求。

3.4 测区综合投影分析

斜轴墨卡托投影和高程投影综合变形，采用式（8）进行计算，对测区综合投影是否满足规范要求进行评价：

式中，δ综为综合变形；δ 为归化边长高程投影变形系数；μ1为斜轴墨卡托投影变形系数。

测区综合投影计算成果见表4。

表4 测区综合投影长度变形计算成果

综合投影变形最大控制点CG47 为2.498cm/km，满足规范要求（2.5cm/km）。

3.5 斜轴墨卡托投影边长与WGS84 平差椭球平距比较分析

斜轴墨卡托投影边长与WGS84 平差椭球平距对比见表5。

表5 斜轴墨卡托投影边长与WGS84 平差椭球平距对比表

通过斜轴墨卡托投影边长与WGS84 平差椭球平距的对比，边长的相对误差均＜1/40 000，说明本测区斜轴墨卡托投影的中央子午线方位角选择合理，斜轴墨卡托投影的平面控制坐标成果可靠。

4 结语

大型水利工程建设中，本工程测区具有东西走向、高差和横向跨度适中的特点，适合采用抵偿高程面投影和斜轴墨卡托投影相结合的方法来解决测区投影的综合变形，虽然计算比较复杂，但斜轴墨卡托投影能解决东西走向测区不分带投影的变形问题，减少了施工中坐标频繁转换计算。在水利工程建设中，根据工程的特点，采用斜轴墨卡托投影解决测区投影变形是可行的，能使整个测区综合变形得到控制，并统一测区平面控制系统。