侵彻条件下两类靶体材料静阻力的探讨*

程怡豪，王明洋，王德荣，宋春明，岳松林，谭仪忠

（1. 陆军工程大学国防工程学院，江苏 南京 210007；2. 陆军工程大学野战工程学院，江苏 南京 210007；3. 南京理工大学机械工程学院，江苏 南京 210094）

数十年来，国内外学者采用空腔膨胀理论开展了针对金属、混凝土、岩石和陶瓷等多种靶体材料侵彻阻力的研究，并根据研究的需要将侵彻阻力显式地表达为速度相关的多项式函数[1-16]，其中常数项阻力被理解为靶体的静阻力项，常以符号Rt表示。关于Rt的本质的认识目前比较模糊，其中：Anderson[1]认为Rt是与材料基本力学行为密切相关的半经验参数而并非材料常数；Rosenberg 等[16]则根据数值计算结果发现Rt与弹体材料和撞击速度无关，可以仅通过材料强度准则和弹性常数确定。此外，金属的Rt的取值通常超过其Hugoniot 弹性极限（HEL）直至其若干倍[1,17]，岩石和混凝土等材料的Rt的取值通常小于其HEL[18-20]，而陶瓷类材料的Rt则似乎与HEL 相当[22]。上述差异应该与两类材料的动力学行为差异密切相关，但目前尚缺乏专门针对这一问题的讨论。

那么Rt的内涵究竟是什么？塑性材料和脆性材料在Rt与HEL 之间的关系为何具有显著的差异？本文以空腔膨胀理论和球面应力波理论为分析依据，通过比较侵彻近区塑性材料和脆性材料动力学行为的差异，对两类不同材料Rt的本质及其与HEL 的关系进行探讨，并对脆性材料侵彻的若干应用问题提出建议。

1 塑性材料

1.1 对静态空腔膨胀理论的回顾

在塑性金属靶体的非变形侵彻问题中，Rt可利用静态球形空腔膨胀理论估计。Hill[3]给出了这部分工作的详细理论推导。

图1 塑性材料中球形空腔膨胀的响应区域Fig. 1 Response regions of spherical cavity expansion in plastic materials

图2 脆性材料中球形空腔膨胀的响应区域Fig. 2 Response regions of spherical cavity expansion in brittle materials

如图1 所示，设在内压作用下该空腔从半径为0 发展为半径为a 的有限球腔，紧邻球腔的是半径为c 的塑性区域，塑性区域外是半径为b 的弹性变形区，如图2 所示，对于脆性材料而言，尚需增加半径为d 的径向裂纹区，此时应力分布纯粹是径向坐标r 的函数。已知有限球域条件下a 对c 的导数为：

式中：ν 是介质的泊松比，Yt是介质的屈服应力，Et是介质的弹性模量，b0是球体的外半径。Tresca 准则下空腔内壁压力p 满足：

根据自相似原理，当b0→∞时，a/c 为常数，为此在式（1）中要求：

将式（3）代入式（2），解得：

ps就是理想塑性材料在形成空腔a 所需克服的最小孔壁压力。但需要强调的是，ps是在空腔半径从0 膨胀为a 得到的，这和内半径为a 的空心球腔在内压p 作用下进入塑性状态所需临界应力的计算结果不同。事实上，塑性区正应力的计算公式为：

式中：σr为径向正应力，σθ为环向正应力，r 是球心到考察点的距离。从式（5）的第一个式子可知当p=2Yt/3 时空腔内壁就开始进入塑性。作为算例，取典型装甲钢参数如下[1]：Yt=1.0 GPa，ν=0.3，Et=200 GPa，代入式（4）可得ps=3.72 GPa，因此：

当采用柱形空腔膨胀理论时，式（4）的结果变为：

将上述装甲钢参数代入计算可得ps=3.18 GPa，因此球形空腔膨胀理论的计算结果稍大于柱形空腔膨胀理论的计算结果。同时求解ps与材料的Hugoniot 弹性极限（σHEL）之间的比例关系。已知σHEL满足：

因此

可见，ps约为σHEL的2 倍。

1.2 不同条件下Rt 的取值

Forrestal 等[23]将式（4）中得到的ps作为Rt，得到了半球形头部弹体在无摩擦条件下的侵彻阻力函数，即：

式中：F 是弹头所受阻力的合力，r0是弹体半径，B 是材料力学性能决定的常数且B≈1，ρt是靶体密度，v 是瞬时侵彻速度，N 是弹头形状系数。与式（10a）对应的侵彻深度计算公式为：

式中：hmax是最终侵彻深度，L 是弹身长度，ρp是弹体密度。空腔膨胀理论并非决定Rt的唯一方法，例如，Rosenberg 等[24]认为非变形侵彻条件下侵彻阻力仅仅包含常数项Rt，其表达式为：

式中：φ 按照尖卵形头部、锥形头部和半球形头部分别取为1.15、0.93 和0.2。与式（11a）相对应的侵彻深度计算公式为：

图3 给出了对某种铝合金侵彻的计算结果和实验结果[23]的对比，其中ρp=8 000 kg/m3，ρt=2 710 kg/m3，ν=0.33，Yt=340 MPa，Et=69 GPa，L=71.12 mm，r0=3.55 mm。可见，当撞击速度小于1 km/s 时，Rosenberg 模型[24]的预测效果似乎更佳。但式（10）具有相对严格的物理力学基础，特别是通过引入空腔膨胀理论使得Rt的确定更加理性，而且在引入一个合适的弹靶间摩擦系数后，式（10）可以和实验结果更加吻合；相比之下，式（11）则是依赖于实验结果的半经验参数。

图3 铝靶侵彻的理论计算与实验结果[23]对比Fig. 3 Penetration depth intoaluminum targets between results from theoretical calculations and experiments[23]

这里需要指出的是，无论采用空腔膨胀理论还是其他方法，Rt都不能理解为纯粹的材料常数，这是因为Rt不仅与材料的基本物理力学性质相关，还与具体的侵彻模型的选择、侵彻速度等因素相关。例如，超高速侵彻条件下经常采用A-T 模型，其在弹靶界面的控制方程满足[17]：

式中：υj为弹体尾部速度，Yp为弹体特征阻力（取为弹体材料的HEL）。

Tate[25]参照式（4）拟合得到了Rt，即：

式中：λ 是经验参数，建议λ=0.7。以Yt=1.0 GPa，ν=0.3，Et=200 GPa 的装甲钢为例，可得Rt=5.44 GPa，这是式（4）的1.46 倍之多。对这一结果应该从两方面考虑：一方面，A-T 模型本身尚不完备，因此必须对Rt进行修正以符合实验结果；另一方面，球形空腔膨胀理论与真实的侵彻近区状态的差异在超高速侵彻条件下十分明显，因此Rt有所变化。Rosenberg 等[16]、Walker 等[26]的数值计算结果证实了上述推断，即侵彻近区塑性区的大小与形态随着侵彻速度、弹体形状差异而变化，因此采用不变的Rt描述侵彻机理将不可避免的存在与实验结果之间的误差。

尽管空腔膨胀理论并不能圆满地描述不同条件下侵彻近区的应力应变状态，但其仍然是理解Rt本质的有效途径。在综合以上分析后我们作如下推断：Rt是靶体介质以固体特性抵抗局部扩孔的、具有时间平均特性的弹体横截面平均应力，其具体取值随着材料的物理力学特性、侵彻模型、撞击速度等因素而变化，因此不是材料的固有特性。

2 脆性材料

2.1 脆性材料Rt 值实验研究

在脆性材料的非变形侵彻问题中Forrestal 阻力模型得到了普遍应用，即[5,11-12]：

Rt按照下式拟合：

式中：mp是弹体质量。Forrestal 等[5]得到了混凝土的Rt值计算方法，即：

式中：fc为混凝土单轴抗压强度。此外，张德志等[12]基于式（14）得到了某种花岗岩的Rt=0.95～1.41 GPa。当仅考虑阻力的常数项时，Rosenberg 等[27]曾给出如下形式，即：

与之形成对比的是，35 MPa 普通混凝土的HEL 可达到1.0 GPa 以上[18]，花岗岩的HEL 可达到2.5～4.5 GPa[19-20]。当长杆弹侵彻陶瓷等高硬度脆性材料时，弹体通常发生侵蚀，此时需采用形如式（12）中的拟流体侵彻模型，其中Rosenberg 等[22]曾经对HEL 分别为6 GPa 和7 GPa 的AD85 陶瓷和BC90G 陶瓷进行高速侵彻实验，发现Rt大体与陶瓷的HEL 相当。由此可见，脆性材料Rt通常小于其对应的HEL（如混凝土、岩石）或与HEL 相当（如陶瓷）。而从1.1 节的计算可知，塑性金属靶体的Rt通常约为HEL 的2 倍。

进一步观察式（15）～（16）中Rt随fc的变化规律（图4）可以发现，无论是Forrestal 模型还是Rosenberg 模型，Rt都随fc的增大而单调增大。直觉上看这似乎是合理的，但注意到Zhang 等[28]曾经通过实验研究超高强混凝土的抗侵彻性能，发现为了使得混凝土的fc超过150 MPa，必须去除粗骨料，而如果不能相应地采取增韧措施，那么即使混凝土的fc达到250 MPa，其侵彻深度也与未去除粗骨料的100 MPa 混凝土相差无几（图5 中虚线框部分所示）。Zhang 等[28]认为去除粗骨料的混凝土变的极易开裂，此时其抗侵彻能力反而受到制约，因此单纯以fc作为衡量混凝土介质侵彻阻力大小是有失偏颇的。

要深入回答脆性材料Rt和HEL 之间的大小关系问题，以及Rt与fc之间的依赖性问题，尚需深入分析侵彻近区靶体材料的动力学行为。

图4 不同fc 条件下混凝土Rt 的拟合结果Fig. 4 Fitted Rt values of concrete with different fc values

2.2 脆性材料Rt 值的理论研究

图5 不同fc 条件下混凝土侵彻深度的实验结果[28]Fig. 5 Effect of fc on experimental penetration depth in concrete[28]

完整脆性材料具有极高的HEL。在冲击波波阵面或短波（即升压时间远远小于正压时间的压缩波）峰值附近，材料处于三向受压状态[29]，此时无论是脆性材料还是塑性材料，都会显示出显著的塑性行为，HEL 仍然由式（8）计算，但Yt应该理解为当时当地应力状态和应变速率下的屈服应力。以岩石为例，由Lundborg 关系[30]可知高压下岩石具有von-Mises 塑性极限Yd，且对于硬岩而言Yd= 1.0～2.0 GPa，岩石的Poisson 比为0.25～0.35，因此HEL 的估算结果是：

这里同时给出基于Rosenberg 建议的陶瓷材料HEL 计算公式的计算结果[31]：

可见，相同参数下式（17b）远远高于式（17a）的计算结果，而从花岗岩的HEL 看[19-20]，式（17a）更加符合实际情况。但无论是式（17a）还是式（17b）都表明，脆性介质之所以具有较高的HEL 是因为其具有极高的Yd。

图6 基于球面波的腔壁应力衰减规律[32]Fig. 6 Decay of spherical wave stresses on cavity [32]

图7 完整条件下和损伤条件下脆性材料的强度模型[34]Fig. 7 Model for strength of intact and damaged brittle materials[34]

脆性材料侵彻阻力主要取决于破碎后介质。众所周知，脆性材料的破坏形态受压力和应变率的影响十分显著，因此式（17）的HEL 必须在极高应变率（104～105s-1）的一维应变压缩条件的下才能体现出来[19]。在球面应力波波峰后方，不仅径向应力迅速减小，而且环向应力也迅速减小并转变为拉应力，其幅值甚至将超过波阵面环向压应力的幅值[32]（图6）。由于脆性材料的动力拉伸强度比HEL 低约一个数量级，因此在环向拉应力的作用下将会首先出现径向裂纹并将波阵面后面的材料切割成尺度不等的碎块。裂纹传播速率一般在～102m/s 且最高可达Rayleigh 波速（完整岩石的Rayleigh 波速在2.5～3.0 km/s[33]），而一般弹道问题的撞击速度小于1 km/s，此时弹体将在已经破碎的介质中侵彻，因此在理论分析中必须考虑强度退化。

Satapathy 等[34]和Bavdekar 等[35]发现，破碎介质的Mohr-Coulomb 准则参数对准稳态侵彻阻力的影响比完整介质的Mohr-Coulomb 准则参数更加重要（图7），此时Rt与完整材料的力学特性参数（如HEL和fc）关系不大。因此，具有超高fc的混凝土如果缺乏粗骨料则极可能“一裂即碎”，其残余强度甚至可能低于较低强度混凝土。基于同样的理由，不能仅凭两批次混凝土具有相同fc就认为两者具有相同的Rt。

脆性材料的Rt与侵彻速度有关。上述研究均是建立在“材料破碎在先，侵彻过程在后”的前提下。若侵彻速度超越破碎阵面的传播速度时，Rt将急剧上升，甚至超越材料的HEL。表1 给出了不同的陶瓷Rt值，其中Sternberg[36]和Rosenberg 等[22]的结果比较接近，而Kozhushko 等[37]的建议值是另两位学者所提出建议值的4 倍以上，这是因为Kozhushko 等是在5～12 km/s 撞击速度条件下测得的结果，侵彻速度很可能已经超越陶瓷材料的裂纹前端，测得的是陶瓷的本征阻力值（原苏联学者称之为“动力硬度”[38]），远远大于侵彻破碎介质所需克服的阻力。Vlasova 等[39]认为陶瓷类介质的Rt值具有理论极限值Rtmax，即：

式中：cst为陶瓷的剪切波速，Gt为靶体的剪切模量。这一公式的计算结果与Kozhushko 等给出的建议值相吻合。

表1 不同学者建议的陶瓷Rt 值 (单位：GPa)Table 1 Rt values of ceramic suggested by different researchers (unit in GPa)

事实上，即便在一般弹道速度条件下，Rt也与撞击速度之间显示出相关性。图8 根据式（14）给出了张德志等[12]的花岗岩侵彻实验和徐建波[40]的混凝土侵彻实验的不同撞击速度下的Rt值。可见，随着撞击速度从300 m/s 提高到900 m/s，混凝土的Rt从950 MPa 提高到1 400 MPa；撞击速度从200 m/s 提高到700 m/s，混凝土的Rt从250 MPa 提高到325 MPa。对于此类现象，王明洋等[21]认为，当侵彻速度较低时，岩石类介质没有恒定的Rt，而应该考虑侵彻速度对侵彻阻力的强化作用，这种作用的本质是内摩擦，此时侵彻阻力是侵彻速度的一次函数；当侵彻速度足够高时，材料的内摩擦效应达到饱和并体现为恒定不变的“动力硬度”（硬岩的动力硬度可达数个GPa），具体表述为：

式中：σ 是作用在弹头横截面的平均应力，τs是岩石的黏聚力，Ht为岩石的动力硬度， Ma*为广义马赫数，其定义为侵彻速度v 与特征速度 c*之比， c*取决于岩石动力硬度和密度，κ1、κ2为阻力系数。花岗岩侵彻实验结果已经初步证实了式（19）的合理性（图9）。

图8 花岗岩和混凝土靶体Rt 随撞击速度的变化规律Fig. 8 Rt of granite and concrete varying with impact velocity

图9 花岗岩侵彻深度的实验结果与理论计算结果的预测效果[21]Fig. 9 Comparison of calculation results with experimental results of penetration depth in granite[21]

2.3 对工程实践的启示

由于限制脆性材料侵彻阻力的主要原因是应力波峰值后方的环向拉应力造成的材料破碎，因此提高脆性材料的侵彻阻力的关键在于：（1）减小应力波峰值后环向拉应力的幅值；（2）抑制材料的破碎速度和程度。为了实现第一点，可以主动或被动地增加外围压。这一手段在陶瓷装甲防护技术中已经得到了广泛实践[41]。此外，徐松林等[42]和蒙朝美等[43]的实验结果分别证实了主动和被动约束对于提高混凝土的抗侵彻能力具有一定作用，任劼等[44]的数值计算结果显示较高的岩体围压会显著地减小金属射流的侵彻深度。为了实现第二点，既可以增加外围压，也可以通过材料复合技术提高材料的韧性，这实际上已经在钢纤维高性能混凝土的抗侵彻研究中得到了应用[45]。

3 结 论

材料的静阻力Rt是材料抵抗侵彻能力的定量表征，但关于不同类型材料Rt的本质缺乏针对性的讨论。本文以空腔膨胀理论和球面应力波理论为工具进行分析，对塑性和脆性两类不同材料Rt的本质进行探讨，结论如下：

（1）Rt是靶体介质以固体特性抵抗局部扩孔的、具有时间平均特性的弹体横截面平均应力，其具体取值随着材料的物理力学特性、侵彻模型、撞击速度等因素而变化，因此不是材料的固有特性。

（2）对于塑性靶体的非变形侵彻问题，静态空腔膨胀理论的结果能够对Rt作出比较合理的预测。对于拟流体侵彻问题，一般需要对静态空腔膨胀理论的结果加以修正。

（3）脆性材料的Rt主要取决于破碎后介质的力学特性而与完整材料的力学特性关系不大，且与fc之间不满足纯粹的单调关系。当侵彻速度较低时，应考虑侵彻速度对侵彻阻力的强化作用，这种强化作用的本质是内摩擦；当侵彻速度足够高时，脆性材料体现出恒定不变的“动力硬度”，其反映了材料的本征阻力特性。

（4）提高脆性材料的侵彻阻力的关键在于减小应力波峰值后环向拉应力的幅值、抑制材料的破碎速度和程度，具体措施包括主动或被动地增加外围压、对基质中添加增韧增强纤维等。此外，为了实现对脆性材料更高精度的数值模拟，建议更加重视对破碎介质动力学特性的研究。