在核心问题的引领下

张春新

摘要：复习课教学内容面广量大，过细、过散、过浅、过窄的问题往往会导致学生的思维肤浅、单一，而好的问题，特别是好的“核心问题”，能起到引领和推进的作用。《“平面图形的面积”总复习课》，通过三个核心问题的引领，让学生的认识和思维更加深刻。

关键词：核心问题复习课《“平面图形的面积”总复习课》

复习课教学内容面广量大，如果“眉毛胡子一把抓”，过细、过散、过浅、过窄的问题往往会导致学生思维肤浅、单一，而好的问题，特别是好的“核心问题”，能起到引领和推进的作用。教学“平面图形的面积”总复习课，如何让学生在夯实平面图形面积计算方法的基础上抓住计算的本质，促使他们的认识和思维更加深刻？我尝试通过三个核心问题的引领来实现这样的教学追求。

一、在核心问题的引领下感悟本质

【片段1】

（学生交流长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆的面积公式推导过程。）

师回顾这些平面图形的学习过程，我们先学习的是什么图形的面积计算？

生长方形和正方形。

师大家有没有想过，为什么我们先学习长方形、正方形的面积计算，再学习平行四边形、三角形、梯形的面积计算，最后才学习圆的面积计算呢？可不可以调换一下顺序呢？大家小组交流一下。

（学生小组内热烈地交流。）

生长方形的面积计算最简单。

生长方形四个角都是直角，其他图形不是。

生单位面积是边长1厘米的小正方形的面积，长方形可以直接用这些小正方形去摆，从而算出面积，其他图形不行。

生（边说边在黑板上画）是的，长方形可以用边长1厘米的小正方形去摆，看看沿着长可以摆几个，沿着宽可以摆几排;每排小正方形的个数×排数=总的小正方形的个数，也就是长方形的面积。而其他平面图形，比如平行四边形，用小正方形就不能正好摆满。

生我知道了，所以我们先学长方形的面积计算，用摆小正方形的方式推导出长方形的面积公式;再学习平行四边形、三角形、梯形的面积计算，它们不好用小正方形去摆，可以用转化的策略转化成学过的长方形来计算。

学生以前是一个图形接着一个图形学，现在回过头一看：为什么先学习长方形的面积计算？可不可以先学习其他图形呢？学生会非常好奇，会激起思考和探究的欲望。这个问题实际上是学生思维的盲点，同时又是学习平面图形面积计算的核心问题。抓住了它，就抓住了平面图形面积计算的本质，即图形中所含面积单位（小正方形）的个数。通过对这一核心问题的思考，牵一发而动全身，学生不但知道了为什么要先学习长方形的面积计算，而且对为什么要将后面学习的平面图形转化成已经学过的图形有了更加深刻的认识。

这样，通过“瞻前”——对“为什么先学习长方形的面积计算”这一核心问题的探寻，让学生回到原点思考，从源头抵达知识的本质。同时也为“顾后”——体积度量本质的理解做了知识和方法上的铺垫。

二、在核心问题的引领下整体建构

（一）以长方形的面积计算为基础整体建构，感受由易到难的过程

【片段2】

师通过回顾，我们知道了长方形的面积公式是学习其他平面图形面积计算的基础，这6种图形之间是有联系的。你能用图表示出它们之间的联系吗？

（学生分组整理，典型的整理结果有两种，分别如图1、图2。）

生（边指图1边说）我们小组是这样梳理的：长方形的面积由数含有小正方形的个数获得，是计算其他平面图形面积的基础，所以将长方形画在最下面;由长方形的面积公式推导出了正方形、平行四边形、圆的面积公式，将

这3种图形画在第2层;再由平行四边形的面积公式推导出了三角形和梯形的面积公式，将三角形和梯形画在最上层。

生我来补充一下：从上往下看，就是三角形、梯形是通过转化成平行四边形推导出面积公式的，平行四边形、圆是通过转化成长方形推导出面积公式的;它们都不能直接用小正方形去摆、去数，都运用了转化的方法。

生（边指图2边说）我们是这样整理的：将其他5种平面图形都转化成长方形来推导。

生我来补充：虽然我们小组之间转化的图形不一样，但共同的地方都是转化成已经学过的图形来推导面积公式，都是以长方形的面积公式为基础来转化的。

……

通过对“为什么先学习长方形的面积公式”这一核心问题的探寻，学生从本质上理解了长方形的面积计算是其他平面图形面积计算的基础。这时，再让学生通过思维导图来梳理各个图形面积之间的联系，融入自己的认知图式。

（二）以梯形的面积计算为中心整体建构，感受化繁为简的过程

【片段3】

师前面我们以长方形的面积公式为基础推导出了其他5种平面图形的面积公式，是由易到难。（板书：由易到难）我们还能化繁为简，（板书：化繁为简）把这6种图形的面积公式都用梯形的面积公式来表示，大家相信嗎？

（学生都露出不相信的神情。）

师不相信？看着图形想一想：可以把这些平面图形看作怎样的梯形？

（课件展示动态过程：梯形下底不变，上底慢慢缩短，变成三角形;上底慢慢延长，变成平行四边形……学生交流讨论。）

生三角形可以看作上底为0的特殊梯形。

（教师同步定格课件于图3。）

生平行四边形可以看作上底a和下底b相等的特殊梯形。

（教师同步定格课件于图4。）

生长方形可以看作上底a和下底b相等，且上底a、下底b与腰h分别垂直的特殊梯形。（教师同步定格课件于图5。）

生正方形可以看作上底、下底和腰相等，即a=b=h，且a、b与h分别垂直的特殊梯形。

（教师同步定格课件于图6。）

生圆可以看作上底为0，下底为圆的周长（即2πr），高为圆的半径（即r）的特殊梯形。

师圆是封闭的曲线图形，你是怎样想的？

生我们之前学习圆的面积计算时，是把圆割成“小三角形”，然后拼成“平行四边形”计算的。这里，我将圆割、拼成“大三角形”，然后将圆心（长度为0）看成梯形的上底，将圆的一周（长度为2πr）拉直，看成梯形的下底，这时半径r就是梯形的高。

师真不简单，能化曲为直，将圆看作这样的特殊梯形，真是爱动脑筋的孩子！那么，这些平面图形的面积能用梯形的面积公式计算吗？要怎么做？

生用梯形的面积公式算算看。

师好，每人选一个平面图形算算看。计算好后，仔细观察。你发现了什么？在小组内交流各自的发现。

（学生计算、观察、交流。）

生我选的是三角形。用梯形的面积公式计算：（0+a）×h÷2=a×h÷2，和用三角形的面积公式算一样。所以三角形的面积可以用梯形的面积公式计算。

生我选的是平行四边形。用梯形的面积公式计算：（a+a）×h÷2=a×h，和用平行四边形的面积公式算一样。所以平行四边形的面积可以用梯形的面积公式计算。

生平行四边形的面积可以用梯形的面积公式计算，长方形、正方形是特殊的平行四边形，所以不需要计算就知道长方形和正方形的面积也可以用梯形的面积公式计算。

生我选的是圆。用梯形的面积公式计算：（0+2πr）×r÷2=πr2 。所以圆的面积也可以用梯形的面积公式计算。

生（展示图7）圆也可以近似等积变形为梯形，所以圆的面积可以用梯形的面积公式计算。

师现在你们想说——

生梯形的面积公式真神奇呀！好多平面图形的面积都可以用它来计算。

紧扣“6种平面图形的面积都可以用梯形的面积公式来计算吗？”这一核心问题展开探究，通过课件展示梯形（下底和高不变）上底和腰的动态变化过程，让学生感受到其他平面图形与梯形的紧密联系，进而通过深入探究将梯形的面积公式与其他图形的面积公式相勾连，感受化繁为简的数学魅力。

这样由易到难、化繁为简的整体建构，不再只是知识的整体建构，同时也是思维的整体建构。

三、在核心问题的引领下反思提升

【片段4】

师（出示图8、图9）大正方形的边长a为10厘米，那么两个图形中阴影部分的面积相等吗？为什么？

（学生小组合作，讨论探究。）

生图8中阴影部分的左边虽然是三角形，但它的底、高都不知道，也很难求出;右边可用四分之一圆的面积减去下面空白小三角形的面积，但下面空白小三角形的高不知道，所以也不好求出。所以我们小组思考能不能用转化的方法，把复杂的图形转化成简单的图形。

生我们发现，图8左边大梯形ABCF的面积等于空白大三角形ABE的面积：左边大梯形ABCF的面积是（a+b）×b÷2，空白大三角形ABE的面积也是（a+b）×b÷2。而空白小梯形ABGF是它们公共的，那么△CBG的面积等于△EFG的面积。把△CBG的面积移到△EFG上，整个阴影部分的面积就等于四分之一圆的面积。这样就把复杂的阴影部分图形转化成简单的四分之一圆了，就很好算了。

生图9也可以将复杂的阴影部分图形转换成简单的图形。空白大三角形ADF的面积是（a+a）×a÷2=a2，正方形ABEF的面积是a2，故空白大三角形ADF的面积等于正方形ABEF的面积。而空白梯形AFEG是它们公共的，那么△ABG的面积等于△EDG的面积，将△ABG的面积移到△EDG上，这样阴影部分的面积就等于四分之一圆的面积了。

生两幅图中阴影部分的面积都等于四分之一圆的面积，而圆的半径都是10厘米，故圆的面积相等，四分之一圆的面积相等，两幅图中阴影部分的面积也就相等。

师你们真不简单！在常规方法无法解决问题的情况下，想到了运用转化的策略来解决。

生我们是从之前平面图形面积公式推导的过程得到的启示：在推导平行四边形、三角形、梯形等的面积公式时，都是转化成我们已经学过的简单的图形来推导的。

生是的，在难以直接计算较复杂的平面图形的面积时，我们可以换一种思路，看看能不能将较复杂的不规则平面图形转化成简单的规则平面图形来计算。

……

面对“阴影部分的面积相等吗？”这一核心问题，常用的整分法（大面积减去多余的小面積）和分割法（将复杂的不规则图形分割成几个小的规则图形）都无法或难以解决，思维困境激发了学生进一步挑战的欲望和动力。学生进一步思考，想到运用转化的策略将复杂的阴影部分转化成简单的图形。怎样转化呢？学生小组内继续思考，积极寻求图形之间的关系，发现了面积相等的图形，从而将阴影部分的一小部分移到与之面积相等的空白部分上，转化得到简单图形（四分之一圆），使问题迎刃而解。

本节课中的三个核心问题，一方面使得那些与核心问题无关的多余环节、无效程序被删除，课堂变得宽松，教学变得从容，学生也赢得了更多独立学习的时空，从而更能沉下心来思考;另一方面引领学生经历了由易到难、化繁为简的整体建构，体会到运用转化策略解决问题的深度思考的喜悦，促使他们的认识和思维更深刻。