由特殊到一般方法在高数学习中的应用

魏选平

摘 要 本文联系小学，初高中数学，再結合大学数学总结出来了从特殊到一般大的学习方法，这种方法来自于一线课堂实践，实用可靠，对高等数学的学习具有很大的借鉴性。

关键词 数学 特殊 一般

中图分类号：G633.6文献标识码：A

1由特殊到一般方法在高数中的体现

鉴于高等数学是中学数学的推陈出新，是中学数学知识的重新组合产生的解决新问题的方法。而数学是对客观世界从空间位置和数量关系两方面进行研究对的学科。所以，要学习高等数学，首先要回顾和复习中学数学的内容。本文同样要研究一种新方法，也要从最熟悉的简单问题做起，首先从高等数学教材的第一、二章做起，初步在回顾和复习中学数学的过程中，初步学会从特殊到一般的教学和学习方法。例如，在讲到函数的概念时，先举一个简单的做匀速直线运动的物体的实例，在这一简单的实例中，认识到取值发生变化的量是变量时间和路程，而对时间的每一个值，路程都有唯一的值与其对应。从而，将本身发生变化的量叫自变量，因自变量的变化而发生变化的量叫因变量。这种初一数学所反映出来的变量的关系，就是朴素的函数关系。进而想到，自变量的取值范围叫定义域;因变量的取值范围叫值域。从定义域到值域这两个数集间的映射关系就是函数关系。按照从特殊到一般、从简单到复杂的方法，通过抓住这一简单实例的本质规律，熟能生巧地平行相似推广到一般问题，用自己的语言表达出来就是函数的定义。综上，就能初步领会和学会由特殊得到一般的方法。初步学会这种方法后，就可利用该法进一步继续回顾和复习函数的表示方法。我们可从最简单的一条直线方程为例，由这条直线的数学表达式的对应关系，用列表的方法，通过给一个自变量的值，相应得到一个函数值，从而得到坐标系上的两点，将这两点连成线，就得到了一次函数直线的图像。这样按照从特殊到一般的方法就总结出一般函数的表示方法为解析式法、列表法和图像法。这样，又一次重温了从特殊到一般的教学方法，在较深入地领会了该法的基础上，我们就可利用这种方法继续学习函数的特性。在复习函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性时，对每一个特性，我们都可先举一个实例，由最简单的实例图像所反映出来的规律和本质，用自己的语言描述出来，就是函数的特性。综上所述，通过回顾和复习中学的知识的过程中，就可初步学会从特殊到一般的教学方法。那么从第三章起，就可用这种方法进行新内容的学习。具体思路和方法如下。

第三章由中学熟悉的数列概念入手，对数列n分之一，当项数n趋近于无穷大时，该数列的第n项无限逼近于0，所以该数列的极限就是0。由这个特殊的简单的特例，可推广出一个数列的极限的定义。再考虑到数列是特殊的函数，一个函数的自变量可以是正数也可以是负数。所以一般函数的自变量的变化无非有趋近于无穷大和趋近于有限值两种变化情况。从而可以由特殊的函数——数列的极限推广出一般函数的极限。第四章可由曲线上某点的切线的斜率及变速直线运动瞬时速度两个特殊的实例出发，熟能生巧地用自己的语言概括出一般导数的定义。由导数的定义可推导出本章的其它内容;第五章又可采用特殊的实例的图形，采用形数结合法推理出函数的单调性和凹凸性、极值和最值。另外，按照从简单到复杂，可平行推理出二元函数的极值和最值;第六章从求平面中求曲边梯形面积这个特殊的实例出发，抓住分割、求和、取极限的特征，采用由特殊到一般的方法，用自己的语言可以归纳和概括出定积分的定义;第七章又可从求空间曲顶柱体的体积这个实例出发，推广出二重积分的定义;第八章可以从求一个微分方程的简单的实例，概括、归纳、推理出一般微分方程的概念。显然，从特殊到一般、从简单到复杂的方法可贯穿于高等数学学习的始终。按照这样的学习和教学方法，可化难为易，化抽象为具体，不但利用培养学生的自学能力，也有利于提高学生学会由特殊到一般解决新问题的能力。

本文立足于高等数学的实践教学的一线课堂，突出教学的实践创新性，将由特殊到一般、由简单到复杂的方法贯穿于高等数学教学的始终，力争每次课都用该法解决新问题，使学生尽快学会利用该法进行自学和有成效地解决新问题。在整个贯穿由特殊到一般方法的同时，注重典型和重点的几次课堂教学进行录像。由实况录像中，抓细节，找问题。对课堂教学中存在的问题进行整改，力争使由特殊到一般的方法在课堂教学中发挥应有的有效作用。在提高教学质量的同时，提高教师的教学和学生的自学能力。鉴于教学科研课题具有实践特色，根据唯物辩证法的实践论，在高等数学课程进修由特殊到一般方法的教学实践的同时，要注意每次课后，多反思，多回味，将每次课中存在的问题进行整改，对每次课取得的好的经验进行总结。力争做到每次课能找到问题，又能发现成绩。对好的经验和体会可以写成教学体会文章。将好的经验和做法继续发扬广大，将存在的问题和不足纠正后，再继续进行课堂教学实践的检验。使教学认识在多次循环往复课堂教学实践中得到检验和提高。当然，在自我进行教学实践和反思体会的同时，也要多与学生沟通，多了解学生的感受，多向学生征询好的建议。

2结论

综上所述，小学、中学、大学数学学习中的每一个重要公式、概念、定理都是从生活中简单特殊的实例总结概括归纳出来的，由这些基本定理公式又可解决形形色色的同类所有问题。体现出了由特殊到一般，再由一般到特殊的规律。只要掌握了从特殊到一般的方法，就能提高学生的自学能力，就能增强教师的教学能力。一般来说，特殊的实例都很简单，一般问题都很复杂，这种方法也是从最简单的问题中学会复杂问题的解决办法，这不能不说是一种智慧。有了这种智慧，不但能学好数学，也能学会分析和解决新问题的能力。